辽宁省抚顺市重点高中协作校2014-2015学年高二数学下学期期末考试试题 理

辽宁省抚顺市重点高中协作校2014-2015学年高二数学下学期期末考试试题理
抚顺市协作校高二年级下学期期末考试
高二数学（理）
本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分，考试时间为120分钟，满分150分。

第I 卷（60分）
一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知复数1z i =-，则2
1
z z =-
( )
A.2
B.-2
C.2i
D.-2i
2．用数学归纳法证明1＋a ＋2
a ＋…＋1
n a +＝
-
211n a a
+--(a ≠1，n ∈N *
)，在验证n ＝1成立时，左边
的项是( ) A ．1 B ．1＋a C ．1＋a ＋2
a
D ．1＋a ＋2
a +4
a
3．已知随机变量X 服从正态分布N (3,1)，且
P (2≤X ≤4)＝0.682 6，则P (X >4)等于( )
A ．0.1588
B ．0.1587
C ．0.1586
D ．0.1585
4．某中学从4名男生和3名女生中推荐4人参加某高校自主招生考试，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有 ( )
A ．140种
B ．120种
C ．35种
D ．34种 5.有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不．左右相邻，那么不同排法的种数是 A.234 B.346 C.350 D.363
6. 已知2=x 是函数2
3)(3
+-=ax x x f 的极小值点, 那么函
数)(x f 的极大值为 A. 15 B. 16 C. 17
D. 18
7.若ln (),x f x e b a x =<<，则 A.()()f a f b > B.()()f a f b < C.()()f a f b = D.()()1f a f b >
8．若S 1＝⎠⎜⎜⎛1
2x 2d x ，S 2＝⎠⎜⎜⎛1
21x
d x ，S 3＝⎠
⎜⎜⎛1
2e x
d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( )
A ．S 1<S 2<S 3
B ．S 2<S 1<S 3
C ．S 2<S 3<S 1
D ．S 3<S 2<S 1
9.四位外宾参观某场馆需配备两名安保人员.六人依次进入校门，为安全起见，首尾一定是两名安保人员，外宾甲乙要排在一起，则六人的入门顺序的总数是
A ． 12
B ． 24
C ． 36
D ． 48 10.若
22n
x x ⎛
⎫+ ⎪
⎝
⎭展开式中只有第六项的二项式系数最
大，则展开式中的常数项是
A ．180
B ．120
C ．90
D ．45 11．设(
)
10
10221010
2x a x a x a a x
+⋅⋅⋅+++=-,则
2
93121020)()(a a a a a a +++-+++ 的值为（ ）
A ．0
B ．-1
C ．1
D ．
12.已知函数
3211()322
m n f x x mx x
+=++的两个极值点分别为
12
,x x ，且1
2
01x x <<<，点(,)P m n 表示的平面区域内存在
点0
(,)x y 满足0
0log (4)
a y
x =+，则实数a 的取值范围是
( ) A.
1
(0,)(1,3)2
B.
(0,1)(1,3)
C.
]1
(,1)(1,32
D ．[(0,1)3,)+∞
第Ⅱ卷（90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分 13． 已知复数z ＝3＋i 1－r(3
i
2
)，则|z |＝
________． 14. 圆2
22
r y x
=+在点()0
,y x 处的切线方程为2
r y y
x x =+，类
似地，可以求得椭圆18
322
2=+y x 在()2,4处的切线方程
为________．
15.已知5
)1)(1(x ax ++的展开式中2
x 的系数为5，则
=
a . 16.若1a >，函数2
()22f x x
x a
=++与()1g x x x a =-++有相同的最
小值，则1
()a
f x dx =
⎰
．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17. （本小题满分12分）
已知复数z 同时满足下列两个条件：
①z 的实部和虚部都是整数，且在复平面内对应的点位于第四象限；
②421≤+<z
z . （Ⅰ）求出复数z ；
（Ⅱ）求|22|i
i
z +-+.
18. （本题满分12分） 已知n
x x )2(2
+
的展开式中，只有第六项的二项式
系数最大.
（Ⅰ）求该展开式中所有有理项的项数； （Ⅱ）求该展开式中系数最大的项.
19.（本题满分12分）
为了了解在校学生“通过电视收看世界杯”是否与性别有关,从全校学生中随机抽取30名学生进行了
问卷调查,得到了如下列联表:
已知在这30名同学中随机抽取1人，抽到“通过电
视收看世界杯”的学生的概率是15
8
.
(I)请将上面的列联表补充完整,并据此资料分析“通过电视收看世界杯”与性别是否有关? (II)若从这30名同学中的男同学中随机抽取2人参加一活动,记“通过电视收看世界杯”的人数为X , 求X 的期望()E X ．
(参考公式：))()()(()(2
2
d b d c c a b a bc ad n K ++++-=， n a b c d =+++)
20.（本小题满分12分）
甲、乙、丙三位同学商量高考后外出旅游，甲提议去古都西安，乙提议去海上花园厦门，丙表示随意．最终，三人商定以抛硬币的方式决定结果．规则是：由丙抛掷硬币若干次，若正面朝上，则甲得一分、乙得零分；若反面朝上，则乙得一分、甲得零分，先得4分者获胜．三人均执行胜者的提议．若记所需抛掷硬币的次数为X．
（1）求6
X=的概率；
（2）求X的分布列和数学期望．
21.(本小题满分12分 )
已知曲线32
=--++在(1,(1))
f x x x ax
()228
f处的切线与直
线310
-+=垂直.
x y
（Ⅰ）求()
f x解析式；
（Ⅱ）求()
f x的单调区间和极值；
（Ⅲ）已知函数2
()()2g x f x x mx =+-，若对任意1
2
,[1,2]
x x
∈，总
有1
2
1
()[()x x g x --
2()]0,
g x > 求实数m 的取值范围.
请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.
22.(本小题满分10分) 选修4－1：几何证明选讲 如图所示，AB 为圆O 的直径，CB ，CD
为圆O 的切线，
B
，D 为切点. ⑴ 求证：OC AD //；
⑵ 若圆O 的半径为2，求OC AD ⋅的值.
23.(本小题满分10分) 选修4－4：坐标系与参数方
程
在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩
⎨
⎧+-=+=θ
θ
sin 24cos 23y x （θ为参数）.
⑴ 以原点为极点、x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C 的极坐标方程；
⑵ 已知(2,0),(0,2)A B -，圆C 上任意一点),(y x M ，求ABM ∆面积的最大值.
24、（本小题满分10分）选修4-5不等式选讲
已知()2,,2a b R f x x a x b +
∈=--+
（1）求()f x 的最大值；
（2）若()f x 的最大值为5，求1
b a
+的最小值。

