大学全册高等数学知识点(全)

大学高等数学知识点整理
公式，用法合集
极限与连续
一. 数列函数: 1. 类型:
(1)数列: *()n a f n =;*1()n n a f a += (2)初等函数:
(3)分段函数: *0102
()(),
()x x f x F x x x f x ≤⎧=⎨>⎩; *0
0()(),x x f x F x x x a ≠⎧=⎨=⎩;* (4)复合(含f )函数: (),()y f u u x ϕ== (5)隐式(方程): (,)0F x y =
(6)参式(数一,二): ()
()x x t y y t =⎧⎨=⎩
(7)变限积分函数: ()(,)x
a
F x f x t dt =
⎰
(8)级数和函数(数一,三): 0
(),n n n S x a x x ∞
==∈Ω∑
2. 特征(几何):
(1)单调性与有界性(判别); (()f x 单调000,()(()())x x x f x f x ⇒∀--定号) (2)奇偶性与周期性(应用).
3. 反函数与直接函数: 1
1()()()y f x x f y y f x --=⇔=⇒=
二. 极限性质:
1. 类型: *lim n n a →∞
;*lim ()x f x →∞
(含x →±∞);*0
lim ()x x f x →(含0x x ±→)
2. 无穷小与无穷大(注: 无穷量):
3. 未定型:
000,,1,,0,0,0∞
∞∞-∞⋅∞∞∞
4. 性质: *有界性, *保号性, *归并性 三. 常用结论:
11n n →, 1(0)1n a a >→, 1()max(,,)n
n
n n
a b c a b c ++→, ()00!
n
a a n >→
1(0)x x →→∞, 0lim 1x
x x +→=, lim 0n x x x e →+∞=, ln lim 0n x x x
→+∞=,
0lim ln 0n x x x +
→=,0,x
x e x →-∞⎧→⎨+∞→+∞
⎩ 四. 必备公式:
1. 等价无穷小: 当()0u x →时,
sin ()()u x u x ;tan ()()u x u x ;2
11cos ()
()2
u x u x -; ()1()u x e u x -; ln(1())()u x u x +;(1())1()u x u x αα+-;
arcsin ()
()u x u x ; arctan ()()u x u x
2. 泰勒公式:
(1)2
211()2!
x
e x x o x =++
+; (2)22
1ln(1)()2x x x o x +=-+;
(3)34
1sin ()3!
x x x o x =-+;
(4)245
11cos 1()2!4!
x x x o x =-++;
(5)22(1)(1)1()2!
x x x o x α
ααα-+=++
+. 五. 常规方法: 前提: (1)准确判断0,,1,0M α∞∞∞(其它如:00,0,0,∞-∞⋅∞∞); (2)变量代换(如:1
t x
=) 1. 抓大弃小(
)∞∞
, 2. 无穷小与有界量乘积 (M α⋅) (注:1
sin
1,x x
≤→∞) 3. 1∞
处理(其它如:00
0,∞) 4. 左右极限(包括x →±∞):
(1)1(0)x x
→; (2)()x
e x →∞;1
(0)x e x →; (3)分段函数: x , []x , max ()f x 5. 无穷小等价替换(因式中的无穷小)(注: 非零因子) 6. 洛必达法则 (1)先”处理”,后法则(
00最后方法);(注意对比: 1ln lim 1x x x x →-与0ln lim 1x x x x
→-)
(2)幂指型处理: ()
()ln ()
()
v x v x u x u x e
=(如: 111111
1(1)x x x x x
e
e e e
-++-=-)
(3)含变限积分; (4)不能用与不便用
7. 泰勒公式(皮亚诺余项): 处理和式中的无穷小 8. 极限函数: ()lim (,)n f x F x n →∞
=(⇒分段函数)
六. 非常手段 1. 收敛准则:
(1)()lim ()n x a f n f x →+∞
=⇒
(2)双边夹: *?n n n b a c ≤≤, *,?n n b c a →
(3)单边挤: 1()n n a f a +=*21?a a ≥ *?n a M ≤ *'()0?f x >
2. 导数定义(洛必达?):00lim
'()x f
f x x
→=
3. 积分和:10112lim [()()()]()n n
f f f f x dx n n n n
→∞+++=⎰,
4. 中值定理: lim [()()]lim '()x x f x a f x a f ξ→+∞
→+∞
+-=
5. 级数和(数一三):
(1)1
n n a ∞
=∑收敛lim 0n n a →∞⇒=, (如2!
