九年级数学下学期第一次月考试题(含解析) 苏科版-苏科版初中九年级全册数学试题

某某省某某市姜堰实验中学2016届九年级数学下学期第一次月考试题一、选择题（每小题3分，共18分）
1．3的相反数是（）
A．﹣3 B．3 C．±3D．9
2．下列计算中，正确的是（）
A．a2•a3=a6B．a6÷a3=a2C．（﹣a2）3=﹣a6D．
3．若关于x的方程x2+mx+1=0有两个不相等的实数根，则m的值可以是（）
A．0 B．﹣1 C．2 D．﹣3
4．如果单项式﹣x a+1y3与是同类项，那么a、b的值分别为（）
A．a=2，b=3 B．a=1，b=2 C．a=1，b=3 D．a=2，b=2
5．若反比例函数y=的图象过点（﹣2，1），则一次函数y=kx﹣k的图象过（）
A．第一、二、四象限 B．第一、三、四象限
C．第二、三、四象限 D．第一、二、三象限
6．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x=﹣，有下列结论：①ab＞0；②a+b+c＜0；③b+2c＜0；其中正确结论的个数是（）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题（每小题3分，共30分）
7．四个数﹣5，﹣0.1，，中为无理数的是．
8．使代数式有意义的x的取值X围是．
9．分解因式：ax2﹣9a=．
10．2015年，某某省参加2016届中考的考生有35.4万人，则35.4万人用科学记数法表示为人．
11．为了2016届中考“跳绳”项目能得到满分，小明练习了6次跳绳，每次跳绳的个数如下（单位：个）：176，183，187，179，187，188．这6次数据的中位数是．
12．小明从家里骑自行车到学校，每小时骑15km，可早到10min；每小时骑12km，就会迟到5min．问他家到学校的路程是多少千米？设他家到学校的路程为xkm，则根据题意列出的方程是．
13．如图，AB是⊙O的直径，∠ABC=30°，OA=2，则BC长为．
14．一个圆锥的侧面展开图是圆心角为120°、半径为15cm的扇形，则圆锥的底面半径为cm．15．如图，四边形ABCD为菱形，已知A（﹣6，0），B（4，0），则点C的坐标为．
16．如图，点A，B分别在一次函数y=x，y=8x的图象上，其横坐标分别为a，b （a＞0，b＞0）．设直线AB的解析式为y=kx+m，若是整数时，k也是整数，满足条件的k值共有个．
三、解答题（本大题共102分）
17．计算
（1）（3.14﹣x）0+﹣2sin45°+（）﹣1．
（2）解方程：+3=．
18．先化简，再求值：，其中x为不等式组的整数解．
19．某地为了打造风光带，将一段长为360m的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成，共用时20天，已知甲工程队每天整治24m，乙工程队每天整治16m．求甲、乙两个工程队分别整治了多长的河道．
20．如图，点E、F在BC上，BE=FC，AB=DC，∠B=∠C．求证：∠A=∠D．
21．为了了解实验初中2015级学生的跳绳成绩，夏老师随机调查了该年级体育模拟考试中部分同学的跳绳成绩，并绘制成了如图所示的条形统计图和扇形统计图．请你根据图中提供的信息完成下列各题：
（1）被调查同学跳绳成绩的中位数是，并补全上面的条形统计图；
（2）如果我校初三年级共有学生1800人，估计跳绳成绩能得8分的学生约有人．
22．有A、B两个口袋，A口袋中装有两个分别标有数字2，3的小球；B口袋中装有三个分别标有数字3，4，5的小球．小明先从A口袋中随机取出﹣个小球，再从B口袋中随机取出一个小球；（1）用树状图法或列表法表示小明所取出的二个小球的和为奇数的概率．
（2）若从A口袋中取出的小球记为x，从B口袋中取出的小球记为y，则点M（x，y）落在直线y=x+1上的概率．
23．如图，经过点A（﹣2，0）的一次函数y=ax+b（a≠0）与反比例函数y=（k≠0）的图象相交于P、Q两点，过点P作PB⊥x轴于点B．已知tan∠PAB=，点B的坐标为（4，0）．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）若点Q的坐标是Q（m，﹣6），连接OQ，求△COQ的面积．
24．甲乙两车从姜堰去往某某市，甲比乙早出发了2个小时，甲到达某某市后停留一段时间返回，乙到达某某市后立即返回．甲车往返的速度都为80千米/时，乙车往返的速度都为40千米/时，下图是两车距姜堰的路程S（千米）与行驶时间t（小时）之间的函数图象．请结合图象回答下列问题：
