关于积分中值定理的改进

α
α
②若函数 g ( x)在闭区间 [ a, b ]上递增 ,且
g ( x) ≥0, f ( x) > 0 , 则对任意的点 η∈ [ a, b ], 存在
α,β∈[ a, b ],α <ξ<β使得 :
∫ ∫ β
β
f ( x) g ( x) dx = g (β) f ( x) dx
α
η
证明 ①:ξ∈[ a, b ],取点 ξ的邻域
第
22卷 第 4期 2007年 12月
北 京 Jou rna l
机械工业学 of Beijing Institute
院 of M
学 ach
报 Vol. 22 No.
ine ry
Dec. 2007
4
文 章 编 号 : 1008 - 1658 (2007) 04 - 0040 - 04
a
a
②若函数 g ( x)在闭区间 [ a, b ]上递增 ,且
g ( x) ≥0,则存在 η∈[ a, b ],使得
∫ ∫ b
b
f ( x) g ( x) dx = g ( b) f ( x) dx
a
η
可以看到积分第二中值定理的结论是存在一
点 ,显然结论具有局限性 ,而我们希望的是对在相应
区间内的任意的一点都能使结论成立 , 因此给出下
[ξ- δ,ξ+δ] < [ a, b ]
∫ ∫ ξ+δ
ξ
若
f ( x) g ( x) dx = g (ξ - δ) f ( x) dx ,则取
ξ-δ
ξ-δ
α =ξ- δ,β=ξ- δ有 :
∫ ∫ β
ξ
f ( x) g ( x) dx = g (α) f ( x) dx
α
α
∫ ∫ ξ+δ
ξ
若 f ( x) g ( x) dx - g (ξ- δ) f ( x) dx > 0则作
α
∫ ξ+δ
f ( x) dx
若 ξ-δ 2δ
< f (ξ) ,则作辅助函数 ,
∫ ξ+δ f ( t) d t
F ( x)
=
x
(ξ +δ)
- f (ξ)
-x
∫ ξ+δ
f ( x) dx
于是 F (ξ - δ) = ξ-δ 2δ
- f (ξ) < 0
∫ ξ+δ
f ( x) dx
F (ξ)
∫ ∫ ξ
ξ
f ( x) g ( x) dx - g (ξ - δ) f ( x) dx =
ξ-δ
ξ-δ
∫ ∫ θ
ξ
g (ξ - δ) f ( x) dx - g (ξ - δ) f ( x) dx =
ξ-δ
ξ-δ
∫ ξ
- g (ξ - δ) f ( x) dx < 0 (ξ - δ <θ <ξ) θ
们是希望是对任意的点 ξ∈ ( a, b)结论成立 , 因此给
出下面结论 。
定理 1:如果函数 f ( x)在闭区间 [ a, b ]上连续 , 且 f ( x)为严格单调函数 , 则对任意 ξ∈ ( a, b) , 存在 α,β∈[ a, b ],满足 α <ξ<β,使得
∫ β f ( x) dx = f (ξ) (β - α)
Abstract: B y investigating the p roblem s of“existence”and“arbitrariness”in the FirstM ean Value Theorem of Integrals and the Second M ean Value Theorem of Integral in dep th, and using the monotonic2 ity of function, the theorem of interm ediate value and auxiliary function, two corresponding theorem s are deduced on the FirstM ean Value Theorem of Integrals and the Second M ean Value Theorem of Integral, which resolves the p roblem s of“existence”and“arbitrariness”. The results signifiantly extend and im2 p rove many known results to some degree.
