2021届课标版高考文科数学一轮复习学案：数列第1节数列的概念与简单表示法

第6章 数列
第一节 数列的概念与简单表示法
[最新考纲] 1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图像、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数．
1．数列的概念
(1)数列的定义：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．
(2)数列的表示法
数列有三种表示法，它们分别是列表法、图像法和通项公式法． 2．数列的分类 分类 标准 类型 满足条件 项数
有穷数列 项数有限 无穷数列
项数无限
单调性
递增数列 a n ＋1>a n 其中n ∈N *
递减数列
a n ＋1<a n 常数列 a n ＋1＝a n ＝c (常数)
摆动数列
从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列
如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．
4．数列的递推公式
如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第2项(或某一项)开始的任一项a n 与它的前一项a n －1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．递推公式也是数列的一种表示方法．
5．a n 与S n 的关系
若数列{a n }的前n 项和为S n ，通项公式为a n ，
则a n ＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
S 1n ＝1，
S n －S n －1n ≥2.
[常用结论]
1．数列{a n }是递增数列⇔a n ＋1＞a n 恒成立．
2．数列{a n }是递减数列⇔a n ＋1＜a n 恒成立．
一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)所有数列的第n 项都能使用公式表达．
( )
(2)根据数列的前几项归纳出的数列的通项公式可能不止一个．
( )
(3)如果数列{a n }的前n 项和为S n ，则对任意n ∈N *
，都有a n ＋1＝S n ＋1－S n .
( )
(4)若已知数列{a n }的递推公式为a n ＋1＝1
2a n －1，且a 2＝1，则可以写出数列{a n }的任何一项．
( )
[答案](1)× (2)√ (3)√ (4)√ 二、教材改编
1．数列－1，12，－13，14，－1
5，…的一个通项公式为( )
A ．a n ＝±1
n
B ．a n ＝(－1)n
·1n
C ．a n ＝(－1)
n ＋1
1
n
D ．a n ＝1
n
B [由a 1＝－1，代入检验可知选B.]
2．在数列{a n }中，已知a 1＝－14，a n ＋1＝1－1
a n ，则a 3＝( )
A ．－3 B.23 C ．5 D.4
5
D [a 2＝1－1a 1＝5，a 3＝1－1a 2＝1－15＝4
5
.]
3．把3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为以这些数目的点可以排成一个正三角形(如图所示)．
则第6个三角形数是( ) A ．27 B ．28 C ．29
D ．30
B [由题图可知，第6个三角形数是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28.]
4．已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，以后各项由a n ＝a n －1＋a n －2(n ＞2)给出，则a 5＝
________.
8 [a 3＝a 2＋a 1＝3，a 4＝a 3＋a 2＝5，a 5＝a 4＋a 3＝8.] ⊙考点1 由数列的前n 项归纳数列的通项公式
解答具体策略：①相邻项的变化规律；②各项的符号规律和其绝对值的变化规律；③分式中分子、分母的变化规律，分子与分母之间的关系；④合理拆项；⑤结构不同的项，化异为同．
根据下面各数列前n 项的值，写出数列的一个通项公式． (1)12，－34，78，－1516，31
32，…； (2)12，2，92，8，25
2，…； (3)5,55,555,5555，…； (4)1,3,1,3，…；
(5)23，415，635，863，10
99，…； (6)－1,1，－2,2，－3,3，…. [解](1)数列中各项的符号可通过(－1)n ＋1
表示．每一项绝对值的分子比分母少1，而
分母组成数列21,22,23,24
，…，
所以a n ＝(－1)
n ＋1
2n
－12
n . (2)数列的各项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观察．即12，42，92，162，252，…，分子为项数的平方，从而可得数列的一个通项公式为a n ＝n 2
2
. (3)将原数列改写为59×9，59×99，59×999，…，易知数列9,99,999，…的通项为10
n
－1，故所求的数列的一个通项公式为a n ＝59
(10n
－1)．
(4)这个数列的前4项构成一个摆动数列，奇数项是1，偶数项是3，所以数列的一个通项公式为a n ＝2＋(－1)n
.
(5)这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解为1×3,3×5,5×7,7×9,9×11，…，每一项都是两个相邻奇数的乘积，分子依次为2,4,6，…，相邻的偶数．故所求数列的一个通项公式为a n ＝
2n 2n －1
2n ＋1
.
(6)数列的奇数项为－1，－2，－3，…可用－n ＋1
2
表示，
数列的偶数项为1,2,3，…可用n
2
表示．
因此a n
＝⎩⎪⎨⎪⎧
－n ＋12n 为奇数
，
n
2n 为偶数.
