【中小学资料】广东省实验中学2017-2018学年高一数学上学期期末考试精彩试题(含解析汇报)

实用标准
广东省实验中学2017-2018学年高一数学上学期期末考试试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
则
故选
2. 直线的倾斜角是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】直线的斜率为
直线的倾斜角为：，
可得：
故选
3. 计算，其结果是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】原式
故选
4. 已知四面体中，，分别是，的中点，若，，，则与
所成角的度数为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
如图，取的中点，连接，，则，
（或补角）是与所成的角，
，，
，，而
故选
5. 直线在轴上的截距是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】直线在轴上的截距就是在直线方程中，
令自变量，
直线在轴上的截距为
故选
6. 已知，是两个不同的平面，给出下列四个条件：
①存在一条直线，使得，；
②存在两条平行直线，，使得，，，；
③存在两条异面直线，，使得，，，；
④存在一个平面，使得，．
其中可以推出的条件个数是（）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
【答案】B
【解析】当，不平行时，不存在直线与，都垂直，，，故正确；
存在两条平行直线，，，，，，则，相交或平行，所以不正确；
存在一个平面，使得，，则，相交或平行，所以不正确；
故选
7. 已知梯形是直角梯形，按照斜二测画法画出它的直观图（如图所示），其中
，，，则直角梯形边的长度是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根据斜二测画法，原来的高变成了方向的线段，且长度是原高的一半，
原高为
而横向长度不变，且梯形是直角梯形，
故选
8. 经过点的直线到，两点的距离相等，则直线的方程为（）
A. B.
C. 或
D. 都不对
【答案】C
【解析】当直线的斜率不存在时，直线显然满足题意；
当直线的斜率存在时，设直线的斜率为
则直线为，即
由到直线的距离等于到直线的距离得：
，
化简得：或（无解），解得
直线的方程为
综上，直线的方程为或
故选
9. 已知函数的图象与函数（，）的图象交于点，如果，那么的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由已知中两函数的图象交于点，
由指数函数的性质可知，若，则，即，
由于，所以且，解得，故选D.
点睛：本题考查了指数函数与对数函数的应用，其中解答中涉及到指数函数的图象与性质、对数函数的图象与性质，以及不等式关系式得求解等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，本题的解答中熟记指数函数与对数函数的图象与性质，构造关于的不等式是解答的关键，试题比较基础，属于基础题.
10. 矩形中，，，沿将矩形折成一个直二面角，则四面体
的外接球的体积是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意知，球心到四个顶点的距离相等，
球心在对角线上，且其半径为长度的一半为
故选
11. 若关于的方程在区间上有解，则实数的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意可得：函数在区间上的值域为
实数的取值范围是
故选
点睛：本小题考查的是学生对函数最值的应用的知识点的掌握。

本题在解答时应该先将函数
在区间上的值域求出，即可得到关于的不等关系，从而即可解得实数的取值范围。

12. 已知棱长为的正方体内部有一圆柱，此圆柱恰好以直线为轴，则该圆柱侧面积的最大值为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】如图所示
设线段上的切点为，平面
圆柱上底面的圆心为，半径为记为
则
由可得：
则圆柱的高为
故选
点睛：本题中由题意可知，只需要考虑圆柱的底面与正方体的表面相切的情况。

由图形的对称性可知，圆柱的上底面必与过点的三个面相切，即可得出结论。

第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13. 直线与直线平行，则__________．
【答案】3
【解析】时不满足条件，
直线与直线平行，
解得
14. 如图所示的正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为8，高为，则它的侧棱长为
__________．
【答案】6
【解析】如下图所示， ,那么 ,,所以根据
勾股定理，可得 ,所以侧棱长为6.
15. 如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为__________．
【答案】
【解析】由图可知，该三棱锥的体积为
16. 已知函数若存在实数使得函数的值域为，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
当时，函数为减函数，且在区间左端点处有
令，解得
令，解得
的值域为，
当时，，
在，上单调递增，在上单调递减，
从而当时，函数有最小值，即为
函数在右端点的函数值为
的值域为，
则实数的取值范围是
点睛：本题主要考查的是分段函数的应用。