抚顺十中2014-2015下学期期末考试
理科数学答案 一． 选择题 ACBDB DBBBA CB 二． 填空题 13.1/2 14.
14
8=+y
x 15.-1 16.28/3
三．解答题
17.
17.解：（Ⅰ）设)0,0,,(<>∈+=b a Z b a bi a z 且 ， 则i b
a b a b b a b a a z z 2
2
2
2
2
2
2
2
)2()2(2+-+++++=+ …………2分 421≤+
<z
z ，
⎪⎩
⎪
⎨⎧≤+++<=-+∴)2(4)
2(1)1(0)2(2
22222b a b a a b a b ， (4)
分
由（1）知：
2
,022=+∴<b a b . …………5分
代入（2）得： 4241≤<a ，即
22
1
≤<a . …………6分
Z
b a ∈, ，0,0<>b a ，
⎩⎨
⎧-==∴1
1b a ，
i
z -=∴1.
…………8分
（Ⅱ）由题意：
23481
125555
i i z i i i -+
=++-=++， …………10分
∴281||||2555
i z i i -+
=+==+. (1)
2分 18.
解：（Ⅰ）由题意可知：162
n
+=，
10
=∴n . …………1分
2
5101022
10101
22r
r r
r r r
r
r x
C x x
C T ---+==∴，),100(N r r ∈≤≤且 (3)
分
要求该展开式中的有理项，只需令
Z r
∈-2
510， …………4分
∴
10
,8,6,4,2,0=r ，所有有理项的项数为6
项. …………6分 （Ⅱ）设第1
+r T 项的系数最大，
则
⎪⎩
⎪⎨⎧≥≥++--1110101110102222r r r r r r r r C C C C ，即
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧+≥--≥1
21011112r r r r ， …………8分
解得：3
22
319≤≤r ，N r ∈ ，得
7=r . …………10分
∴
展开式中的系数最大的项为
2
252
257
710
8153602--==x
x
C T . …………12分
19. (Ⅰ)
由已知数据得
:错误！未找到引用源。