（1）姜堰、某某两地的距离是千米；甲到某某市后，小时乙到达某某市；
（2）求甲车返回时的路程S（千米）与时间t（小时）之间的函数关系式，并写出自变量t的取值X围；
（3）求甲车从某某市往回返后再经过几小时两车相距30千米．
25．如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，连接AD、DE，且∠1=∠B=∠C．
（1）由题设条件，请写出三个正确结论：（要求不再添加其他字母和辅助线，找结论过程中添加的字母和辅助线不能出现在结论中，不必证明）
答：结论一：；
结论二：；
结论三：．
（2）若∠B=45°，BC=2，当点D在BC上运动时（点D不与B、C重合），
①求CE的最大值；
②若△ADE是等腰三角形，求此时BD的长．
（注意：在第（2）的求解过程中，若有运用（1）中得出的结论，须加以证明）
26．平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，点A，C的坐标分别为（﹣3，0），（0，3），对称轴直线x=﹣1交x轴于点E，点D为顶点．（1）求抛物线的解析式；
（2）点K是直线AC下方的抛物线上一点，且S△KAC=S△DAC求点K的坐标；
（3）如图2若点P是线段AC上的一个动点，∠DPM=30°，DP⊥DM，则点P的线段AC上运动时，D 点不变，M点随之运动，求当点P从点A运动到点C时，点M运动的路径长．
某某省某某市姜堰实验中学2016届九年级下学期第一次月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共18分）
1．3的相反数是（）
A．﹣3 B．3 C．±3D．9
【考点】相反数．
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数．
【解答】解：3的相反数是﹣3，
故选：A．
【点评】本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．
2．下列计算中，正确的是（）
A．a2•a3=a6B．a6÷a3=a2C．（﹣a2）3=﹣a6D．
【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
【专题】计算题．
【分析】分别求出每个式子的值，a2•a3=a5，a6÷a3=a3，（﹣a2）3=﹣a6，3a+a=（3+）a，再进行
判断即可．
【解答】解：A、a2•a3=a5，故本选项错误；
B、a6÷a3=a3，故本选项错误；
C、（﹣a2）3=﹣a6，故本选项正确；
D、3a+a=（3+）a，故本选项错误；
故选C．
【点评】本题考查了同底数幂的乘除，合并同类项，幂的乘方和积的乘方的应用，本题比较典型，但是一道比较容易出错的题目．
3．若关于x的方程x2+mx+1=0有两个不相等的实数根，则m的值可以是（）
A．0 B．﹣1 C．2 D．﹣3
【考点】根的判别式．
【分析】首先根据题意求得判别式△=m2﹣4＞0，然后根据△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；求得答案．
【解答】解：∵a=1，b=m，c=1，
∴△=b2﹣4ac=m2﹣4×1×1=m2﹣4，
∵关于x的方程x2+mx+1=0有两个不相等的实数根，
∴m2﹣4＞0，
则m的值可以是：﹣3，
故选：D．
【点评】此题考查了一元二次方程判别式的知识．此题难度不大，解题时注意：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．
4．如果单项式﹣x a+1y3与是同类项，那么a、b的值分别为（）
A．a=2，b=3 B．a=1，b=2 C．a=1，b=3 D．a=2，b=2
【考点】同类项．
【分析】根据同类项的定义（所含字母相同，相同字母的指数相同）列出方程，求出a，b的值．
【解答】解：根据题意得：，
则a=1，b=3．
故选：C．
【点评】考查了同类项，同类项定义中的两个“相同”：相同字母的指数相同，是易混点，因此成了2016届中考的常考点
5．若反比例函数y=的图象过点（﹣2，1），则一次函数y=kx﹣k的图象过（）
A．第一、二、四象限 B．第一、三、四象限
C．第二、三、四象限 D．第一、二、三象限
【考点】一次函数图象与系数的关系；反比例函数图象上点的坐标特征．