lim n n n n n →∞)(2)121
lim()n n n n a a a a ∞
→∞
=++
+=∑,
(3){}n a 与
11
()n
n n a
a ∞
-=-∑同敛散
七.常见应用:
1. 无穷小比较(等价,阶): *(),(0)?n f x kx x →
(1)(1)()(0)'(0)(0)0,(0)n n f f f f a -=====⇔()()!
!
n
n n
a a f x x x x n n α=
+ (2)
()x
x
n f t dt
kt dt ⎰
⎰
2. 渐近线(含斜):
(1)()
lim
,lim[()]x x f x a b f x ax x
→∞→∞==-()
f x ax b α⇒++
(2)()f x ax b α=++,(1
0x
→)
3. 连续性: (1)间断点判别(个数); (2)分段函数连续性(附:极限函数, '()f x 连续性) 八. [,]a b 上连续函数性质
1. 连通性:([,])[,]f a b m M = (注:01λ∀<<, “平均”值:0()(1)()()f a f b f x λλ+-=)
2. 介值定理:(附: 达布定理)
(1)零点存在定理: ()()0f a f b <0()0f x ⇒=(根的个数); (2)()0(
())'0x
a
f x f x dx =⇒=⎰
.
第二讲:导数及应用(一元)(含中值定理)
一. 基本概念:
1. 差商与导数:'()f x =0
()()lim
x f x x f x x →+-; 0'()f x =000
()()
lim x x f x f x x x →--
(1)0
()(0)'(0)lim
x f x f f x →-=(注:0()
lim
(x f x A f x
→=连续)(0)0,'(0)f f A ⇒==) (2)左右导: ''00(),()f x f x -+;
(3)可导与连续; (在0x =处, x 连续不可导; x x 可导) 2. 微分与导数:
()()'()()'()f f x x f x f x x o x df f x dx =+-=+⇒=
(1)可微⇔可导; (2)比较,f df ∆与"0"的大小比较(图示); 二. 求导准备:
1. 基本初等函数求导公式; (注: (())'f x )
2. 法则: (1)四则运算; (2)复合法则; (3)反函数1
'
dx dy y = 三. 各类求导(方法步骤):
1. 定义导: (1)'()f a 与'()x a f x =; (2)分段函数左右导; (3)0
()()
lim
h f x h f x h h
→+--
(注: 0
()(),
x x F x f x x x a ≠⎧=⎨=⎩, 求:0'(),'()f x f x 及'()f x 的连续性) 2. 初等导(公式加法则):
(1)[()]u f g x =, 求:0'()u x (图形题); (2)()()x
a
F x f t dt =
⎰
, 求:'()F x (注: ((,))',((,))',(())'x b b
a
a
a
f x t dt f x t dt f t dt ⎰⎰⎰)
(3)0
10
2(),
()x x f x y x x f x <⎧=⎨
≥⎩,求''00(),()f x f x -+及0'()f x (待定系数)
3. 隐式((,)0f x y =)导:22
,dy d y dx dx (1)存在定理;
(2)微分法(一阶微分的形式不变性). (3)对数求导法.
4. 参式导(数一,二): ()()
x x t y y t =⎧⎨=⎩,求:
22,dy d y
dx dx 5. 高阶导()()n f x 公式:
()
()
ax n n ax
e a e =; ()1
1!