所以,没有充足的理由认为“通过电视收看世界杯”与性别有关 ..........6分 (Ⅱ)X 的可能取值为0,1,2.
错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

所以X 的分布列为:
错误！未找到引用源。

的期望为:错误！未找到引用源。

............12分
20. 解：（1）抛掷硬币正面向上、反面向上的概率都为错误！未找到引用源。

，
错误！未找到引用源。

...........6分
（2）X 的分布列为:
所
以
，
错
误
！
未
找
到引用
源。

.........................12分 21. 解：（Ⅰ）对()f x 求导2
()342f x x x a
'=--+，
由
题意
(1)3423
f a '=--+=- (1)
分
2a ∴=，3
2
()248f x x x x ∴=--++. (2)
分 （Ⅱ）/
2()344(32)(2)
f x x x x x =--+=--+
由
/()0
f x ≥得
223
x -≤≤
，由/()0
f x ≤得
23
x ≥
或
2
x ≤- ……………4分
∴单调增区间为
22,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
，单减区间为
(,2)
-∞-，
2
(,)3
+∞ ……………5分 ()
f x 极小值=
(2)0
f -=，
()
f x 极大值
=213
()9327
f = …………6分 ……………8分
（Ⅲ）3
2()(42)8
g x x x m x =--+-+，
由题意知)(x g 在]2,1[∈x 上为增函数，
即
2()32(42)0
g x x x m '=--+-≥在
]
2,1[∈x 恒成
立. …………9分
∴22324
m x x ≤--+在]2,1[∈x 恒成立.
令
2()324
h x x x =--+，
只需
min
2()m h x ≤， ……………10分
)
(x h 在]2,1[∈x 上为减函数，min
()
(2)12
h x h ∴==-，
6
m ∴≤-，所以实数
m
的取值范围为
(,6]-∞-. ………………12分
22.解： (1) 连接CD CB OD BD ,,, 是圆O 的两条切线，
OC BD ⊥∴， 又AB 为直径，DB AD ⊥∴，//AD OC .
5分
(2)由//AD OC ，DAB COB ∴∠=∠，BAD Rt ∆∴∽Rt COB ∆， AD AB
OB OC
=，8AD OC AB OB ⋅=⋅=. 10分 23.解：（1）圆C 的参数方程为⎩
⎨⎧+-=+=θθ
sin 24cos 23y x （θ为参数）
所以普通方程为4)4()3(2
2
=++-y x . 2分
∴圆C 的极坐标方程：021sin 8cos 62
=++-θρθρρ. 5分
（2）点),(y x M 到直线AB ：02=+-y x 的距离为2
|
9sin 2cos 2|+-=
θθd 7分
ABM ∆的面积|
9)4
sin(
22
||9sin 2cos 2|||21
+-=+-=⨯⨯=θπ
θθd AB S
所以ABM ∆面积的最大值为229+
10分。