【分析】首先利用反比例函数图象上点的坐标特征可得k的值，再根据一次函数图象与系数的关系确定一次函数y=kx﹣k的图象所过象限．
【解答】解：∵反比例函数y=的图象过点（﹣2，1），
∴k=﹣2×1=﹣2，
∴一次函数y=kx﹣k变为y=﹣2x+2，
∴图象必过一、二、四象限，
故选：A．
【点评】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，以及一次函数图象与系数的关系，关键是掌握一次函数图象与系数的关系：
①k＞0，b＞0⇔y=kx+b的图象在一、二、三象限；
②k＞0，b＜0⇔y=kx+b的图象在一、三、四象限；
③k＜0，b＞0⇔y=kx+b的图象在一、二、四象限；
④k＜0，b＜0⇔y=kx+b的图象在二、三、四象限．
6．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x=﹣，有下列结论：①ab＞0；②a+b+c＜0；③b+2c＜0；其中正确结论的个数是（）
A．0 B．1 C．2 D．3
【考点】二次函数图象与系数的关系．
【分析】根据开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点，确定a、b、c的符号，根据对称轴和图象确定y＞0或y＜0时，x的X围，确定代数式的符号．
【解答】解：①∵开口向下，∴a＜0，对称轴在y轴的左侧，b＜0，∴①正确；
②当x=1时，y＜0，∴a+b+c＜0，②正确；
③﹣=﹣，2a=3b，x=﹣1时，y＞0，a﹣b+c＞0，b+2c＞0③错误；
故选：C．
【点评】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键，解答时，要熟练运用抛物线的对称性和抛物线上的点的坐标满足抛物线的解析式．
二、填空题（每小题3分，共30分）
7．四个数﹣5，﹣0.1，，中为无理数的是．
【考点】无理数．
【分析】根据无理数是无限不循环小数，可得答案．
【解答】解：四个数﹣5，﹣0.1，，中为无理数的是，
故答案为：．
【点评】本题考查了无理数，无理数是无限不循环小数．
8．使代数式有意义的x的取值X围是x≥3．
【考点】二次根式有意义的条件．
【分析】二次根式的被开方数是非负数．
【解答】解：根据题意，得
x﹣3≥0，
解得，x≥3；
故答案是：x≥3．
【点评】考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
9．分解因式：ax2﹣9a= a（x+3）（x﹣3）．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【分析】先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】解：ax2﹣9a
=a（x2﹣9），
=a（x+3）（x﹣3）．
故答案为：a（x+3）（x﹣3）．
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
3.54×105人．
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：35.4万=354000=3.54×105，
故答案为：3.54×105．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
11．为了2016届中考“跳绳”项目能得到满分，小明练习了6次跳绳，每次跳绳的个数如下（单位：个）：176，183，187，179，187，188．这6次数据的中位数是185 ．
【考点】中位数．
【分析】根据中位数的概念求解．
【解答】解：这组数据按照从小到大的顺序排列为：176，179，183，187，187，188，
则中位数为：=185．
故答案为：185．
【点评】本题考查了中位数的概念，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数，如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
12．小明从家里骑自行车到学校，每小时骑15km，可早到10min；每小时骑12km，就会迟到5min．问他家到学校的路程是多少千米？设他家到学校的路程为xkm，则根据题意列出的方程是+=﹣
．
【考点】由实际问题抽象出一元一次方程．
【分析】设他家到学校的路程为xkm，根据每小时骑15km，可早到10min；每小时骑12km，就会迟到5min，列方程即可．
