初中数学锐角三角函数专题中考总复习资料PPT教案学习

20 sin 35
20 0.57
35.1
你还有其他 方法求出c吗
？
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例 2、 如 图 ， 在Rt△ ABC中 ，∠C＝ 90° ，AC=6， ∠BAC的 平 分线
， 解 这个 直角三 角形。
AD 4 3
解：
AC 6 3
cos CAD
AD 4 3 2
CAD 30
A
6 43
3. 确定值的范围 4. 确定角的范围
确定角的范围
1. 当∠A为锐角，且tgA的值大于 时，∠A（ ）
(A)小于30° (B)大于30° (C) 小于60° (D)大于60°
3 3
B
2. 当∠A为锐角，且tanA的值小于 时，∠A（ ）
(A)小于30° (B)大于30° (C) 小于60° (D)大于60°
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合作与探 变题1：如图，直升飞机在长4究00米的跨江大桥
AB的上方P点处，且A、B、O三点在一条直线 上，在大桥的两端测得飞机的仰角分别为30° 和45 °，求飞机的高度PO .
P
答案: (200 3 200) 米
O
45°
B
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30°
400米 A
合作与探 例2：如图，直升飞机在高为2究00米的大楼AB
3
C
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☆ 应用练 习
1.已知角，求值
2.已知值，求角
3. 确定值的范围 4. 确定角的范围
确定角的范围
3. 那么（ ）
当∠A为锐角，且cosA= D
1 5
(A)0°＜∠A≤ 30 ° (B) 30°＜∠A≤45°
(C)45°＜∠A≤ 60 ° (D) 60°＜∠A≤ 90 °
4. 当∠A为锐角，且sinA= 那么（ ）
上方P点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的 仰角为30°和45°，求飞机的高度PO .
P
30°
A
答案: (100 3 300) 米
O
200米 45°
L B
U
D
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合作与探 例2：如图，直升飞机在高为2究00米的大楼AB
上方P点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的
仰角为30°和45°，求飞机的高度PO .
1. 当 锐角A>45°时，sinA的值（ ）
B
(A)小于 (C) 小于
(B)大于 (D)大于
2. 当锐角A>30°时，cosA的值（ ）
2
2 3
2
(A)小于 (C) 小于
(B)大于 (D)大于
C
1 2
3 2
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2 2 3 2
1 2 3 2
☆ 应用练 习
1.已知角，求值
2.已知值，求角
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仰角与俯角
在视线与水平线所成的角中，视线在水平线的上
方的角叫做仰角。视线在水平线下方的角叫做
俯角。强调：仰角与俯角都是视线与水平线所成的
角。
视线
铅 垂
仰角
线
俯角
水平线
视线
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合作与探 【例2】如图直升飞机在跨江大究桥AB的上方P点
处，此时飞机离地面的高度PO=450米，且A、 B、O三点在一条直线上，测得大桥两端的俯角 分别为α=30°，β=45°，求大桥的长AB
AC 2
2
A
cos A AD 3 AD 3 2 3 3
AC 2
2
tan B CD 3 BD 2
BD
3 2 2 3
AB AD BD 3 2 5
tanB 3 , AC 2 3, 2
C
D
B
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练习
在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件解直角三角形； （1）a = 30 , b = 20 ;
，
5
tanA = __1_2___
思考
(1)互余两角的 正弦与余弦有 相 等 何关系？
(2)同角的正弦 与余弦的平方
和等于？
平方和 等于1
(3)同角的正弦 和余弦,与正 切有何关系？
正弦值 与余弦 值的比 等于正 切值
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二、几个重要关系式
互余两角的正切值互为倒数
B
tanA·tan( =1 90° - A )
正弦
余值弦如
角
值何如变三角函数 度
何化变? sinα
化?
