2020年高考数学模拟卷(全国Ⅱ卷理科)

2020年高考数学模拟卷（全国Ⅱ卷理科）
时间：120分钟满分：150分命卷人：* 审核人：
一、选择题（每小题5分,共60分）
1. 已知集合,,则( )
A. B.
C. D.
2. 若复数满足,则( )
A. B.
C. D.
3. 从中任取一个,则直线被圆截得的弦长大于的概率为( )
A. B.
C. D.
4. 《张丘建算经》是早于《九章算术》的我国另一部数学著作,在《算经》中有一题:某女子善于织布,一天比一天织的快,而且每天增加的数量相同,已知第一天织布尺,天共织布尺,则该女子织布每天增加( )
A. 尺
B. 尺
C. 尺
D. 尺
5. 某兴趣小组合作用纸片制作了一个封闭的手工制品,并将其绘制成如图所示的三视图,其中侧视图中的
圆的半径为,则制作该手工制品所需材料最少为( )
A. B.
C. D.
6. 从某中学抽取名学生进行阅读调查,发现每年读短篇文章量都在篇至篇之间,频率分布直方图如图所示,则对这名学生的阅读量判断正确的
为( )
A. 的值为
B. 平均数约为
C. 中位数大约为
D. 众数约为
7. 已知的展开式中各项系数之和为,则该展开式的常数项是( )
A. B.
C. D.
8. 已知双曲线的中心为坐标原点,焦点在坐标轴上,且双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率为( )
A. B.
C. 或
D. 或
9. 已知正项数列为等比数列,为其前项和
,且有,,则第
2019项的个位数为( )
A. 1
B. 2
C. 8
D. 9
10. 已知函数 的图象在
处的切线与直线 垂直.执行如图所示的程序框图,若输出的 的值为 ,则判断框中 的值可以为( )
A.
B.
C.
D.
11. 已知函数在
上至少存在两个不同的 满足 ,
且函数 在
上具有单调性, 和 分别为函数 图象的一个对称中心和一条对
称轴,则下列命题中正确的是
A. 函数 图象的两条相邻对称轴之间的距离为
B. 函数 图象关于直线
对称 C. 函数 图象关于点
对称 D. 函数 在
上是单调递减函
数
12. 已知函数 在上恒有 ,其中 为函数 的导数,若 为锐角三角形的两个
内角,则（ ）
A.
B. C. D.
二、填空题（每小题5分,共20分）
13. 设
满足约束条件,若目标函数的最大值与最小值之和为,则
__________.
14. 若向量满足，，则向量在方向上投影的最小值为__________.
15. 在三棱锥中,,若平面平面,则三棱锥
外接球的表面积为__________.
16. 直线与抛物线交于,两点,为轴上的一点，满足,则点的坐标为__________.
三、解答题（每小题12分,共60分）
17. 在中,内角,,所对的边分别为,,.已知.求的值及角的取值范围.
18. 如图,在平面多边形中,,,,以为折痕把
折起,使点到达点的位置,且,连接. (1)求证:平面平面; (2)求平面与平面所成二面角的余弦值.
19. 某研究公司为了调查公众对某事件的关注程度,在某年的连续6个月内,月份 和关注人数 (单位:百) 数据做了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.
(1)由散点图看出,可用线性回归模
百元)与调查人数满足函数关系,求材料费用的最小值,并预测此时的调查人数; (3)现从这6个月中,随机抽取3个月份,试根据(1)中的回归方程,预测关注人数不低于1600人的月份个数分布列与数学期望. 参考公式:相关系数,若,则与的线性相关程度相当高,可用线性回归模型拟合与的关系.回归方程中斜率与截距的最小二乘估计公式分别为
,.
20. 已知椭圆左、右焦点分别为、,上顶点为，离心率为. (1)求的方程; (2)直线与相切于点,直线过点经点被直线反射得反射光线.问:直线是否经过轴
上一个定点?若经过,求出该点的坐标;若不经过,说明理由.
21. 已知函数 . (1)讨论函数 的单调性; (2)当 时,令函数 ,当 时,恒有 ,求实数 的取值范围.
四、选做题（每小题10分,共20分）
22A. 选修
4-4:在直角坐标系 中,直线 的参数方程为( 为参数).以坐标原点为极点
,以
轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线 的极坐标方程为 . (1)求曲线 的普通方程; (2)已知 ,直线 与曲线 交于 , 两点,求
的最大值.
22B. 已知函数
. (1)求不等式 的解集; (2)设函数
,若
存在 使 成立,求实数 的取值范围.
2019年高考数学押题卷（全国Ⅱ卷理科）答案和解析
第1题： 【答案】B
【解析】由得,,即,由,得,所以,所以,所以.
第2题： 【答案】C 【解析】由,得,所以,所以.
第3题： 【答案】A
【解析】所给圆的圆心为坐标原点,半径为,当弦长大于时,圆心到直线的距离小于,即,所以,故所求概率.
第4题： 【答案】B
【解析】本题可以转为等差数列问题:已知首项,前项的和,求公差. 由等差数列的前项公式可得,,解得.
第5题： 【答案】D
【解析】由三视图可知,该手工制品是由两部分构成,每一部分都是相同圆锥的四分之一,且圆锥的底面半
径为,高为,故母线长为,故每部分的表面积为,故两部分表面积为.
