高考数学一轮复习 第2章 函数与基本初等函数 第5讲 指数与指数函数课件

a－3 ·b－2 ·a－2 ·b3
(2)原式＝
15
a6 ·b6
＝a－13
－1 2
－1 6
1
·b2
＋13
－56
＝1a．
12/11/2021
解
9
21
7 13 1
1
1
(3)原式＝(a2 a－3 )3 ÷(a－3 a 3 )2 ＝(a3)3 ÷(a2)2
＝a÷a＝1．
1
(4)将 a2
＋a－12
＝3 两边平方，得 a＋a－1＋2＝9，所以 a＋a－1＝7.将 a
m
(1)a n
＝□06 ___n _a_m___(a＞0，m，n∈N*，n＞1)；
1
1
m
(2)a－ n
＝□07 __a_mn___＝□08 __n_a_m__(a＞0，m，n∈N*，n＞1)；
(3)0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义．
3．有理数指数幂的运算性质 (1)ar·as＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；
②当 a>1 时，y＝|ax－1|的图象如图 2，而 此时直线 y＝2a 不可能与 y＝|ax－1|的图象有两个交点．综上，0<a<12．
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解析
(1)研究指数函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)的图象要抓住三个特殊点：(1，a)， (0,1)，－1，1a.
(2)与指数函数有关的函数图象问题的研究，往往利用相应指数函数的 图象，通过平移、对称变换得到其图象．
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[即时训练]
1.化简： 1 a4
a3b23 ab2
1
b2
4a－13
1
b3
(a>0，b>0)．
1 21
解
原式＝a3b2a3
b3
1
2
1
ab2a－3 b3
3
＝a2
＋1 6
－1＋13
·b1＋13
－2－13
＝ab－1＝ab．
12/11/2021
解
2．计算 0.027－13－17－2＋29712 －( 2－1)0．
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[即时训练] 5.已知函数 f(x)＝2x－2，则函数 y＝|f(x)|的图象可能是 ()
解析 y＝|f(x)|＝|2x－2|＝22－x－22x，，xx<≥11，，易知函数 y＝|f(x)|的图象的分 段点是 x＝1，且过点(1,0)，(0,1)，|f(x)|≥0，又 y＝|f(x)|在(－∞，1)上单调递 减，故选 B．
(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；
(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．
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二、指数函数及其性质 1．指数函数的概念
函数□09 ____y_＝__a_x_(a_>__0_且__a_≠__1_) __叫做指数函数，其中指数 x 是自变量，
函数的定义域是 R，a 是底数． 说明：形如 y＝kax，y＝ax＋k(k∈R 且 k≠0，a>0 且 a≠1)的函数叫做指
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函数在定义域 R 上为减函数
1．(n a)n＝a(n∈N*且 n>1)． a，n为奇数且n>1，
2．n an＝|a|＝a－，aa，≥a0＜，0， n 为偶数且 n>1．
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3．底数对函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)的函数值的影响如图(a1>a2>a3>a4)， 不论是 a>1，还是 0<a<1，在第一象限内底数越大，函数图象越高．
数型函数．
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2．指数函数的图象和性质
底数
a>1
0<a<1
图 象
函数的定义域为 R，值域为(0，＋∞)
函数图象过定点(0,1)，即 x＝0 时，y＝1
性
当 x>0 时，恒有 y>1；
当 x>0 时，恒有 0<y<1；
质
当 x<0 时，恒有 0<y<1
当 x<0 时，恒有 y>1
函数在定义域 R 上为增函数
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解析
精准设计考向，多角度探究突破
考向三 指数函数的性质及其应用
角度 1 比较指数幂的大小
例 3 (1)(2019·南昌模拟)下列不等关系正确的是( )
A．3－23 <3－4<32