cosα
锐 角 A的 正 弦 值 、 余弦值 有无变 化范围 ？
tanα
思
考
3 0°
45 °
1
2
2
2
3
2
2
2
3
1
3
角度 逐渐 增大 6 0°
3 2
1 2
3
0< sinA<1 0<cosA<1
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正弦 值也 增大
余弦值 逐渐减
小
正切 值也 随之 增大
C
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四、解直角三角形
1、解直角三角形的定义：
由直角三角形中除直角外的已知两个 元素（至少有一个是边），求出其余的三个 未知元素的过程，叫做解直角三角形．
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2、几个常用关系（依据
）：
角与角的关系：∠A＋ ∠ B＝90°
c
解直角 三角形
边 与 边 的 关 系：
a2+b2=c2（ 勾股定理）
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会计学
1
注意
sinA、cosA、tanA、是一个完 整的符号，它表示∠A的余弦、 正切，记号里习惯省去角的符 号“∠”；
sinA、cosA，tanA没有单位，
它表示一个比值，即直角三角
形中∠A的对边与斜边的比、邻
A
1 3
(A)0°＜∠A≤ 30 ° (B) 30°＜∠A≤45° (C)45°＜∠A≤ 60 ° (D) 60°＜∠A≤ 90 °
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思考
在：Rt△ABC中，∠C=90°斜边AB=2，直角
边AC=1，∠ABC=30°,延长CB到D，连接 AD使∠D=15°求tan15°的值。
A
D
B
3°0
答案: (300100 3) 米
°
O
B
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学以致用
1、小刘想测量学校操场旗杆顶 端到地面的距离，但旗杆底部 不能直接到达，请你应用今天 所学知识，帮助他设计一个测 量方案，画出示意图，相关数 据用字母表示，并与同学交流 。
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2、 从20米高的甲楼顶 A 处望乙楼顶 C处的仰角为30°，望乙楼底D处的俯 角为45°，求乙楼的高度。（精确到 0.1 米）
边与角的关系 ：三角函数关 系
式
在 直 角 三 角 形的 5个元 素中（ 除直角 外）， 根据以 上关系 只要已 知两个 （至少 有一个 是边） ，就可 求出其 余的三 个来
A
b
sin A a ,sin B b
c
c
cos A b , cos B a
c
c
tan A a , tan B b
b
C
A
甲 20m
30 ° 45°
水平线
B 乙
D
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3、由一座建筑物的底
部A测得一座塔的 B
顶部D的仰角是
30°。 由该塔的
底部C测得该建筑 建筑物 物的顶部B的仰角
是45°。 如果塔 30°
CD的高度是20m，
A
求
B
(1)A和C之间的距离；
(2)该建筑物的高度。
30° A
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a
B
a
┌ C
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例1、如图，在Rt△ABC中，∠B＝35°，b=20，解这个直角三角 形（精确到0.1）
解：∠A＝90°－∠B＝90°－35°＝55°
tan B b
A
c
b
a
35°
20
a
b tan B
20 tan 35
20 0.70
28.6
B
a
C
sin B b c
c
b sin B
）。
3＝1.73
?
30°
1.65米
10米
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解：如图，在Rt△ABC中
tan ABC AC BC
即 AC= tan 300 BC AC 3 10 5.77
3 AD CD+AC=1.65 5.77 7.42 答：旗杆顶到地面的高度为7.42米
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想一想 ：此类 实际问 题用什 么方法 解决？ 此法解 题的一 般过程 是什么 ？ （ 1 ） 将 实际 问题抽 象为数 学问题 （画出 平面图 形，转 化为解 直角三 角形的 问题） ； （ 2 ） 根 据条 件的特 点，适 当选用 锐角三 角形函 数等去 解直角 三角形 ； （ 3 ） 得 到数 学问题 的答案 ； （ 4 ） 得 到实 际问题 的答案 ．
解：根据勾股定理
B
C a2 b2 302 202 10 13 tan A a 30 3 1.5
b 20 2
c a=30
A b=20 C
A 56.3
B 90 A 90 56.3 33.7
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（2）、 在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件解直角三角形；
D
20m 塔
45° C
D
20 m 45°
C
4、如图,根据图中已知数据,求△ABC其 余各边的长,各角的度数和△ABC的面积.