(1)记住常见数列的通项公式，有些数列可用常见数列表示，如T (3)．
(2)对于奇数项和偶数项不能用同一表达式表示的数列，可用分段函数表示，如T (6)． ⊙考点2 由a n 与S n 的关系求通项公式 已知S n 求a n 的三个步骤 (1)先利用a 1＝S 1，求出a 1；
(2)用n －1替换S n 中的n 得到一个新的关系，利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)便可求出当n ≥2时a n 的表达式；
(3)注意检验n ＝1时的表达式是否可以与n ≥2的表达式合并．
(1)若数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2
－2n ＋1，则数列{a n }的通项公式a n ＝________. (2)(2018·全国卷Ⅰ)记S n 为数列{a n }的前n 项和．若S n ＝2a n ＋1，则S 6＝________. (3)已知数列{a n }满足a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝2n
，则a n ＝________.
(1)⎩
⎪⎨
⎪⎧
2，n ＝1
6n －5，n ≥2 (2)－63 (3)⎩⎪⎨⎪⎧
2，n ＝12
n －1
n
，n ≥2 [(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×1
2
－2×1＋1＝2；
当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n 2
－2n ＋1－[3(n －1)2
－2(n －1)＋1]＝6n －5，显然当n ＝1时，不满足上式．
故数列的通项公式为a n ＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
2，n ＝1，
6n －5，n ≥2.
(2)由S n ＝2a n ＋1得S 1＝2a 1＋1，即a 1＝2a 1＋1，解得a 1＝－1. 又S n －1＝2a n －1＋1(n ≥2)，所以a n ＝2a n －2a n －1，即a n ＝2a n －1.
所以数列{a n }是首项为－1，公比为2的等比数列，所以S 6＝
－1×1－2
6
1－2＝1－26
＝
－63.
(3)当n ＝1时，由已知， 可得a 1＝21
＝2，
∵a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝2n
， ① 故a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1＝2n －1
(n ≥2)，
②
由①－②得na n ＝2n
－2n －1
＝2
n －1
，
∴a n ＝
2n －1
n
(n ≥2)．
显然当n ＝1时不满足上式， ∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧
2，n ＝1，2
n －1
n
，n ≥2.]
a n ＝S n －S n －1只适用于n ≥2的情形，易忽略求a 1，造成错解，如T (1)，T (3)． 1.(2019·郑州模拟)已知S n 为数列{a n }的前n 项和，且log 2(S n ＋1)＝n ＋1，则数列{a n }的通项公式为________．
a n ＝⎩
⎪⎨⎪⎧
3，n ＝1
2n
，n ≥2 [由log 2(S n ＋1)＝n ＋1得S n ＋1＝2
n ＋1
，即S n ＝2
n ＋1
－1.
当n ＝1时，a 1＝S 1＝21＋1
－1＝3.
当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n ＋1
－1)－(2n －1)＝2n
，
显然a 1＝3不满足上式，
所以a n ＝⎩
⎪⎨⎪⎧
3，n ＝1，2n
，n ≥2.]
2．已知数列{a n }的各项均为正数，S n 为其前n 项和，且对任意n ∈N *
，均有2S n ＝a 2
n ＋
a n ，则a n ＝________.
n [由2S n ＝a 2n ＋a n 得
2S n －1＝a 2
n －1＋a n －1， ∴2a n ＝a 2
n －a 2
n －1＋a n －a n －1， 即a 2
n －a 2n －1＝a n ＋a n －1，又a n ＞0， ∴a n －a n －1＝1，
又2S 1＝a 2
1＋a 1，解得a 1＝1，
∴数列{a n }是首项为1，公差为1的等差数列． ∴a n ＝1＋(n －1)×1＝n .]
⊙考点3 由递推公式求数列的通项公式 由数列的递推公式求通项公式的常用方法 (1)形如a n ＋1＝a n ＋f (n )，可用累加法求a n . (2)形如a n ＋1＝a n f (n )，可用累乘法求a n .
(3)形如a n ＋1＝Aa n ＋B (A ≠0且A ≠1)，可构造等比数列求a n . (4)形如a n ＋1＝
Aa n
Ba n ＋C
，可通过两边同时取倒数，构造新数列求解． 形如a n ＋1＝a n ＋f (n )，求a n
在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋3n ＋2(n ∈N *
)，求数列{a n }的通项公式． [解] ∵a n ＋1－a n ＝3n ＋2，
∴a n －a n －1＝3n －1(n ≥2)，
∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝(3n －1)＋(3n －4)＋…＋8＋5＋2 ＝
n 3n ＋1
2
，
∴a n ＝32n 2＋n 2
.