()()
n n n b n a bx a bx +=--; ()(sin )sin()2
n n ax a ax n π
=+
⨯; ()(cos )cos()2
n n ax a ax n π
=+
⨯
()()1(1)2(2)
()'"n n n n n n uv u v C u v C u v --=++
+
注: ()
(0)n f
与泰勒展式: 2012()n
n f x a a x a x a x =+++++
()(0)
!
n n f a n ⇒=
四. 各类应用:
1. 斜率与切线(法线); (区别: ()y f x =上点0M 和过点0M 的切线)
2. 物理: (相对)变化率-速度;
3. 曲率(数一二):
ρ=
曲率半径, 曲率中心, 曲率圆)
4. 边际与弹性(数三): (附: 需求, 收益, 成本, 利润) 五. 单调性与极值(必求导) 1. 判别(驻点0'()0f x =): (1)'()0()f x f x ≥⇒; '()0()
f x f x ≤⇒;
(2)分段函数的单调性
(3)'()0f x >⇒零点唯一; "()0f x >⇒驻点唯一(必为极值,最值). 2. 极值点:
(1)表格('()f x 变号); (由0
002'()'()''()
lim
0,lim 0,lim 00x x x x x x f x f x f x x x x x
→→→≠≠≠⇒=的特点)
(2)二阶导(0'()0f x =)
注(1)f 与',"f f 的匹配('f 图形中包含的信息);
(2)实例: 由'()()()()f x x f x g x λ+=确定点“0x x =”的特点. (3)闭域上最值(应用例: 与定积分几何应用相结合, 求最优) 3. 不等式证明(()0f x ≥)
(1)区别: *单变量与双变量? *[,]x a b ∈与[,),(,)x a x ∈+∞∈-∞+∞? (2)类型: *'0,()0f f a ≥≥; *'0,()0f f b ≤≥
*"0,(),()0f f a f b ≤≥; *00"()0,'()0,()0f x f x f x ≥=≥ (3)注意: 单调性⊕端点值⊕极值⊕凹凸性. (如: max ()()f x M f x M ≤⇔=) 4. 函数的零点个数: 单调⊕介值
六. 凹凸与拐点(必求导!): 1. "y ⇒表格;(0"()0f x =)
2. 应用: (1)泰勒估计; (2)'f 单调; (3)凹凸. 七. 罗尔定理与辅助函数: (注: 最值点必为驻点) 1. 结论: ()()'()()0F b F a F f ξξ=⇒== 2. 辅助函数构造实例: (1)()f ξ⇒()()x
a
F x f t dt =
⎰
(2)'()()()'()0()()()f g f g F x f x g x ξξξξ+=⇒= (3)()
'()()()'()0()()
f x f
g f g F x g x ξξξξ-=⇒= (4)'()()()0f f ξλξξ+=⇒()()()x dx
F x e f x λ⎰=;
3. ()
()0()n f
f x ξ=⇔有1n +个零点(1)()n f x -⇔有2个零点
4. 特例: 证明()
()n f
a ξ=的常规方法:令()()()n F x f x P x =-有1n +个零点(()n P x 待定)
5. 注: 含12,ξξ时,分家!(柯西定理)
6. 附(达布定理): ()f x 在[,]a b 可导,['(),'()]c f a f b ∀∈,[,]a b ξ∃∈,使:'()f c ξ= 八. 拉格朗日中值定理
1. 结论: ()()'()()f b f a f b a ξ-=-; (()(),'()0a b ϕϕξϕξ<⇒∃∍>)
2. 估计:
'()f f x ξ=
九. 泰勒公式(连接,',"f f f 之间的桥梁) 1. 结论: 2300000011
()()'()()"()()"'()()2!3!
