备战2018年高考数学一轮复习热点难点专题26三角形中的范围问题你处理好了吗

专题26 三角形中的范围问题你处理好了吗
考纲要求:
1.与平面向量结合的三角形问题，常利用平面向量的知识将向量条件或问题化为三角形的边角条件或问题，再利用正余弦定理化为纯边或纯角条件或问题求解，如在ABC ∆中，由
222222
cos cos 22
a b c a b c CA CB CA CB C ab C ab ab +-+-⋅====
. 2.与数列结合的三角形问题，常利用数列的相关知识将条件或问题转化为三角形的边角条件或问题，再利用正余弦定理化为纯边或纯角条件或问题求解.
3.三角形中的取值范围问题或最值问题，常常利用正余弦定理化成纯边问题，利用基本不等式或重要求最值，或者化成纯角问题，利用三角公式化成一个角的三角函数，利用三角函数的图像与性质求最值，要注意角的范围. 基础知识回顾: 1、正弦定理：
2sin sin sin a b c
R A B C
===，其中R 为ABC 外接圆的半径 正弦定理的主要作用是方程和分式中的边角互化。

其原则为关于边，或是角的正弦值是否具备齐次的特征。

如果齐次则可直接进行边化角或是角化边，否则不可行
例如：（1）2
2
2
2
2
2
sin sin sin sin sin A B A B C a b ab c +-=⇔+-= （2）cos cos sin cos sin cos sin b C c B a B C C B A +=⇒+=（恒等式） （3）
22sin sin sin bc B C
a A
=
2、余弦定理：2
2
2
2cos a b c bc A =+-
变式：()()2
2
21cos a b c bc A =+-+ 此公式在已知,a A 的情况下，配合均值不等式可得到b c +和bc 的
最值
3、三角形面积公式：
（1）1
2S a h =
⋅ （a 为三角形的底，h 为对应的高） （2）111
sin sin sin 222S ab C bc A ac B ===
（3）2
11sin 2sin 2sin sin 2sin sin sin 22
S ab C R A R B C R A B C ==⋅⋅=（其中R 为外接圆半径）
4、三角形内角和：A B C π++=，从而可得到：
（1）正余弦关系式：()()sin sin sin A B C B C π=-+=+⎡⎤⎣⎦
()()cos cos cos A B C B C π=-+=-+⎡⎤⎣⎦
（2）在已知一角的情况下，可用另一个角表示第三个角，达到消元的目的 5、两角和差的正余弦公式：
()sin sin cos sin cos A B A B B A ±=± ()cos cos cos sin sin A B A B A B ±=
6、辅助角公式：()22sin cos sin a A b B a b A ϕ+=++，其中tan b
a
ϕ=
应用举例:
类型一、与边长有关的范围问题
【例1】【湖北省重点高中联考协作体2017年秋季高三期中考试】 在△ABC 中，内角A ， B ， C 的对边分别是a ， b ， c ，且sin sin sin sin c A B
a b A C
+=
--． （1）求角B 的大小；
（2）点D 满足3BD BC =，且线段2AD =，求3a c +的取值范围． 【答案】（1）
3
π；（2）(]2,4
点睛：
（1）在解三角形中，运用正弦、余弦定理可进行边角之间的互化，可达到解三角形的目的；
（2）除两个定理之外，还应注意三角形的性质在解三角形中的应用，如“三角形的两边之和大于第三边”，“等边（角）对等角（边）”，“三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和”等性质的应用。

