(北师大版)2020版高考文科数学一轮复习圆的方程文课后训练题含解析

课后限时集训(四十四)
(建议用时：60分钟) A 组 基础达标
一、选择题
1．圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程是( ) A ．x 2
＋(y －2)2
＝1 B ．x 2＋(y ＋2)2
＝1 C ．(x －1)2
＋(y －3)2
＝1 D ．x 2
＋(y －3)2
＝1
A [设圆心为(0，a )， 则
1－0
2＋2－a
2
＝1，
解得a ＝2，故圆的方程为x 2
＋(y －2)2
＝1.故选A ．]
2．方程x 2
＋y 2
＋ax ＋2ay ＋2a 2
＋a －1＝0表示圆，则实数a 的取值范围是( )
A ．(－∞，－2)∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫23，＋∞ B ．⎝ ⎛⎭
⎪⎫－23，0
C ．(－2,0)
D ．⎝
⎛⎭⎪⎫－2，23 D [方程化简为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋(y ＋a )2
＝1－a －3a 2
4表示圆，则1－a －3a 2
4＞0，解得－2＜a ＜23.]
3．(2019·广东六校模拟)圆(x －2)2
＋y 2
＝4关于直线y ＝3
3
x 对称的圆的方程是( ) A ．(x －3)2
＋(y －1)2
＝4 B ．(x －2)2
＋(y －2)2
＝4 C ．x 2
＋(y －2)2＝4 D ．(x －1)2
＋(y －3)2
＝4 D [设所求圆的圆心为(a ，b )，
则⎩⎪⎨
⎪⎧
b 2＝33×a ＋22，b a －2＝－3，
∴⎩⎨
⎧
a ＝1，
b ＝3，
∴圆的方程为(x －1)2
＋(y －3)2
＝4.]
4．(2019·湖南长沙模拟)圆x 2
＋y 2
－2x －2y ＋1＝0上的点到直线x －y ＝2距离的最大值是( )
A ．1＋ 2
B ．2
C ．1＋
2
2
D ．2＋2 2
A [将圆的方程化为(x －1)2＋(y －1)2
＝1，圆心坐标为(1,1)，半径为1，则圆心到直线
x －y ＝2的距离d ＝
|1－1－2|
2
＝2，故圆上的点到直线x －y ＝2距离的最大值为d ＋1＝2＋1，选A ．]
5．(2019·山西晋中模拟)半径为2的圆C 的圆心在第四象限，且与直线x ＝0和x ＋y ＝22均相切，则该圆的标准方程为( )
A ．(x －1)2
＋(y ＋2)2
＝4 B ．(x －2)2
＋(y ＋2)2
＝2 C ．(x －2)2
＋(y ＋2)2
＝4 D ．(x －22)2
＋(y ＋22)2
＝4
C [设圆心坐标为(2，－a )(a ＞0)，则圆心到直线x ＋y ＝22的距离d ＝|2－a －22|
2＝
2，所以a ＝2，所以该圆的标准方程为(x －2)2
＋(y ＋2)2
＝4，故选C ．]
二、填空题
6．圆C 的圆心在x 轴上，并且经过点A (－1,1)，B (1,3)，若M (m ，6)在圆C 内，则m 的取值范围为________．
(0,4) [设圆心为C (a,0)，由|CA |＝|CB |得 (a ＋1)2
＋12
＝(a －1)2
＋32
.所以a ＝2. 半径r ＝|CA |＝
2＋1
2
＋12
＝10.
故圆C 的方程为(x －2)2
＋y 2
＝10.
由题意知(m －2)2
＋(6)2
＜10，解得0＜m ＜4.]
7．若圆C 经过坐标原点和点(4,0)，且与直线y ＝1相切，则圆C 的方程是________．
(x －2)2
＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋322＝254
[由已知可设圆心为(2，b )，
由22＋b 2＝(1－b )2＝r 2
，得b ＝－32，r 2＝254
.
故圆C 的方程为(x －2)2
＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋322＝254
.]
8．(2018·宜昌模拟)已知圆C ：x 2
＋y 2
＋kx ＋2y ＝－k 2
，当圆C 的面积取最大值时，圆心
C 的坐标为________．
(0，－1) [圆C 的方程可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k 22＋(y ＋1)2
＝－34k 2＋1.所以，当k ＝0时圆C 的面积
最大，此时圆C 坐标为(0，－1)．]
三、解答题
9．求适合下列条件的圆的方程．
(1)圆心在直线y ＝－4x 上，且与直线l ：x ＋y －1＝0相切于点P (3，－2)； (2)过三点A (1,12)，B (7,10)，C (－9,2)．
[解] (1)法一：设圆的标准方程为(x －a )2
＋(y －b )2
＝r 2
，则有
⎩⎪⎨⎪⎧
b ＝－4a ，
3－a 2
＋－2－b 2
＝r 2
，
|a ＋b －1|2＝r ，
解得a ＝1，b ＝－4，r ＝2 2. 所以圆的方程为(x －1)2
＋(y ＋4)2
＝8.
法二：过切点且与x ＋y －1＝0垂直的直线为y ＋2＝x －3，与y ＝－4x 联立可求得圆心为(1，－4)．
所以半径r ＝
1－3
2＋－4＋2
2
＝22，
所以所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2
＝8.