A
4cm
B
5、 如图,根据图中已知 数据,求△ABC其余各边的 长,各角的度数和△ABC的 面积.
边与斜边的比，对边与邻边的
比；
rldmm8989889
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sinA不表示“sin”乘以“A”，
cosA不表示“cos”乘以“A”，
练习1
如右图所示的Rt⊿
A
ABC中∠C=90°，
a=5，b=12，5
c b
那么sinA= _1_3___，
cosA=_11_23___ B a C
_,
5
cosB=__1_3___
☆ 练一练
1.已知角，求值
=2 + d3
=2
=
3 o
2-
2
1. 2sin30°+3tan30°+tan45°
求下列各式的值
2. cos245°+ tan60°cos30°
cos45o sin 30o
3.
cos45o sin 30o
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☆ 应用练 习
1.已知角，求值 2.已知值，求角
上方P点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的
仰角为30°和45°，求飞机的高度PO .
P
30°
A
200米
45°
C O
B
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合作与探 变题2：如图，直升飞机在高为究200米的大楼
AB左侧P点处，测得大楼的顶部仰角为45°,
测得大楼底部俯角为30°，求飞机与大楼之间
A
的水平距离.
200米
P
45 D
因 为 AD平 分 ∠BAC
B
C
D
CAB 60,B 30
AB 12, BC 6 3
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例 3、 如 图 ， 在△ ABC中 ， ∠A=30度 ， 求 AB。
解 ： 过 点 C作 CD⊥AB于 点 D
∠A=30度 ，
AC 2 3
sin A CD 1 CD 1 2 3 3
.
解：由题意得，在 Rt△ PAO与 Rt△ PBO中
PAO 30, PBO 45
α
P
PO
PO
β
tan 30, tan 45
OAቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
OB
450
OA
450 3, 450米
tan 30
OB 450 450 tan 45
AB OA OB (450 3 450)(m) O
B
A
答：大桥的长AB为(450 3 450)m.
C P
30°
A
200米 45°
O B
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合作与探 例2：如图，直升飞机在高为2究00米的大楼AB
上方P点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的
仰角为30°和45°，求飞机的高度PO .
C P
30°
A
200米 45°
O B
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合作与探 例2：如图，直升飞机在高为2究00米的大楼AB
锐角，且tanA=0.6，tanB=3(/5 ).
⑵ sin2A+tanAtanB -2+cos2A=0(
) ⑶ tan44°tan46°=1( ).
(4)tan29°tan60°tan61°3 =(
). (5) sin53°cos37°+cos53°sin37°
=（ 1 ）
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三、特殊角三角函数值
∠A=60° ∠A=30°
1. 已知 tanA= ，求锐角A .
求锐角A的值
3
2. 求锐角A的度数 .
已知2cosA -
= 0,
3
解：∵ 2cosA -
=0
∴ 2cosA =
30° 3
∴cosA= ∴∠A=
2
3 3
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☆ 应用练 习
1.已知角，求值
2.已知值，求角
3. 确定值的范围
确定值的范围
tanA=
sin A cos A
sin2A+cos2A=
1
c a 同角的正 弦余弦与正切和余切
之间的关系
A
b
C
同角的正弦余弦平方和等于1
sinA=cos（90°- A ）
互余两个角的三角函数关系
=cosB
cosA=sin（90°- A）=sinB
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练习2
⑴ 已知:Rt△ABC中，∠C=90°∠A为
∠B＝72°，c = 14.
解：
sin B b c
A c=14 b
b c sin B 14sin 72 13.3
B aC
cos B a c
a c cos B 14 cos 72 4.34
A 90 72 18
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五、锐角三角函数的应用
1、测高问题
【 例 1】 、 操 场 里有一 个旗杆 ，老师 让小明 去测量 旗杆高 度，小 明站在 离旗杆 底部10米 远处 ，目测 旗杆的 顶部， 视线与 水平线 的夹角 为30度 ，并已 知目高 为1.65米 ．然后 他很快 就算出 旗杆顶 到地面 的高度 了（保 留0.01， 你 想 知 道 小 明怎样 算出的 吗？