【解答】解：设他家到学校的路程为xkm，
由题意得，+=﹣．
故答案为：+=﹣．
【点评】本题考查了由实际问题列一元一次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程．
13．如图，AB是⊙O的直径，∠ABC=30°，OA=2，则BC长为2．
【考点】圆周角定理；含30度角的直角三角形；勾股定理．
【分析】根据圆周角定理判定△ABC是直角三角形，然后在直角△ABC中利用30度角所对的直角边是斜边的一半、勾股定理来求BC的长度．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°．
又∵∠ABC=30°，OA=2，
∴AC=AB=OA=2，
∴根据勾股定理知，BC===2，即BC长为2；
故答案是：2．
【点评】本题综合考查了圆周角定理、含30°角的直角三角形以及勾股定理．利用圆周角定理推知△ABC是直角三角形是解题的关键所在．
14．一个圆锥的侧面展开图是圆心角为120°、半径为15cm的扇形，则圆锥的底面半径为 5 cm．【考点】圆锥的计算．
【分析】把扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解．
【解答】解：设此圆锥的底面半径为r，
根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得，
2πr=，
r=5cm．
故答案为：5．
【点评】主要考查了圆锥侧面展开扇形与底面圆之间的关系，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
15．如图，四边形ABCD为菱形，已知A（﹣6，0），B（4，0），则点C的坐标为（10，8）．
【考点】菱形的性质；坐标与图形性质．
【分析】先求出AB，再根据菱形的四边相等得出AD，根据勾股定理求出OD，即可得出结果．
【解答】解：∵A（﹣6，0），B（4，0），
∴OA=6，OB=4，
∴AB=10，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AD=CD=AB=10，
在Rt△AOD中，OD===8，
∴点C的坐标为（10，8）；
故答案为：（10，8）．
【点评】本题考查了菱形的性质、坐标与图形性质、勾股定理的运用；熟练掌握菱形的性质，运用勾股定理求出OD的长是解决问题的关键．
16．如图，点A，B分别在一次函数y=x，y=8x的图象上，其横坐标分别为a，b （a＞0，b＞0）．设直线AB的解析式为y=kx+m，若是整数时，k也是整数，满足条件的k值共有 2 个．
【考点】待定系数法求一次函数解析式．
【专题】数形结合．
【分析】先求出点A、B的坐标，再把点A、B的坐标代入函数解析式得到两个关于k、m的等式，整
理得到k的表达式，再根据是整数、k也是整数判断出1﹣的值，然后求出k值可以有两个．【解答】解：当x=a时，y=a；
当x=b时，y=8b；
∴A、B两点的坐标为A（a，a）B（b，8b），
∴直线AB的解析式为y=kx+m，
∴，
解得k==+1=+1，
∵是整数，k也是整数，
∴1﹣=或，
解得b=2a，或b=8a，
此时k=15或k=9．
所以k值共有15或9两个．
故应填2．
【点评】本题主要考查待定系数法求函数解析式，解答本题的关键在于对、k是整数的理解．三、解答题（本大题共102分）
17．计算
（1）（3.14﹣x）0+﹣2sin45°+（）﹣1．
（2）解方程：+3=．
【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；解分式方程；特殊角的三角函数值．
【分析】（1）分别根据特殊角的三角函数值、0指数幂及负整数指数幂的计算法则计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可；
（2）先把分式方程化为整式方程，求出x的值，代入公分母进行检验即可．
【解答】解：（1）原式=1+2﹣2×+3
=1+2﹣+3
=4+；
（2）去分母得2﹣x+3（x﹣3）=﹣2，
解得x=，
经检验x=是原分式方程的根．
【点评】本题考查的是实数的运算，熟知特殊角的三角函数值、0指数幂及负整数指数幂的计算法则是解答此题的关键．
18．先化简，再求值：，其中x为不等式组
的整数解．
【考点】分式的化简求值；一元一次不等式组的整数解．
【专题】计算题．