ξ
=
δ
- f (ξ) =
δf (θ) δ
-
f (ξ)
= f (θ)
-
f (ξ)
> 0,
(ξ<θ<ξ+δ) 根据介值定理 ,存在 α∈ (ξ- δ,ξ) ,使得 F (α) = 0,再取 β=ξ+δ,就得到
∫ β f ( x) dx = f (ξ) (β - α)
α
2 积分第二中值定理的改进
下面讨论积分第二中值定理的“存在性 ”与“任
α
证明 :不妨设函数 f ( x ) 为严格单调增加函数 ,
取点 ξ的邻域 [ξ- δ,ξ+δ] < [ a, b ]
∫ ξ+δ
f ( x) dx
若 ξ-δ 2δ
= f (ξ) , 则取 α =ξ- δ,β =
ξ+δ有 :
∫ β f ( x) dx = f (ξ) (β - α)
α
收稿日期 : 2007 - 07 - 19 作者简介 :冯美强 ( 1971 - ) ,男 ,山东滨州人 ,北京信息工程学院基础部讲师 , 博士 , 主要从事非线性微分方程及其应用的研究 。
第 4期 冯美强 :关于积分中值定理的改进
41
∫ ξ+δ
f ( x) dx
若 ξ-δ 2δ
> f (ξ) ,则作辅助函数 ,
∫x
f ( t) d t
F ( x)
=
ξ-δ
x - (ξ -
δ)
- f (ξ)
∫ ξ+δ
f ( x) dx
于是 F (ξ +δ) = ξ-δ 2δ
意性 ”问题 。首先给出积分第二中值定理的内容 :
积分第二中值定理 :设函数 f ( x)在闭区间 [ a, b ]上
可积 。
①若函数 g ( x)在闭区间 [ a, b ]上递减 ,且
g ( x) ≥0,则存在 ξ∈[ a, b ],使得
∫ ∫ b
ξ
f ( x) g ( x) dx = g ( a) f ( x) dx
F (ξ) = f ( x) g ( x) dx - g (ξ) f ( x) dx =
ξ
ξ
∫ ξ+δ
f ( x) g ( x) dx > 0 ξ
所以 ,根据介值定理 , 存在 α∈ (ξ- δ,ξ) , 使得
F (α) = 0,再取 β=ξ+δ,就得到
∫ ∫ β
ξ
f ( x) g ( x) dx = g (α) f ( x) dx
面的定理 。
定理 2:设函数 f ( x)在闭区间 [ a, b ]上可积 ,
①若函数 g ( x)在闭区间 [ a, b ]上递减 ,且
g ( x) ≥0, f ( x) > 0, 则对任意的点 ξ∈ [ a, b ], 存在
α,β∈[ a, b ],满足 α <ξ<β使得 :
∫ ∫ β
ξ
f ( x) g ( x) dx = g (α) f ( x) dx
关于积分中值定理的改进
冯美强
(北京信息工程学院 基础部 ,北京 100101)
摘 要 :对积分第一 、第二中值定理中的“存在性 ”与“任意性 ”问题深入研究 ,借助函数 的单调性 、介值定理和构造的辅助函数 ,给出了积分第一 、第二中值定理对应的两个定理 , 解决了 “存在性 ”与“任意性 ”问题 ,即是否存在且对任意性成立 。从而在一定程度上推广和改进了关于 积分中值定理的某些已有的结果 。
1 积分第一中值定理的改进
积分第一中值定理 : 如果函数 f ( x ) 在闭区间 [ a, b ]上连续 ,则至少存在一点 ξ∈[ a, b ],使得
∫b f ( x) dx = f (ξ) ( b - a)
a
积分第一中值定理的结论中是存在这样的一点
∫b
ξ∈[ a, b ],使得 f ( x) dx = f (ξ) ( b - a) 成立 ,而我 a
η-δ
∫ η+δ
g (η +δ) f ( x) dx < 0 η
∫ ∫ η
η
F (η) = f ( x) g ( x) dx - g (η) f ( x) dx =
η-δ
η
∫ η f ( x) g ( x) dx > 0
η-δ
所以 ,根据介值定理 , 存在 β∈ (η,η +δ) , 使得
F (β) = 0,再取 α =η - δ,就得到 :
- f (ξ) > 0
∫ ξ
f ( x) dx