【例2】【湖北省重点高中联考协作体2017年秋季高三上学期期中考试】
在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且sin sin sin sin c A B
a b A C
+=
--. （1）求角B 的大小；
（2）点B 满足3BD BC =，且线段2AD =，求3a c +的取值范围. 【答案】(1) 3
B π
=
;(2) (]
2,4. （2）在ABD ∆中由余弦定理知： ()2
22323cos602c a a c +-⋅⋅⋅︒=， ∴()2
3433a c ac +-=⋅
∵2
332a c ac +⎛⎫
≤ ⎪⎝⎭
，
∴()()2
233434
a c a c +-≤
+，即()2
316a c +≤， 当且仅当3a c =，即2
3
a =， 2c =时取等号，所以3a c +的最大值为4
32ABD a c +>又在三角形中
故3a c +的范围是(]
2,4.
【方法点睛】本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及基本不等式求最值，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 除了直接利用两定理求边和角以外，恒等变形过程中，一般来说 ,当条件中同时出现ab 及2
b 、2
a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.
类型二、与周长有关的范围问题
【例3】【天津市南开中学2018届高三上学期第一次月考】 在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin sin sin sin c A B
b a A C
+=
-+. (1)求角B 的大小；
(2)若sin 2sin C A =，且23ABC S ∆=，求b 边； (3)若3b =
，求ABC ∆周长的最大值.
【答案】(1) 23
B π
=
;(2) 27b =;(3) 23+.
(2)由正弦定理得： 2c a =， 又1323sin 24
ABC S ac B ac ∆==
=，得8ac =，所以228a =，所以2,4a c == 又由余弦定理： 2221
2cos 416224282
b a
c ac B =+-=++⨯⨯⨯= 所以7b =(3)由余弦定理：
()()
()()2
2
22
222332cos 4
4
a c a c
b a
c ac B a c ac a c ++==+-=+-≥+-
=
所以2a c +≤，当且仅当1a c ==时等号成立.
故23a b c ++≤+，即周长最大值为23+.
点睛:本题考查正余弦定理解决三角形问题以及基本不等式的应用. 在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值. 【例4】【江西省赣州市南康区第三中学2018届高三上学期第三次大考】 已知，其中
，
．
（1）求的最小正周期及单调递增区间；
（2）在
中，、、分别是角、、的对边，若
，
，求
的周长的取值范围．
【答案】（1）
,
；（2）
.
类型三、与面积有关的范围问题
【例5】△ABC 中， ,,A B C 都不是直角，且22cos cos 8cos ac B bc A a b A +=-+ （Ⅰ）若sin 2sin B C =，求,b c 的值； （Ⅱ）若6a =
ABC ∆面积的最大值.
【答案】(1) 22,2b c ==
15
.
【解析】试题分析:(1)根据余弦定理将等号左边的cos B 和cos A 化为边,再用余弦定理得
2222cos b c a bc A +-=,消去cos A ,得到4bc =,又2b c =,即可得出,b c 的值；(2)由余弦定理2222cos 22cos a b c bc A bc bc A =+-≥-,即1
cos 4
A ≥
,可得15sin 4A ≤,代入面积公式可得ABC ∆面积
的最大值.
【例6】【辽宁省庄河市高级中学、沈阳市第二十中学2018届高三上学期第一次联考】 已知函数
在区间
上单调递增，在区间
上单调递减．如图，四边形
中，
为的内角的对边，且满足．
（1）证明：；
（2）若，设，，，求四边形面积的最大值．
【答案】（1）见解析;（2）.
方法、规律归纳:
1、三角形中的不等关系
（1）任意两边之和大于第三边：在判定是否构成三角形时，只需验证较小的两边之和是否比第三边大即可。

由于不存在等号成立的条件，在求最值时使用较少
（2）在三角形中，边角以及角的三角函数值存在等价关系：
sin sin cos cos a b A B A B A B >⇔>⇔>⇒<
其中由cos cos A B A B >⇔<利用的是余弦函数单调性，而sin sin A B A B >⇔>仅在一个三角形内有效。

2、解三角形中处理不等关系的几种方法
（1）转变为一个变量的函数：通过边角互化和代入消元，将多变量表达式转变为函数，从而将问题转化为求函数的值域
（2）利用均值不等式求得最值 实战演练:
1．【山东省莱芜市2018届高三上学期期中考试】已知ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，
3
C π
=
.
（1）若224ab a c =-，求
sin sin B
A
的值； （2）求sin sin A B 的取值范围.
【答案】(2) 30,4
⎛⎤ ⎥⎝
⎦
.
2．在锐角ABC ∆中， 角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ， ()
cos cos 3sin cos 0C B B A +=， 3a =（1）若22b =ABC ∆的面积； （2）求2b c +的取值范围.
【答案】（1）33；（2）(
8,47
（2）由正弦定理可得： 2324sin sin 3
a R A π=
==
28sin 4sin 8sin 4sin 10sin 23cos 3b c B C B B B B π⎛
⎫+=+=++=+ ⎪⎝
⎭ ()47sin B φ=+
其中3tan 5φ=
， 21sin 14φ=， 57cos 14φ=， φ为锐角，因为ABC ∆为锐角三角形，则62
B ππ
<< 从而6
2
B π
π
φφφ+
<+<+
，得()sin sin 16B πφφ⎛⎫
+<+≤
⎪⎝⎭， 27sin 67πφ⎛⎫+= ⎪⎝⎭
，所以
()27
sin 17
B φ<+≤所以8247b c <+≤，从而2b c +的取值范围为
3．【河北省承德市实验中学2018届高三上学期期中考试】在△ABC 中， 2
2
2
2a c b ac += (1)求∠B 的大小；
(2)求2cos cos A C +的取值范围． 【答案】（1）
4
π
；（2）1
4．在ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，且2sin 22A c b
c
-=
. （1）判断ABC ∆的形状并加以证明； （2）当1c =时，求ABC ∆周长的最大值. 【答案】(1)详见解析(2) 4
A π
=
时， L 最大且最大值为12+【解析】试题分析：（1）由已知条件求出222c b a =+，∴ABC ∆为直角三角形；（2）当1c =时，
ABC ∆周长=1+2sin 4L A π⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭， 4A π=时， L 最大且最大值为12+
试题解析：（1）∵
1cos 1222A b c -=-，即cos b
A c
=，故cos b c A =， 又222
2b c a b c bc
+-=，即222c b a =+，
∴ABC ∆为直角三角形.
（2）∵c 为直角ABC ∆的斜边，当1c =时，
1sin cos 12sin 4L A A A π⎛
⎫=++=++ ⎪⎝
⎭.
∵02
A π
<<
，
∴sin 14A π⎛⎫
+
= ⎪⎝
⎭，即4
A π
=时， L 最大且最大值为12+. 点睛：本题主要考查解三角形，有余弦定理、勾股定理等，属于中档题。