【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解，从而得到正整数x的值，再把被除式的分子分母分解因式，括号里面的通分并进行加法运算，然后把除法转化为乘法运算，约分，再求出使分式有意义的x的取值X围，然后代入进行计算即可得解．
【解答】解：，
解不等式①得，x＜2，
解不等式②得，x＞﹣1，
所以，不等式组的解集是﹣1＜x＜2，
∵x是整数，
∴x的值是0，1，
÷（x﹣2﹣）﹣，
=÷﹣，
=•﹣，
=﹣，
=，
=﹣，
要使分式有意义，x（x+2）≠0，（x+4）（x﹣4）≠0，
解得x≠0，x≠﹣2，x≠±4，
所以，x=1，
原式=﹣=﹣．
【点评】本题考查了分式的化简求值，解一元一次不等式组，要注意先算括号里面的，分子、分母能因式分解的先因式分解；除法要统一为乘法运算，所取的数必须是使分式有意义．
19．某地为了打造风光带，将一段长为360m的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成，共用时20天，已知甲工程队每天整治24m，乙工程队每天整治16m．求甲、乙两个工程队分别整治了多长的河道．
【考点】一元一次方程的应用．
【分析】设甲队整治了x天，则乙队整治了天，由两队一共整治了360m为等量关系建立方程求出其解即可．
【解答】解：设甲队整治了x天，则乙队整治了天，由题意，得
24x+16=360，
解得：x=5，
∴乙队整治了20﹣5=15天，
∴甲队整治的河道长为：24×5=120m；
乙队整治的河道长为：16×15=240m．
答：甲、乙两个工程队分别整治了120m，240m．
【点评】本题是一道工程问题，考查了列一元一次方程解实际问题的运用，设间接未知数解应用题的运用，解答时设间接未知数是解答本题的关键．
20．如图，点E、F在BC上，BE=FC，AB=DC，∠B=∠C．求证：∠A=∠D．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】证明题．
【分析】可通过证△ABF≌△DCE，来得出∠A=∠D的结论．
【解答】证明：∵BE=FC，
∴BE+EF=CF+EF，
即BF=CE；
又∵AB=DC，∠B=∠C，
∴△ABF≌△DCE；（SAS）
∴∠A=∠D．
【点评】此题考查简单的角相等，可以通过全等三角形来证明，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．
21．为了了解实验初中2015级学生的跳绳成绩，夏老师随机调查了该年级体育模拟考试中部分同学的跳绳成绩，并绘制成了如图所示的条形统计图和扇形统计图．请你根据图中提供的信息完成下列各题：
（1）被调查同学跳绳成绩的中位数是9分，并补全上面的条形统计图；
（2）如果我校初三年级共有学生1800人，估计跳绳成绩能得8分的学生约有648 人．
【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．
【分析】（1）根据7分的有5人，所占的百分比是10%，据此即可求得总人数，进而求得8分的人数和9分的人数，根据众数和中位数的定义求解；
（2）利用总人数乘以对应的比例即可求解．
【解答】解：（1）调查的总人数是5÷10%=50（人），
则9分的人数是：50×=15（人），
则得分是：8分的人数是：50﹣5﹣15﹣12=18（人），
则中位数是：9分．
；
（2）估计跳绳成绩能得8分的学生约有：1800×=648（人）．
故答案是：648．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
22．有A、B两个口袋，A口袋中装有两个分别标有数字2，3的小球；B口袋中装有三个分别标有数字3，4，5的小球．小明先从A口袋中随机取出﹣个小球，再从B口袋中随机取出一个小球；（1）用树状图法或列表法表示小明所取出的二个小球的和为奇数的概率．
（2）若从A口袋中取出的小球记为x，从B口袋中取出的小球记为y，则点M（x，y）落在直线y=x+1上的概率．
【考点】列表法与树状图法；一次函数图象上点的坐标特征．
【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与二个小球的和为奇数的情况，再利用概率公式即可求得答案；
（2）由（1）中的树状图求得点M（x，y）落在直线y=x+1上的有：（2，3），（3，4），再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：（1）画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，所取出的二个小球的和为奇数的有3种情况，