B．32<1313 <33
C．2.60<122.6<22.6
D．122.6<2.60<22.6
解析
因为 y＝3x 是增函数，所以 3－4<3－23
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解析 答案
(2)若直线 y＝2a 与函数 y＝|ax－1|(a>0 且 a≠1)的图象有两个公共点，
则 a 的取值范围是___0_，__12_ _____．
解析 ①当 0<a<1 时，y＝|ax－1|的图象如 图 1.因为 y＝2a 与 y＝|ax－1|的图象有两个交 点，所以 0<2a<1.所以 0<a<12．
39
(3) a2
a－3÷ 3 a－73 a13(a>0)；
1
(4)已知 a>0，a2
1
＋a－2
＝3，求aa2＋＋aa－－12＋＋11的值．
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解 (1)原式＝(23)23 ×(102) －12 ×(2－2)－3×234－34 ＝22×10－1×26×23 －3＝8625 ．
1
1
11
)
A．(－∞，2]
B．(2，＋∞)
C．(0,2]
D．(1,2]
解析 ∵当 x≥0 时，13x∈(0,1]，∴13x＋1∈(1,2]，即 f(x)的值域为(1,2]．
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解析 答案
3．(a2－a＋2)－x－1<(a2－a＋2)2x＋5 的解集为( )
A．(－∞，－4)
B．(－4，＋∞)
负数的 n 次方根是一个□03 _____负__数______
na
n>1 且 n∈ N*
零的 n 次方 根是零
当 n 为偶数时，正数的 n 次方根有□04 __两__个____， 它们互为□05 ______相__反__数______
±n
a(a＞0)
负数没有 偶次方根
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2．分数指数幂
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解
考向二 指数函数的图象及其应用
例 2 (1)(2019·山西晋城模拟)函数 f(x)＝ax－b 的图象如图所示，其中 a， b 为常数，则下列结论正确的是( )
A．a>1，b<0 B．a>1，b>0 C．0<a<1，b>0 D．0<a<1，b<0 解析 由图象知 f(x)是减函数，所以 0<a<1，又由图象在 y 轴上的截距 小于 1 可知 a－b<1，即－b>0，所以 b<0.故选 D．
＋a－1＝7 两边平方，得 a2＋a－2＋2＝49，所以 a2＋a－2＝47，所以aa2＋＋aa－－12＋＋11
＝477＋＋11＝6．
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解
指数幂运算的一般原则 (1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数． (3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分 数，先化成假分数． (4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数 幂的运算性质来解答． (5)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负 指数，形式力求统一．
C．(－∞，－2)
D．(－2，＋∞)
解析 ∵a2－a＋2>1，∴－x－1<2x＋5， ∴x>－2，选 D．
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解析 答案
4．(2019·德州模拟)已知 a＝3525 ，b＝2535 ，c＝2525 ，则(
)
A．a<b<c
B．c<b<a
C．c<a<b
D．b<c<a
解析
因为
y＝25x
在
解析 y＝ax＋b 的图象如图．由图象可知，y＝ax＋b 的图象必定不经过 第一象限．
12/11/2021
解析 答案
6．若
x＋x－1＝3，则
1
x2
1
＋x－2
＝____5___；x2＋x－2＝__7_____．
解析
1
∵(x2
＋x－12
)2＝x＋x－1＋2＝5，且
1
x2
＋x－12
1
>0，∴x2
＋x－12
R
上为减函数，35>25，所以
b<c.又
2
y＝x5
在(0，＋
∞)上为增函数，35>25，所以 a>c，所以 b<c<a.故选 D．
12/11/2021
解析 答案
5．(2020·蒙城月考)已知 0<a<1，b<－1，则函数 y＝ax＋b 的图象必定
不经过( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第ห้องสมุดไป่ตู้象限
D．第四象限
<32，1313
1
＝3－3
<32<33，