第6题： 【答案】C
【解析】由,解得,故A 错; 由A 可知,,所以平均数为,故B 错误; 居民月用电量在的频率为:, 居民月用
电量在的频率为:, ∴这户居民月用电量的中位数大约为,故C 正确; 由频率分布直方图可知,众数大约为,故D 错误.
第7题： 【答案】D
【解析】令,则有,所以,又展开式的通项为，令,则的展开式中含项的系数为,令,则的展开式中常数项
为
,故展开式的常数项为
.
第8题：
【答案】D
【解析】
当双曲线的焦点在轴上时,设的方程为,则其渐近方程为,所以,所以,所以;当双曲线的焦点在轴上时,设C 的方程为,则其渐近方程为,所以,所以所以
，所以.
第9题：
【答案】C
【解析】由,得,即,又>0,所以=180,从而,由,得,即,所以,所以,又,所以,代入,
得,所以
，故其个位数为8.
第10题： 【答案】B
【解析】,则的图象在处的切线斜率,由于切线与直线垂直,则有,则,所以,所以,所以,由于输出的的值为,
故总共循环了
次,此时,故的值可以为.
第11题： 【答案】D
【解析】由于函数在上具有单调性,所以,即,所以,又由于函数在上至少存在两个不
同的满足,所以
,即,所以,故有,又和分别为函数图象的一个对称中心和一条对称轴,
所以,,所以,,所以,故,又为函数图象的一个对称中心,所以,,所以,,又
,所以,所以.由于函数的周期
为,所以相邻两条对称轴之间的距离为,故A 错误;,且,故B,C 错误;由于函数的单调递减区间为,,当时,得其中的一个单调递减区间为,而,故D 正确.
第12题：
【答案】B 【解析】令,则,由于,且,所以
,故函数在
单调递增.又为锐角三角形的两个内角,则,
所以,即
,所以,即,所以.
第13题：
【答案】
【解析】满足约束条件
的可行域如下图:
由,得,由,得,将目标函数化
为,由图可知,当直线经过点时目标函数取得最小值,所以;当直线经过点B 时目标函数取得最大值,所以,所以有=,解得.
第14题：
【答案】 【解析】
,所以
,又向量在方向上投影为
,当且仅当“”时取等号.
第15题：
【答案】
【解析】
取的中点,的中点,连接,因为,所以是以为斜边的直角三角形,从而点为外接圆的圆心,又,所以是
以为斜边的直角三角形,从而点为外接圆的圆心,又因为,所以,又平面平面,且平面平面,所以平面,所以点为三棱锥外接球的球心,所以外接球的半径,故外接球的表面积.
第16题：
【答案】 【解析】设,,,把
代入抛物线方程得,由可得， 所以,
,因为,即, 即
,所以,即,由于,所以,故.
第17题：
【答案】见解析
【解析】(1)∵, ∴,即, ∴, ∴. 如图,过点作,为垂足.在中,,由
题意可知,,所以有,从而,又因为,所以或,又,所以,即角的取值范围为.
第18题：
【答案】见解析
【解析】(1)在中,设,由余弦定理得,, ∴, ∴,即, 又∵, ∴平面, 又∵平面, ∴, 又∵, ∴平面, 又∵平面, ∴平面平面; (2)由(1)可知,直线两两垂直,故以为原点,分别以的方向
为轴,轴,轴的正方向建立空间直角坐标系,如图所示:设, 则,,,从而,设为平面的一个法向量
. 则
,即令,则, 由(1)可知,轴平面,故平面的一个法向量, ∴,即平面与平面所成二面角的余弦值为.
第19题：
【答案】见解析
【解析】(1), ∴, 又∵,, ∴相关系数, 由于关于的相关系数, 这说明关于的线性相关程度相当高,可用线性回归模型拟合与的关系; 又,且, ∴, ∴回归方程为(2),即调查材料最低成本为1800元,此时,所以; (3)可能的取值为0,1,2,3, 且;;;. 所以的分布列为
所以.
第20题：
【答案】见解析 【解析】(1)设,由题意得,
,又,所以有,故的方程为. (2)当直线的斜率为0时,则直线与相切
于短轴的一个顶点,由椭圆的对称性可知,直线经过轴上的点. 当直线斜率存在时,设其方程为,将代入得,,
整理得,,从而,所以,即,所以. 设关于直线的对称点为,则有,解得,
即. 所以. 又, 所以,即,,三点共线,所以直线经过点.
当直线斜率不存在时,直线即为轴,也经过点. 综上,直线经过轴上一个定点.
第21题：
【答案】见解析
【解析】(1). ①当时,在上,,函数f(x)单调递减;在上,,函数f(x)单调递增; ②当时,在上,,函数f(x)
单调递增;在上,,函数单调递减. 综上,当时,递减区间为,递增区间为;当时,递增区间为,递减区间为. (2), ∵,∴, 当时,由于,所以,即, 当时,由于,所以,即, 当时,, 综上,当时,函数单调递增, 所以由可得,即, 等
价于,即, 令,, 则, 由,且,得, 当时,,函数单调递增;当时,,函数单调递减. 所以, 所以,即A 的取值范围为.
第22A 题：
【答案】见解析
【解析】(1)∵, ∴, ∴,即. (2)将直线的参数方程
(为参数)代入的普通方程,得, 则,所以
, 所以
,即
的最大值为.
第22B 题：
【答案】见解析
上,原不等式的解集为. (2)由得, 又, 所以,即,解得, 所以的取值范围为.。