解答本题的关键是灵活掌握三角函数中的公式。

5．在锐角ABC ∆中， a b c 、、分别为角A B C 、、的对边，且32sin a c A =. （1）确定角C 的大小；
（2）当1c =时，求ABC ∆周长的最大值. 【答案】（1）3
C π
=
；（2）(
33,33⎤+⎦
.
∵ABC ∆是锐角三角形，∴
6
2
A π
π
<<
，
故
3sin 126A π⎛
⎫<+≤ ⎪⎝
⎭， 所以ABC ∆周长的最大值是33.
6．在中，角的对边分别为，且 .
（1）求角的大小； （2）若，求
的最大值. 【答案】(1)
(2)
时，
取最大值
7．在ABC ∆中，角A ， B ， C 的对边分别为a ， b ， c ，已知()sin 3cos 0b A a A C +=. (1)求角B 的大小；
(2)若1a c +=，求边b 的取值范围. 【答案】(1) 3
B π
=
;(2)
1
12
b ≤<.
8．设ABC ∆的内角为,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且1
cos 2
b C a
c =-. （1）求角B 的大小；
（2）若1b =，求ABC ∆的周长l 的取值范围. 【答案】（1）
π3
；（2）(]2,3. 【解析】试题分析：（1）已知1
cos 2
b C a
c =-
，由余弦定理角化边得222a c b ac +-=，再由余弦定理222cos 2a c b B ac +-=可得角B 的值；（2）根据3
B π=与1b =，由正弦定理求得23a A =
， 23c C =
，结合23
C A π
=-代入到ABC ∆的周长表达式，利用三角恒等变换化简得到ABC ∆的周长关于角A 的三角函数，再根据正弦函数的图象与性质，即可求解周长的取值范围.
试题解析：（1）1
cos 2b C a c =-， ∴由余弦定理，得222122a b c b a c ab +-⋅
=-， 22222a b c a ac ∴+-=-， 222a c b ac ∴+-=
∵222
cos 2a c b B ac
+-=
()1π
cos ,0,π,23
B B B ∴=∈∴=.
9．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且sin 1sin sin b C
a c A B
+=++ . （1）求A ； （2）若3a =
22b c +的取值范围.
【答案】（1）60°；（2）(]3,6．
【解析】试题分析：（1）哟衹利用正弦定理可得1b c
a c a b
+=++整理得222b c a bc +-=，由此根据余弦定理可求A
10．【华大新高考联盟2018届11月教学质量测评】已知ABC ∆的三个内角,,A B C 对应的边分别为,,a b c ，且()2cos cos cos B c A a C b +=. （1）证明： ,,A B C 成等差数列； （2）若ABC ∆的面积为
33
2
，求b 的最小值. 【答案】（1）见解析；（26.
【解析】试题分析：（1）由正弦定理得()2cos sin cos sin cos sin B C A A C B +=，即()2cos sin sin B A C B +=，由()sin sin A C B +=，从而得1cos ?23
B B π
=
=，即可证得； （2）由
133
sin 2ABC S ac B ∆=
=，
解
得
6
ac =，由余弦定理可得
222222cos b a c ac B a c ac ac =+-=+-≥即可得解.
试题解析：
（1）因为()2cos cos cos B c A a C b +=，
所以由正弦定理得()2cos sin cos sin cos sin B C A A C B +=，。