东南大学09-10-2工程矩阵理论学位考试(工程硕士)

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东南大学考试试卷
课程名称 工程矩阵理论 考试学期 09-10-2 得分 适用专业 工程硕士 考试形式 闭卷 考试时间长度 120分钟
一. (20％）已知22⨯C 的子空间 1|,a a V x y C b b ⎧⎫⎛⎫=∈⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭， 2|,a b V x y C b a ⎧⎫⎛⎫=∈⎨⎬ ⎪--⎝⎭⎩⎭ 分别求1V ，2V ，21V V ⋂，21V V +的一组基及它们的维数． 二. (12％）在3R 的子空间{}(,,)|230W x y z x y z =-+=,(1,1,0)η=．求0W η∈，使得0min W ξηηηξ∈-=-．
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三. (14%)记11122122121101,,001111A A A A -⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭
．已知22⨯C 上的线性变换f 满足()ij ij f E A =(,1,2)i j =．
1． 求f 在基11122122,,,E E E E 下的矩阵;
2． 分别求f 的值域()R f 和核子空间()K f 的基和维数；
3． 求f 的特征多项式和最小多项式．
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四. （12%）已知矩阵101002101A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
． 1. 求一个多项式()f λ，使得()At f A Ae =;
2. 求A 的广义逆矩阵+
A ．
五. （12%）已知矩阵,A B 的F —范数和算子2-范数分别是2,F A a A b ==,2,F B
c B
d ==,分别求分块矩阵A O M O B ⎛⎫= ⎪⎝⎭
的F-范数和算子2-算子．
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六. (12%）设矩阵102001b c A a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，1000312B y x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
．根据参数,,,,a b c x y 讨论,A B 可能的Jordan 标准形，并问：参数满足什么条件时，矩阵A 与B 是相似的?
七. （10％)n 维欧氏空间V 上的线性变换f 定义如下:()(,)f x ax b x ωω=-，V x ∈∀。

其中，V ω∈是单位向量．问:当参数,a b 取何值时，f 为正交变换？
共 ５ 页 第 页 八. (8％）证明题:
1. 已知n 阶Hermite 矩阵A 满足2
2A A E O +-=，如果A 是正定的，证明：A E =．
2. 已知A 是上三角矩阵，如果A 是正规矩阵，证明A 一定是对角阵．。