f x f x f x x x f x x x f x x ξ=+-+
-+-; 2. 应用:在已知()f a 或()f b 值时进行积分估计
十. 积分中值定理(附:广义): [注:有定积分(不含变限)条件时使用]
第三讲: 一元积分学
一. 基本概念: 1. 原函数()F x :
(1)'()()F x f x =; (2)()()f x dx dF x =; (3)()()f x dx F x c =+⎰
注(1)()()x
a
F x f t dt =⎰
(连续不一定可导);
(2)
()()()()x
x a
a
x t f t dt f t dt f x -⇒⇒⎰
⎰ (()f x 连续)
2. 不定积分性质:
(1)(())'()f x dx f x =⎰; (())()d f x dx f x dx =⎰
(2)
'()()f x dx f x c =+⎰;()()df x f x c =+⎰
二. 不定积分常规方法
1. 熟悉基本积分公式
2. 基本方法: 拆(线性性)
1
212(()())()()k
f x k
g x dx k f x dx k g x dx +=+⎰⎰⎰
3. 凑微法(基础): 要求巧,简,活(2
2
1sin cos x x =+)
如: 211(),,ln ,
2dx dx d ax b xdx dx d x a x
=
+==2=
(1ln )(ln )x dx d x x =+=
4. 变量代换:
(1)常用(三角代换,根式代换,倒代换): 1sin ,,
,x t t t t x
====
(2)作用与引伸(化简):
x t =
5. 分部积分(巧用):
(1)含需求导的被积函数(如ln ,arctan ,()x
a
x x f t dt ⎰
);
(2)“反对幂三指”: ,
ln ,n ax
n
x e
dx x
xdx ⎰⎰
(3)特别:
()xf x dx ⎰ (*已知()f x 的原函数为()F x ; *已知'()()f x F x =)
6. 特例: (1)
11sin cos sin cos a x b x dx a x b x ++⎰; (2)(),()sin kx
p x e dx p x axdx ⎰⎰快速法; (3)()()n v x dx u x ⎰
三. 定积分:
1. 概念性质:
(1)积分和式(可积的必要条件:有界, 充分条件:连续) (2)几何意义(面积,对称性,周期性,积分中值)
*20(0)8
a a π
>=
⎰
; *()02
b
a
a b
x dx +-
=⎰ (3)附:
()()b
a
f x dx M b a ≤-⎰
,
()()()b
b a
a
f x
g x dx M g x dx ≤⎰
⎰)
(4)定积分与变限积分, 反常积分的区别联系与侧重
2: 变限积分()()x
a
x f t dt Φ=
⎰
的处理(重点)
(1)f 可积⇒Φ连续, f 连续⇒Φ可导 (2)(
())'x
a
f t dt ⎰
()f x =; (()())'()x x
a
a
x t f t dt f t dt -=⎰⎰;
()()()x
a
f x dt x a f x =-⎰
(3)由函数()()x
a
F x f t dt =⎰
参与的求导, 极限, 极值, 积分(方程)问题
3. N L -公式:
()()()b
a
f x dx F b F a =-⎰
(()F x 在[,]a b 上必须连续!)
注: (1)分段积分,对称性(奇偶), 周期性 (2)有理式,三角式,根式 (3)含
()b
a f t dt ⎰
的方程.
4. 变量代换:()(())'()b
a
f x dx f u t u t dt β
α
=⎰
⎰
(1)
()()()a
a f x dx f a x dx x a t =-=-⎰
⎰,
(2)
()()()[()()]a
a a
a
a
f x dx f x dx x t f x f x dx --=-=-=+-⎰
⎰⎰(如:44
1
1sin dx x π
π
-+⎰)
(3)2
20
1
sin n n n n I xdx I n
π
--=
=
⎰
,
(4)220
0(sin )(cos )f x dx f x dx ππ
=⎰
⎰;
20
(sin )2(sin )f x dx f x dx π
π
=⎰
⎰,
(5)
(sin )(sin )2xf x dx f x dx ππ
π
=
⎰
⎰
,
5. 分部积分
(1)准备时“凑常数” (2)已知'()f x 或()x
a
f x =
⎰
时, 求
()b
a
f x dx ⎰
6. 附: 三角函数系的正交性:
2220
sin cos sin cos 0nxdx nxdx nx mxdx π