当时，函数为减函数，且在区间左端点处有，当时，在，上单调递增，在上单调递减，从而当时，函数有最小值，即为，函数在右端点的函数值为，结合图象即可求出答案。

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知直线的方程为．
（1）求过点，且与垂直的直线的方程；
（2）求与平行，且到点的距离为的直线的方程．
【答案】(1) (2) 或．
【解析】试题分析：直接利用直线垂直的充要条件求出直线的方程；
...........................
解析：（1）∵直线的斜率为，∴所求直线斜率为，
又∵过点，∴所求直线方程为，
即．
（2）依题意设所求直线方程为，
∵点到该直线的距离为，
∴，解得或，
所以，所求直线方程为或．
18. 已知函数．
（1）讨论并证明函数在区间的单调性；
（2）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1) 函数在上单调递增,见解析(2)
【解析】试题分析：利用单调性的定义，根据步骤，取值，作差，变形，定号下结论，即可得到结论；
原不等式等价于对任意的恒成立，整理得对任意的恒成立，分析易知，且，解得
解析：（1）函数在上单调递增．
证明：任取，则，
因为，所以，，所以，
所以函数在上单调递增．
（2）原不等式等价于对任意的恒成立，
整理得对任意的恒成立，
若，则左边对应的函数开口向上，当时，必有大于0的函数值；
所以且，
所以．
19. 如图，在直三棱柱中，三角形为等腰直角三角形，，，点是的中点．
（1）求证：平面；
（2）二面角的平面角的大小．
【答案】(1)见解析(2)
【解析】试题分析：设，连接，则，由此即可证明平面；
推导出，，从而平面，进而，，为二面角的平面角，由此能求出二面角的平面角的大小
解析：（1）在直三棱柱中，设，
则为的中点，连接，
∵为的中点，∴，
又∵平面，平面，
∴平面．
（2）∵中，，为中点，∴，
又∵平面，平面，
∴，又，∴平面，
∵平面，平面，∴，，
∴为二面角的平面角，
∵中，，∴，
在中，，
∴二面角的平面角的大小为．
20. 如图，已知多面体的底面是边长为2的菱形，底面，，且．
（1）证明：平面平面；
（2）若直线与平面所成的角为，求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)见解析(2)
【解析】试题分析：连接，交于点，设中点为，连接，，先证出，再证出平面，，结合面面垂直的判定定理即可证平面平面；
先证明，设的中点为，连接，所以点到平面的距离与点到平面
的距离相等，即，运用解三角形知识求其正弦值。

解析：（1）证明：连接，交于点，设中点为，连接，．
∵，分别为，的中点，
∴，且，
∵，且，
∴，且，
∴四边形为平行四边形，∴，即，
∵平面，平面，∴，
∵是菱形，∴．
∵，∴平面，
∵，∴平面，
∵平面，∴平面平面．
（2）因为直线与平面所成角为，
所以，所以，
所以，故为等边三角形，
设的中点为，连接，则，
设点到平面的距离为，点到平面的距离为，
则由，得（*）
因为面，面，所以，
又，，∴面；
因为，平面，面，所以面，
所以点到平面的距离与点到平面的距离相等，即，因为，，所以，
又，代入（*）得，所以，
设与平面所成角的正弦值为．
21. 如图，甲、乙是边长为的两块正方形钢板，现要将甲裁剪焊接成一个正四棱柱，将乙裁剪焊接成一个正四棱锥，使它们的全面积都等于一个正方形的面积（不计焊接缝的面积）．
（1）将你的裁剪方法用虚线标示在图中，并作简要说明；
（2）试比较你所制作的正四棱柱与正四棱锥体积的大小，并证明你的结论．
【答案】(1)见解析(2) 正四棱柱的体积比正四棱锥的体积大
【解析】试题分析：该四棱柱的底面为正方体，侧棱垂直底面，可知其由两个一样的正方形和四个完全相同的长方形组成，对图形进行切割，画出图形即可，画法不唯一；
正四棱柱的底面边长为，高为，正四棱锥的底面边长为，高为，结合体积公式求得体积，然后比较大小即可；
解析：（1）将正方形甲按图中虚线剪开，以两个正方形为底面，四个长方形为侧面，焊接成一个底面边长为，高为的正四棱柱．
将正方形乙按图中虚线剪开，以两个长方形焊接成边长为的正方形为底面，三个等腰三角形为侧面，两个直角三角形合拼成为一侧面，焊接成一个底面板长为，斜高为的正四棱锥．
（2）∵正四棱柱的底面边长为，高为，∴其体积，
又∵正四棱锥的底面边长为，高为，
∴其体积．
∵，
即，，∴，
故所制作的正四棱柱的体积比正四棱锥的体积大．
（说明：裁剪方式不唯一，计算的体积也不一定相等）
点睛：本题考查了四棱锥和四棱柱的知识，需要掌握二者的特征以及其体积的求法，对于图形进行分割，画出图形即可，注意画法不唯一，结合体积公式求得体积，然后比较大小即完成解答。

22. 已知二次函数满足：，且该函数的最小值为1．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）若函数的定义域为（其中），问是否存在这样的两个实数，，使得函数的值域也为？若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由．
（3）若对于任意的，总存在使得，求的取值范围．
【答案】(1) (2) 存在满足条件的，，其中，（3）
【解析】试题分析：设，由，求出的值，可得此二次函数的解析式；
分时，当时，当时，三种情况讨论，可得满足条件的，，其中，
；
若对于任意的，总存在，使得，进而得到答案；
解析：（1）依题意，可设，因，代入得，所以
．
（2）假设存在这样的，，分类讨论如下：
当时，依题意，即两式相减，整理得
，代入进一步得，产生矛盾，故舍去；
当时，依题意，
若，，解得或（舍去）；
若，，产生矛盾，故舍去；
当时，依题意，即解得，产生矛盾，故舍去. 综上：存在满足条件的，，其中，.
（3）依题意：，
由（1）可知，，，
即在上有解；
整理得，有解，
又，，当时，有；
依题意：．
点睛：本题重点考查了二次函数的性质，运用待定系数法求得二次函数的解析式，在求二次函数的值域时注意分类讨论，解出符合条件的结果，当遇到“任意的，总存在”的语句时需要转化为最值问题。