求解时，易错误地认为a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)造成错解．
形如a n ＋1＝a n f (n )，求a n
已知数列{a n }满足a 1＝4，a n ＋1＝n
n ＋2
a n ，求数列{a n }的通项公式．
[解] 由a n ＋1＝n
n ＋2a n 得a n ＋1a n ＝n n ＋2
， ∴
a n a n －1＝n －1
n ＋1
(n ≥2)， ∴a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·a n －2a n －3·…·a 3a 2·a 2a 1·a 1＝n －1n ＋1·n －2n ·n －3n －1·…·24·13
·4 ＝
1n ＋1×1
n ×2×1×4＝8
n
n ＋1
， 即a n ＝
8
n
n ＋1
. 求解时易错误地认为a n ＝
a n a n －1·a n －1a n －2·a n －2a n －3·…·a 3a 2·a 2
a 1
，造成错解． 形如a n ＋1＝Aa n ＋B (A ≠0且A ≠1)，求a n
已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2，求数列{a n }的通项公式． [解] ∵a n ＋1＝3a n ＋2，∴a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)， 又a 1＝1，∴a 1＋1＝2，
故数列{a n ＋1}是首项为2，公比为3的等比数列， ∴a n ＋1＝2·3
n －1
，因此a n ＝2·3
n －1
－1.
a n ＋1＝Aa n ＋B 可转化为a n ＋1＋k ＝A (a n ＋k )的形式，其中k 可用待定系数法求出．
1.(2019·泰安模拟)已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋2n －1
＋1，则a n ＝________.
2
n －1
＋n [由a n ＋1＝a n ＋2
n －1
＋1得a n ＋1－a n ＝2
n －1
＋1，
∴a n －a n －1＝2n －2
＋1(n ≥2)，
∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 3－a 2)＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝2
n －2
＋2
n －3
＋…＋2＋1＋(n －1)＋2
＝1－2n －1
1－2
＋n ＋1＝2n －1
＋n ，
即a n ＝2
n －1
＋n .]
2．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2n
a n ，则a n ＝________. 2 [∵a n ＋1＝2n
a n ，∴a n ＋1a n ＝2n ，∴a n a n －1
＝2n －1
(n ≥2)， ∴a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2
a 1
·a 1 ＝2
n －1
·2n －2
·…·2·1＝2
1＋2＋3＋…＋(n －1)
＝2，
即a n ＝2.]
3．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋3，则a n ＝________. 2
n ＋1
－3 [由a n ＋1＝2a n ＋3得a n ＋1＋3＝2(a n ＋3)．
又a 1＝1，∴a 1＋3＝4.
故数列{a n ＋3}是首项为4，公比为2的等比数列， ∴a n ＋3＝4·2
n －1
＝2
n ＋1
，∴a n ＝2
n ＋1
－3.]
⊙考点4 数列的周期性
先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期求值．
(1)数列{a n }满足a n ＋1
＝⎩⎪⎨⎪⎧
2a n
，0≤a n
≤1
2，2a n
－1，1
2
＜a n
＜1，a 1＝3
5
，则数列的第 2 020项为
________．
(2)在数列{a n }中，a 1＝0，a n ＋1＝3＋a n
1－3a n
，则S 2 020＝________.
(1)45 (2)0 [(1)因为a 1＝35，故a 2＝2a 1－1＝15，a 3＝2a 2＝25，a 4＝2a 3＝4
5，a 5＝2a 4－1＝35，a 6＝2a 5－1＝15，a 7＝2a 6＝2
5，…，故数列{a n }是周期数列且周期为4，故a 2 020＝a 505×4
＝a 4＝45
.
(2)∵a 1＝0，a n ＋1＝3＋a n
1－3a n ，
∴a 2＝
31＝3，a 3＝3＋31－3×3＝23－2＝－3， a 4＝
3－3
1＋3×3
＝0，
即数列{a n }是周期为3的周期数列， 且a 1＋a 2＋a 3＝0，
则S2 020＝S3×673＋1＝a1＝0.]
求解时，易算错数列的周期，可计算数列的前几项，直至找到和a1相同的项a k，则数列的周期为k－1.
n1n＋1n n 2 020
0 [∵a1＝1，a n＋1＝a2n－2a n＋1＝(a n－1)2，
∴a2＝(a1－1)2＝0，a3＝(a2－1)2＝1，a4＝(a3－1)2＝0，…，可知数列{a n}是以2为周期的周期数列，∴a2 020＝a2＝0.]
2．(2019·青岛模拟)已知数列2 008,2 009,1，－2 008，…，若这个数列从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2 020项之和S2 020＝________.
2 010 [由题意知a1＝2 008，a2＝2 009，a3＝1，a4＝－2 008，a5＝－2 009，a6＝－1，a7＝2 008，a8＝2 009，…，因此数列是以6为周期的周期数列，且a1＋a2＋…＋a6＝0，∴S2 020＝S6×336＋4＝336×0＋a1＋a2＋a3＋a4＝2 010.]。