∴小明所取出的二个小球的和为奇数的概率为：=．
（2）∵点M（x，y）落在直线y=x+1上的有：（2，3），（3，4），
∴点M（x，y）落在直线y=x+1上的概率为：=．
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
23．如图，经过点A（﹣2，0）的一次函数y=ax+b（a≠0）与反比例函数y=（k≠0）的图象相交于P、Q两点，过点P作PB⊥x轴于点B．已知tan∠PAB=，点B的坐标为（4，0）．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）若点Q的坐标是Q（m，﹣6），连接OQ，求△COQ的面积．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】计算题．
【分析】（1）由A与B坐标求出AB的长，在三角形PAB中，利用锐角三角函数定义求出BP的长，确定出P的坐标，将P坐标代入反比例解析式中求出k的值，确定出反比例解析式，将A与P坐标代入一次函数解析式中求出a与b的值，确定出一次函数解析式；
（2）将Q坐标代入反比例解析式中求出m的值，确定出Q坐标，对于一次函数，令x=0求出y的值，求出C的坐标，求出三角形COQ的面积即可．
【解答】解：（1）∵A（﹣2，0），B（4，0），
∴AB=6，
∵tan∠PAB=，
∴=，解得：BP=9，
∴P（4，9），
把P（4，9）代入y=中，得 k=36．
∴反比例函数的解析式为 y=，
将A（﹣2，0），P（4，9）代入y=ax+b中，得，
解得：，
∴一次函数的解析式为y=x+3；
（2）由（1）得Q（﹣6，﹣6），
对于一次函数y=x+3，令x=0求出y=3，即C（0，3），
则△COQ的面积为S=×3×6=9．
【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，坐标与图形性质，锐角三角函数定义，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
24．甲乙两车从姜堰去往某某市，甲比乙早出发了2个小时，甲到达某某市后停留一段时间返回，乙到达某某市后立即返回．甲车往返的速度都为80千米/时，乙车往返的速度都为40千米/时，下图是两车距姜堰的路程S（千米）与行驶时间t（小时）之间的函数图象．请结合图象回答下列问题：（1）姜堰、某某两地的距离是120 千米；甲到某某市后， 5 小时乙到达某某市；
（2）求甲车返回时的路程S（千米）与时间t（小时）之间的函数关系式，并写出自变量t的取值X围；
（3）求甲车从某某市往回返后再经过几小时两车相距30千米．
【考点】一次函数的应用．
【分析】（1）根据路程=速度×时间的数量关系用甲车的速度×甲车到达乙地的时间就可以求出两地的距离，根据时间=路程÷速度就可以求出乙需要的时间；
（2）由（1）的结论可以求出BD的解析式，由待定系数法就可以求出结论；
（3）运用待定系数法求出EF的解析式，再由两车之间的距离公式建立方程求出其解即可．【解答】解：（1）由题意，得
40×3=120km．
120÷20﹣3+2=5小时，
故答案为：120，5；
（2）∵姜堰、某某两地的距离是120km，
∴A（3，120），B（10，120），D（13，0）．
设线段BD的解析式为S1=k1t+b1，由题意，得．
，
解得：，
∴S1=﹣40t+520．
t的取值X围为：10≤t≤13；
（3）设EF的解析式为s2=k2t+b2，由题意，得
，
解得：，
S2=﹣20t+280．
当﹣20t+280﹣（﹣40t+520）=30时，
t=13.5；
∴13.5﹣10=3.5（小时），
当﹣40t+520﹣（﹣20t+280）=30时，
t=10.5，
∴10.5﹣10=0.5（小时），
当120﹣20（t﹣8）=30时，
t=12.5，
∴12.5﹣10=2.5（小时），
答：甲车从B市往回返后再经过3.5小时或0.5小时或2.5两车相距30千米．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式的运用，自变量的取值X围的运用，一次函数与一元一次方程之间的关系的运用，解答本题时求出函数的解析式是关键．
25．如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，连接AD、DE，且∠1=∠B=∠C．