ππ
===⎰
⎰⎰
2200
sin sin cos cos ()0nx mxdx nx mxdx n m π
π
=≠=⎰⎰
222
20
sin cos nxdx nxdx π
π
π==⎰
⎰
四. 反常积分: 1. 类型: (1)(),
(),
()a
a f x dx f x dx f x dx +∞
+∞
-∞
-∞
⎰⎰
⎰
(()f x 连续)
(2)
()b
a
f x dx ⎰
: (()f x 在,,()x a x b x c a c b ===<<处为无穷间断)
2. 敛散;
3. 计算: 积分法⊕N L -公式⊕极限(可换元与分部)
4. 特例: (1)
1
1
p dx x +∞
⎰
; (2)101p dx x
⎰ 五. 应用: (柱体侧面积除外)
1. 面积, (1)[()()];b a
S f x g x dx =-⎰ (2)1()d
c
S f y dy -=⎰
;
(3)21()2
S r d βαθθ=⎰; (4)侧面积:2(b a S f x π=⎰ 2. 体积: (1)22[()()]b
x a
V f x g x dx π
=-⎰
; (2)12[()]2()d b
y c
a
V f y dy xf x dx ππ-==⎰⎰
(3)0x x V =与0y y V =
3. 弧长: ds =
(1)(),[,]y f x x a b =∈a
s =⎰
(2)12()
,[,]()
x x t t t t y y t =⎧∈⎨
=⎩21
t t s =⎰
(3)(),[,]r r θθαβ=∈:
s β
α
θ=
⎰
4. 物理(数一,二)功,引力,水压力,质心,
5. 平均值(中值定理):
(1)1[,]()b
a
f a b f x dx b a =
-⎰; (2)0
()[0)lim
x
x f t dt f x
→+∞
+∞=⎰, (f 以T 为周期:0
()T
f t dt f
T
=
⎰)
第四讲: 微分方程
一. 基本概念
1. 常识: 通解, 初值问题与特解(注: 应用题中的隐含条件)
2. 变换方程:
(1)令()'""x x t y Dy =⇒=(如欧拉方程)
(2)令(,)(,)'u u x y y y x u y =⇒=⇒(如伯努利方程) 3. 建立方程(应用题)的能力 二. 一阶方程:
1. 形式: (1)'(,)y f x y =; (2)(,)(,)0M x y dx N x y dy +=; (3)()y a b =
2. 变量分离型: '()()y f x g y =
(1)解法:
()()()()dy
f x dx G y F x C
g y =⇒=+⎰⎰
(2)“偏”微分方程:
(,)z
f x y x
∂=∂; 3. 一阶线性(重点): '()()y p x y q x +=
(1)解法(积分因子法): 00
()01
()[()()]()x
x p x dx
x x M x e
y M x q x dx y M x ⎰=⇒=
+⎰ (2)变化: '()()x p y x q y +=;
(3)推广: 伯努利(数一) '()()y p x y q x y α
+= 4. 齐次方程: '()y y x
=Φ (1)解法: '(),()y
du dx
u u xu u x u u x =
⇒+=Φ=Φ-⎰⎰
(2)特例:
111
222
a x
b y
c dy dx a x b y c ++=
++ 5. 全微分方程(数一): (,)(,)0M x y dx N x y dy +=且
N M
x y
∂∂=
∂∂ dU Mdx Ndy U C =+⇒=
6. 一阶差分方程(数三): 1*
()()x x x x x n x
x y ca y ay b p x y x Q x b
+=⎧-=⇒⎨=⎩ 三. 二阶降阶方程
1. "()y f x =: 12()y F x c x c =++
2. "(,')y f x y =: 令'()"(,)dp
y p x y f x p dx
=⇒=
= 3. "(,')y f y y =: 令'()"(,)dp
y p y y p
f y p dy
=⇒== 四. 高阶线性方程: ()"()'()()a x y b x y c x y f x ++= 1.通解结构:
(1)齐次解: 01122()()()y x c y x c y x =+
(2)非齐次特解:1122()()()*()y x c y x c y x y x =++ 2. 常系数方程: "'()ay by cy f x ++= (1)特征方程与特征根: 2
0a b c λλ++=
(2)非齐次特解形式确定: 待定系数; (附: ()ax
f x ke =的算子法) (3)由已知解反求方程.