F (ξ) = ξ-δ δ
- f (ξ) =
f (θδ)δ- f (ξ) = f (θ) - f (ξ) < 0,
(ξ- δ<θ<ξ)
根据介值定理 ,存在 β∈ (ξ,ξ+δ) ,使得
F (β) = 0,再取 α =ξ- δ,就得到
∫ β f ( x) dx = f (ξ) (β - α)
∫ ∫ β
β
f ( x) g ( x) dx = g (β) f ( x) dx
Key words: the M ean Value Theorem of Integral; continuous function; monotonicity; theorem of in2 termediate value; imp rovement
积分中值定理在积分学乃至整个分析数学中 都起到了至关重要的作用 ,引起了许多数学工作者 的兴趣 。从而出现了很多关于积分中值定理的文 献 [ 1, 3 - 12 ] 。但关于“存在性 ”与“任意性 ”问题的研究 尚不多见 。在文献 [ 2 ]中 ,作者研究了拉格朗日中 值定理的“存在性 ”与“任意性 ”问题 ,其他的研究见 文献 [ 3 - 12 ]及其参考文献 。受文献 [ 1 - 4 ]的启 发 ,我们着手研究积分第一中值定理和积分第二中 值定理的“存在性 ”与“任意性 ”问题 ,并得到相应的 两个结果 。从而彻底澄清了某些错误的理解积分中 值定理的想法 。
关 键 词 :积分中值定理 ; 连续函数 ;单调性 ;介值定理 ;改进 中图分类号 : 0 172. 2 文献标识码 : A
An im provem en t on the M ean Va lue Theorem of In tegra l
FENG M ei2qiang
(D ivision of Basic Courses, Beijing Information Technology Institute, Beijing 100101, China)
α
η
∫ ∫ η+δ
η+δ
若
f ( x) g ( x) dx - g (η +δ) f ( x) dx < 0 ,
η-δ
η
作辅助函数 :
∫ ∫ x
x
F ( x) = f ( t) g ( t) d t - g ( x) f ( t) d t
η-δ
η
于是
∫ η+δ
F (η +δ) =
f ( x) g ( x) dx -
根据介值定理 , 存在 β∈ (ξ,ξ+δ) , 使得 F (β)
= 0,再取 α =ξ- δ,就得到
∫ ∫ β
ξ
f ( x) g ( x) dx = g (α) f ( x) dx
α
α
42
北京机械工业学院学报 第 22卷
∫ ∫ ξ+δ
ξ
若 f ( x) g ( x) dx Nhomakorabea g (ξ- δ) f ( x) dx < 0则
α
α
证明 ② :因为 η∈ ( a, b) , 取 η的邻域 [η - δ,η
+δ] < [ a, b ]若 :
∫ ∫ η+δ
η+δ
f ( x) g ( x) dx = g (η +δ) f ( x) dx ,取
η-δ
η
α =η - δ,β=η +δ则 :
∫ ∫ β
β
f ( x) g ( x) dx = g (β) f ( x) dx
ξ-δ
ξ-δ
辅助函数
∫ ∫ x
ξ
F ( x) = f ( t) g ( t) d t - g (ξ - δ) f ( x) dx
ξ-δ
ξ-δ
于是
F (ξ +δ) =
∫ ∫ ξ+δ
ξ
f ( x) g ( x) dx - g (ξ - δ) f ( x) dx > 0
ξ-δ
ξ-δ
F (ξ) =
ξ-δ
ξ-δ
作辅助函数 ,
∫ ∫ ξ+δ
ξ
F ( x) = f ( t) g ( t) d t - g ( x) f ( t) d t
x
x
于是
F (ξ - δ) =
∫ ∫ ξ+δ
ξ
f ( x) g ( x) dx - g (ξ - δ) f ( x) dx < 0
ξ-δ
ξ-δ
∫ ∫ ξ+δ
ξ