（1）由题设条件，请写出三个正确结论：（要求不再添加其他字母和辅助线，找结论过程中添加的字母和辅助线不能出现在结论中，不必证明）
答：结论一：AB=AC ；
结论二：∠AED=∠ADC；
结论三：△ADE∽△ACD．
（2）若∠B=45°，BC=2，当点D在BC上运动时（点D不与B、C重合），
①求CE的最大值；
②若△ADE是等腰三角形，求此时BD的长．
（注意：在第（2）的求解过程中，若有运用（1）中得出的结论，须加以证明）
【考点】相似形综合题．
【专题】综合题；压轴题．
【分析】（1）由∠B=∠C，根据等腰三角形的性质可得AB=AC；由∠1=∠C，∠AED=∠EDC+∠C得到∠AED=∠ADC；又由∠DAE=∠CAD，根据相似三角形的判定可得到△ADE∽△ACD；
（2）①由∠B=∠C，∠B=45°可得△ACB为等腰直角三角形，则AC=BC=×2=，由∠1=∠C，∠DAE=∠CAD，根据相似三角形的判定可得△ADE∽△ACD，则有AD：AC=AE：AD，即AD2=AE•AC，
AE===•AD2，当AD⊥BC，AD最小，且AD=BC=1，此时AE最小为，利用CE=AC﹣AE得到CE的最大值；
②讨论：当AD=AE时，则∠1=∠AED=45°，得到∠DAE=90°，则点D与B重合，不合题意舍去；当EA=ED时，如图1，则∠EAD=∠1=45°，所以有AD平分∠BAC，得到AD垂直平分BC，则BD=1；
当DA=DE时，如图2，由△ADE∽△ACD，易得△CAD为等腰三角形，则DC=CA=，于是有BD=BC﹣DC=2﹣．
【解答】解：（1）AB=AC；∠AED=∠ADC；△ADE∽△ACD；
（2）①∵∠B=∠C，∠B=45°，
∴△ACB为等腰直角三角形，
∴AC=BC=×2=，
∵∠1=∠C，∠DAE=∠CAD，
∴△ADE∽△ACD，
∴AD：AC=AE：AD，即AD2=AE•AC，
∴AE===•AD2，
当AD最小时，AE最小，此时AD⊥BC，AD=BC=1，
∴AE的最小值为×12=，
∴CE的最大值=﹣=；
②当AD=AE时，
∴∠1=∠AED=45°，
∴∠DAE=90°，
∴点D与B重合，不合题意舍去；
当EA=ED时，如图1，
∴∠EAD=∠1=45°，
∴AD平分∠BAC，
∴AD垂直平分BC，
∴BD=1；
当DA=DE时，如图2，
∵△ADE∽△ACD，
∴DA：AC=DE：DC，
∴DC=CA=，
∴BD=BC﹣DC=2﹣，
∴综上所述，当△ADE是等腰三角形时，BD的长为1或2﹣．
【点评】本题考查了相似形综合题：运用相似比进行线段的计算；熟练掌握等腰直角三角形的性质；学会运用分类讨论的思想解决数学问题．
26．平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，点A，C的坐标分别为（﹣3，0），（0，3），对称轴直线x=﹣1交x轴于点E，点D为顶点．（1）求抛物线的解析式；
（2）点K是直线AC下方的抛物线上一点，且S△KAC=S△DAC求点K的坐标；
（3）如图2若点P是线段AC上的一个动点，∠DPM=30°，DP⊥DM，则点P的线段AC上运动时，D
点不变，M点随之运动，求当点P从点A运动到点C时，点M运动的路径长．
【考点】二次函数综合题；勾股定理；平行线分线段成比例；相似三角形的判定与性质；特殊角的三角函数值．
【专题】综合题．
【分析】（1）根据条件可得到关于a、b、c的三元一次方程组，只需解这个方程组就可解决问题；（2）过点D作DH⊥y轴于H，连接EK交y轴于F，连接EC，如图1，运用割补法可求出△DAC的面积，易得S△ADC=S△AEC，由S△KAC=S△DAC，可得S△KAC=S△EAC，从而可得EK∥AC，根据平行线分线段成比例可求出OF，然后运用待定系数法可求出直线EK的解析式，只需求出直线EK与抛物线的交点坐标就可解决问题；
（3）设点P在点A处时点M在点M′，点P在点C处时点M在点M″，如图2．易证△DPC∽△DMM″，△DAC∽△DM′M″，从而可得∠DM″M=∠DM″M′=∠DCP，由于∠DCP是定值，因此点M的运动路径是线段M′M″，然后只需根据△DM′M″∽△DAC，运用相似三角形的性质就可解决问题．
【解答】解：（1）由题意可得，
解得，
∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3；
（2）过点D作DH⊥y轴于H，连接EK交y轴于F，连接EC，如图1．。