3. 欧拉方程(数一): 2
"'()ax y bxy cy f x ++=, 令2"(1),'t
x e x y D D y xy Dy =⇒=-= 五. 应用(注意初始条件):
1. 几何应用(斜率, 弧长, 曲率, 面积, 体积); 注: 切线和法线的截距
2. 积分等式变方程(含变限积分); 可设
()(),()0x
a
f x dx F x F a ==⎰
3. 导数定义立方程:
含双变量条件()f x y +=
的方程
4. 变化率(速度)
5. 22
dv d x F ma dt dt === 6. 路径无关得方程(数一): Q P
x y
∂∂=
∂∂ 7. 级数与方程:
(1)幂级数求和; (2)方程的幂级数解法:201201,(0),'(0)y a a x a x a y a y =+++==
8. 弹性问题(数三)
第五讲: 多元微分与二重积分
一. 二元微分学概念
1. 极限, 连续, 单变量连续, 偏导, 全微分, 偏导连续(必要条件与充分条件), (1)000000(,),(,),(,)x y f f x x y y f f x x y f f x y y ∆=++∆=+∆=+ (2)lim ,lim
,lim y x x y f f
f f f x y
∆∆∆==∆∆
(3),lim
x y f x f y
df + (判别可微性)
注: (0,0)点处的偏导数与全微分的极限定义:
0(,0)(0,0)(0,)(0,0)
(0,0)lim
,(0,0)lim x y x y f x f f y f f f x y
→→--==
2. 特例:
(1)22
(0,0)(,)0,(0,0)xy
x y f x y ⎧
≠⎪+=⎨⎪=⎩
: (0,0)点处可导不连续;
(2)(0,0)(,)0,(0,0)f x y ≠==⎩
: (0,0)点处连续可导不可微;
二. 偏导数与全微分的计算: 1. 显函数一,二阶偏导: (,)z f x y = 注: (1)y
x 型; (2)00(,)
x
x y z ; (3)含变限积分
2. 复合函数的一,二阶偏导(重点):[(,),(,)]z f u x y v x y =
熟练掌握记号''"""
12111222
,,,,f f f f f 的准确使用 3. 隐函数(由方程或方程组确定): (1)形式: *(,,)0F x y z =; *(,,)0
(,,)0
F x y z
G x y z =⎧⎨
=⎩(存在定理)
(2)微分法(熟练掌握一阶微分的形式不变性):0x y z F dx F dy F dz ++= (要求: 二阶导) (3)注: 00(,)x y 与0z 的及时代入 (4)会变换方程. 三. 二元极值(定义?);
1. 二元极值(显式或隐式): (1)必要条件(驻点); (2)充分条件(判别)
2. 条件极值(拉格朗日乘数法) (注: 应用)
(1)目标函数与约束条件: (,)(,)0z f x y x y ϕ=⊕=, (或: 多条件) (2)求解步骤: (,,)(,)(,)L x y f x y x y λλϕ=+, 求驻点即可. 3. 有界闭域上最值(重点).
(1)(,){(,)(,)0}z f x y M D x y x y ϕ=⊕∈=≤ (2)实例: 距离问题
四. 二重积分计算:
1. 概念与性质(“积”前工作): (1)
D
d σ⎰⎰,
(2)对称性(熟练掌握):*D 域轴对称; *f 奇偶对称; *字母轮换对称;*重心坐标; (3)“分块”积分: *1
2D D D =; *(,)f x y 分片定义; *(,)f x y 奇偶
2. 计算(化二次积分):
(1)直角坐标与极坐标选择(转换): 以“D ”为主; (2)交换积分次序(熟练掌握). 3. 极坐标使用(转换): 2
2
()f x y +
附: 2
2
2
:()()D x a y b R -+-≤; 22
22:1x y D a b
+≤;
双纽线222222
()()x y a x y +=-:1D x y +≤ 4. 特例:
(1)单变量: ()f x 或()f y (2)利用重心求积分: 要求: 题型1
2
()D
k x k y dxdy +⎰⎰, 且已知D 的面积D
S
与重心(,)x y
5.无界域上的反常二重积分(数三) 五: 一类积分的应用(():;;;;f M d D L σΩ
⇒ΩΩΓ∑⎰):
1. “尺寸”: (1)
D D
d S
σ⇔⎰⎰;
(2)曲面面积(除柱体侧面);
2. 质量, 重心(形心), 转动惯量;
3. 为三重积分, 格林公式, 曲面投影作准备.