(2)设圆的一般方程为x 2
＋y 2
＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2
＋E 2
－4F ＞0)， 则⎩⎪⎨⎪
⎧
1＋144＋D ＋12E ＋F ＝0，49＋100＋7D ＋10E ＋F ＝0，81＋4－9D ＋2E ＋F ＝0.
解得D ＝－2，E ＝－4，F ＝－95.
所以所求圆的方程为x 2
＋y 2
－2x －4y －95＝0.
10．如图，等腰梯形ABCD 的底边AB 和CD 长分别为6和26，高为3. (1)求这个等腰梯形的外接圆E 的方程；
(2)若线段MN 的端点N 的坐标为(5,2)，端点M 在圆E 上运动，求线段MN 的中点P 的轨迹方程．
[解] (1)由已知可知A (－3,0)，B (3,0)，C (6，3)，D (－6，3)，设圆心E (0，b )． 由|EB |＝|EC |，
得(0－3)2＋(b －0)2＝(0－6)2＋(b －3)2
， 解得b ＝1，r 2
＝(0－3)2
＋(1－0)2
＝10， 所以圆的方程为x 2
＋(y －1)2
＝10.
(2)设P (x ，y )，由已知得M (2x －5,2y －2)， 代入x 2
＋(y －1)2＝10， 得(2x －5)2
＋(2y －3)2
＝10，
化简得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －522＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝52
.
B 组 能力提升
1．点P (4，－2)与圆x 2
＋y 2
＝4上任一点连线的中点轨迹方程是( ) A ．(x －2)2
＋(y ＋1)2
＝1 B ．(x －2)2
＋(y ＋1)2
＝4 C ．(x ＋4)2
＋(y －2)2
＝4
D ．(x ＋2)2＋(y －1)2
＝1
A [设M (x 0
，y 0
)为圆x 2
＋y 2
＝4上任一点，PM 中点为Q (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝x 0
＋42，
y ＝y 0
－2
2，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
x 0＝2x －4，
y 0＝2y ＋2.
代入圆的方程得(2x －4)2
＋(2y ＋2)2
＝4， 即(x －2)2
＋(y ＋1)2
＝1.]
2．(2019·辽宁锦州月考)如果圆(x －a )2
＋(y －a )2
＝8上总存在到原点的距离为2的点，则实数a 的取值范围是( )
A ．(－3，－1)∪(1,3)
B ．(－3,3)
C ．[－1,1]
D ．[－3，－1]∪[1,3]
D [圆(x －a )2
＋(y －a )2
＝8的圆心(a ，a )到原点的距离为|2a |，半径r ＝22，由圆(x －a )2
＋(y －a )2
＝8上总存在点到原点的距离为2，得22－2≤|2a |≤22＋2，∴1≤|a |≤3，解得1≤a ≤3或－3≤a ≤－1.
∴实数a 的取值范围是[－3，－1]∪[1,3]．故选D.]
3．已知点P (2,2)，圆C ：x 2
＋y 2
－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点，则点M 的轨迹方程为________．
(x －1)2
＋(y －3)2
＝2 [圆C 的方程可化为x 2
＋(y －4)2
＝16，所以圆心为C (0,4)，半径为4.
设M (x ，y )，则CM →＝(x ，y －4)，MP →
＝(2－x,2－y )．
由题设知CM →·MP →
＝0，故x (2－x )＋(y －4)(2－y )＝0. 即(x －1)2
＋(y －3)2
＝2.
由于点P 在圆C 的内部，所以点M 的轨迹方程是(x －1)2
＋(y －3)2
＝2.]
4．已知以点C ⎝
⎛⎭
⎪⎫t ，2t (t ∈R ，t ≠0)为圆心的圆与x 轴交于点O 和点A ，与y 轴交于点O
和点B ，其中O 为原点．
(1)求证：△OAB 的面积为定值；
(2)设直线y ＝－2x ＋4与圆C 交于点M ，N ，若|OM |＝|ON |，求圆C 的方程． [解] (1)因为圆C 过原点O ，所以|OC |2＝t 2
＋4t
2.
设圆C 的方程是(x －t )2
＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫y －2t 2＝t 2＋4t 2，令x ＝0，得y 1＝0，y 2＝4t
；
令y ＝0，得x 1＝0，x 2＝2t ，
所以S △OAB ＝12|OA |·|OB |＝12×|2t |×⎪⎪⎪⎪⎪⎪4t ＝4，即△OAB 的面积为定值． (2)因为|OM |＝|ON |，|CM |＝|CN |， 所以OC 垂直平分线段MN . 因为k MN ＝－2，所以k OC ＝1
2.
所以2t ＝1
2
t ，解得t ＝2或t ＝－2.
当t ＝2时，圆心C 的坐标为(2,1)，|OC |＝5， 此时，C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝
1
5
＜5，圆C 与直线y ＝－2x ＋4相交于两点． 符合题意，此时，圆C 的方程为(x －2)2
＋(y －1)2
＝5. 当t ＝－2时，圆心C 的坐标为(－2，－1)， |OC |＝5，此时C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝9
5
＞ 5. 圆C 与直线y ＝－2x ＋4不相交， 所以t ＝－2不符合题意，舍去． 所以圆C 的方程为(x －2)2
＋(y －1)2
＝5. 即为x 2
＋y 2
－4x －2y ＝0.。