故排除 A，B；因为 y＝2x 是增函数，所以122.6＝2－2.6<20＝2.60<22.6，故选 D．
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解析 答案
(2)已知实数 a，b 满足等式 2019a＝2020b，下列五个关系式．
①0<b<a；②a<b<0；③0<a<b；④b<a<0；⑤a＝b．
＝
5.又(x＋x－1)2＝x2＋x－2＋2＝9，∴x2＋x－2＝7．
12/11/2021
解析
2
PART TWO
核心考向突破
12/11/2021
考向一 指数幂的运算
例 1 求值与化简．
2
(1)83
1
×100－2
×14－3×1861－34
；
2
a3
·b－1－12
·a－12
1
·b3
(2)
6 a·b5
(a>0，b>0)；
＋1 6
－1＋13
·b1＋13
－2－13
＝ab－1＝ab．
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解
2．计算 0.027－13 －17－2＋29712 －( 2－1)0． 解 原式＝(0.33)－13 －72＋29512 －1＝130－49＋53－1＝－45．
12/11/2021
解
3．化简：56a13 ·b－2·(－3a－12 b－1)÷(4a23 ·b－3)12 (a>0，b>0)．
第二章 函数与基本初等函数 第5讲 指数与指数函数
12/11/2021
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PART ONE
基础知识整合
12/11/2021
一、指数及指数运算
1．根式的概念
根式的概念
符号表示 备注
如果□01 ____x_n_＝__a__，那么 x 叫做 a 的 n 次方根
—
当 n 为奇数时，正数的 n 次方根是一个□02 __正__数___，
1 21
解
原式＝a3b2a3
b3
1
2
1
ab2a－3 b3
3
＝a2
＋1 6
－1＋13
·b1＋13
－2－13
＝ab－1＝ab．
12/11/2021
解
[即时训练]
1.化简： 1 a4
a3b23 ab2
1
b2
4a－13
1
b3
(a>0，b>0)．
1 21
解
原式＝a3b2a3
b3
1
2
1
ab2a－3 b3
3
＝a2
其中不可能成立的关系式有( )
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
解析 在同一坐标系下画出 y＝2019x 与 y＝ 2020x 的图象，结合图象可知①②⑤可能成立，所以 不可能成立的有 2 个，选 B．
12/11/2021
解析 答案
比较指数式大小的方法 比较两个指数式的大小时，尽量化成同底或同指． (1)当底数相同，指数不同时，构造同一指数函数，然后利用指数函数 的性质比较大小． (2)当指数相同，底数不同时，构造两个指数函数，利用图象比较大小． (3)当底数不同，指数也不同时，常借助 1,0 等中间量进行比较．
12/11/2021
(3)根据函数图象的变换规律得到的结论 ①函数 y＝ax＋b(a>0，且 a≠1)的图象可由指数函数 y＝ax(a>0，且 a≠1) 的图象向左(b>0)或向右(b<0)平移|b|个单位长度得到． ②函数 y＝ax＋b 的图象可由指数函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)的图象向上 (b>0)或向下(b<0)平移|b|个单位长度得到． ③函数 y＝a|x|的图象关于 y 轴对称，当 x≥0 时，其图象与指数函数 y ＝ax(a>0，且 a≠1)在[0，＋∞)的图象相同；当 x<0 时，其图象与 x≥0 时的 图象关于 y 轴对称．
解 原式＝－52a－16 b－3÷(4a23·b－3)12
＝－54a－16
1
b－3÷(a3
2
b－3
)＝－54a－12
2
·b－3
＝－54· a1b3＝－54aabb2 ．
12/11/2021
解
4．已知 a－1a＝3(a>0)，求 a2＋a＋a－2＋a－1 的值．
解 ∵a－1a＝3， ∴a2＋a12＝a－1a2＋2·a·1a＝9＋2＝11， 而a＋1a2＝a2＋a12＋2＝13， ∴a＋1a＝ 13， ∴a2＋a＋a－2＋a－1＝11＋ 13．
12/11/2021
解析 答案
6．若曲线|y|＝2x＋1 与直线 y＝b 没有公共点，则 b 的取值范围是 _____[－__1__,1_]__．
解析 曲线|y|＝2x＋1 与直线 y＝b 的图象如图所示， 由图象可得，如果|y|＝2x＋1 与直线 y＝b 没有公共点，则 b 应满足的条件是 b∈[－1，1]．
4．当 a>0，且 a≠1 时，函数 y＝ax 与函数 y＝1ax 的图象关于 y 轴对称．
12/11/2021
1．化简[(－2)6]12 －(－1)0 的结果为( )
A．－9
B．7
C．－10
D．9
1
1
解析 [(－2)6]2 －(－1)0＝(26)2 －1＝7．
12/11/2021
解析 答案
2．函数 f(x)＝13x＋1(x≥0)的值域为(