第六讲: 无穷级数(数一,三)
一. 级数概念
1. 定义: (1){}n a , (2)12n n S a a a =+++; (3)lim n n S →∞
(如1(1)!
n n
n ∞
=+∑
)
注: (1)lim n n a →∞
; (2)
n q ∑(或1
n
a ∑
); (3)“伸缩”级数:1()n n a a +-∑收敛{}n a ⇔收敛. 2. 性质:(1)收敛的必要条件: lim 0n n a →∞
=;
(2)加括号后发散,则原级数必发散(交错级数的讨论); (3)221,0n n n n s s a s s s s +→→⇒→⇒→; 二. 正项级数
1. 正项级数: (1)定义: 0n a ≥; (2)特征:n
S ; (3)收敛n S M ⇔≤(有界)
2. 标准级数: (1)1p n ∑, (2)ln k n
n
α∑, (3)1ln k n n ∑
3. 审敛方法: (注:2
2
2ab a b ≤+,ln ln b
a a
b =)
(1)比较法(原理):n
p
k a n (估计), 如1
()n
f x dx ⎰;()()P n Q n ∑ (2)比值与根值: *1
lim
n n n
u u +→∞
*n 应用: 幂级数收敛半径计算) 三. 交错级数(含一般项):
1
(1)
n n a +-∑(0n a >)
1. “审”前考察: (1)0?n a > (2)0?n a →; (3)绝对(条件)收敛?
注: 若1
lim
1n n n
a a ρ+→∞=>,则n u ∑发散
2. 标准级数: (1)
1
1(1)n n +-∑; (2)11(1)n p n +-∑; (3)1
1(1)ln n p
n
+-∑ 3. 莱布尼兹审敛法(收敛?) (1)前提:
n
a
∑发散; (2)条件: ,0n n a a →; (3)结论:
1
(1)
n n a +-∑条件收敛.
4. 补充方法:
(1)加括号后发散, 则原级数必发散; (2)221,0n n n n s s a s s s s +→→⇒→⇒→. 5. 注意事项: 对比 n
a
∑;
(1)n
n
a
-∑;
n
a
∑;
2n
a
∑之间的敛散关系
四. 幂级数:
1. 常见形式: (1)
n
n
a x
∑, (2)
()
n
n
a x x -∑, (3)
20
()
n
n
a x x -∑
2. 阿贝尔定理:
(1)结论: *x x =敛*0R x x ⇒≥-; *
x x =散*0R x x ⇒≤- (2)注: 当*
x x =条件收敛时*R x x ⇒=-
3. 收敛半径,区间,收敛域(求和前的准备) 注(1),n n
n n a na x x n
∑∑
与n n a x ∑同收敛半径 (2)
n
n
a x
∑与
20
()
n
n
a x x -∑之间的转换
4. 幂级数展开法:
(1)前提: 熟记公式(双向,标明敛域)
23
111,2!3!
x e x x x R =++
++Ω= 24111
()1,22!4!x x e e x x R -+=+++Ω= 35111
(),23!5!
x x e e x x x R --=+++Ω= 3511sin ,3!5!x x x x R =-+-Ω=2411
cos 1,2!4!
x x x R =-++Ω=;
211,(1,1)1x x x x =+++∈--; 211,(1,1)1x x x x
=-+-∈-+ 2311
ln(1),(1,1]23x x x x x +=-+-∈-
2311
ln(1),[1,1)23x x x x x -=----∈-
3511
arctan ,[1,1]35
x x x x x =-+-
∈-
(2)分解: ()()()f x g x h x =+(注:中心移动) (特别: 02
1
,x x ax bx c
=++) (3)考察导函数: ()'()g x f x 0
()()(0)x
f x
g x dx f ⇒=+⎰
(4)考察原函数: 0
()
()x
g x f x dx ⎰
()'()f x g x ⇒=
5. 幂级数求和法(注: *先求收敛域, *变量替换): (1)(),S x =
+∑∑
(2)'()S x =,(注意首项变化)
(3)()(
)'S x =∑,
(4)()"()"S x S x ⇒的微分方程 (5)应用:
()(1)n n
n n a
a x S x a S ⇒=⇒=∑∑∑.
6. 方程的幂级数解法
7. 经济应用(数三):
(1)复利: (1)n
A p +; (2)现值: (1)n
A p -+
五. 傅里叶级数(数一):(2T π=)
1. 傅氏级数(三角级数): 01
()cos sin 2n n n a S x a nx b nx ∞
==++∑
2. Dirichlet 充分条件(收敛定理): (1)由()()f x S x ⇒(和函数) (2)1
()[()()]2
S x f x f x =
-++ 3. 系数公式: 01()cos 1
(),,1,2,3,
1()sin n n a f x nxdx a f x dx n b f x nxdx ππ
π
π
ππππ
π--
-⎧=⎪⎪=
=⎨⎪=⎪⎩
⎰⎰
⎰
4. 题型:(注: ()(),?f x S x x =∈) (1)2T π=且(),(,]f x x ππ=
∈-(分段表示)
(2)(,]x ππ∈-或[0,2]x π∈ (3)[0,]x π∈正弦或余弦 *(4)[0,]x π∈(T π=) *5. 2T l =
6. 附产品: ()f x ⇒01
()cos sin 2n n n a S x a nx b nx ∞
==++∑
00001
()cos sin 2n n n a S x a nx b nx ∞
=⇒=++∑001[()()]2f x f x =-++
第七讲: 向量,偏导应用与方向导(数一)
一. 向量基本运算
1.12k a k b +; (平行b a λ⇔=)
2. a ; (单位向量(方向余弦)01(cos ,cos ,cos )a a a
αβγ=
)
3. a b ⋅; (投影:()a a b b a
⋅=
; 垂直:0a b a b ⊥⇔⋅=; 夹角:(,)a b a b a b
⋅=
)
4. a b ⨯; (法向:,n a b a b =⨯⊥; 面积:S a b =⨯) 二. 平面与直线
1.平面∏
(1)特征(基本量): 0000(,,)(,,)M x y z n A B C ⊕=
(2)方程(点法式):000:()()()00A x x B y y C z z Ax By Cz D π-+-+-=⇒+++= (3)其它: *截距式1x y z
a b c
++=; *三点式
2.直线L
(1)特征(基本量): 0000(,,)(,,)M x y z s m n p ⊕= (2)方程(点向式): 000
:
x x y y z z L m n p
---== (3)一般方程(交面式): 111122220
A x
B y
C z
D A x B y C z D +++=⎧⎨
+++=⎩
(4)其它: *二点式;*参数式;(附: 线段AB 的参数表示:121121121()(),[0,1]()x a a a t y b b b t t z c c c t
=+-⎧⎪
=+-∈⎨⎪=+-⎩
)
3. 实用方法: (1)平面束方程:
11112222:()0A x B y C z D A x B y C z D πλ+++++++=
(2)距离公式: 如点000(,)M x y
到平面的距离d =
(3)对称问题;
(4)投影问题.
三. 曲面与空间曲线(准备) 1. 曲面
(1)形式∑: (,,)0F x y z =或(,)z f x y =; (注: 柱面(,)0f x y =) (2)法向(,,)(cos ,cos ,cos )x y z n F F F αβγ=⇒ (或(,1)x y n z z =--)
2. 曲线
(1)形式()
:()()x x t y y t z z t =⎧⎪
Γ=⎨⎪=⎩
,或(,,)0(,,)0F x y z G x y z =⎧⎨=⎩;
(2)切向: {'(),'(),'()}s x t y t z t = (或12s n n =⨯)
3. 应用
(1)交线, 投影柱面与投影曲线;
(2)旋转面计算: 参式曲线绕坐标轴旋转;
(3)锥面计算.
四. 常用二次曲面 1. 圆柱面:2
2
2
x y R += 2. 球面: 2
2
2
2
x y z R ++=
变形: 2222
x y R z +=-
,z =
2222x y z az ++=, 2222000()()()x x y y z z R -+-+-=
3. 锥面: z =
变形: 222x y z +=, z a =4. 抛物面: 22z x y =+,
变形: 22x y z +=, 22()z a x y =-+ 5. 双曲面: 2221x y z +=± 6. 马鞍面: 22z x y =-, 或z xy =
五. 偏导几何应用 1. 曲面
(1)法向: (,,)0(,,)x y z F x y z n F F F =⇒=, 注: (,)(,1)x y z f x y n f f =⇒=- (2)切平面与法线:
2. 曲线
(1)切向: (),(),()(',',')x x t y y t z z t s x y z ===⇒= (2)切线与法平面
3. 综合: :Γ0
0F G =⎧⎨
=⎩
, 12s n n =⨯
六. 方向导与梯度(重点) 1. 方向导(l 方向斜率):
(1)定义(条件):(,,)(cos ,cos ,cos )l m n p αβγ=⇒ (2)计算(充分条件:可微):
cos cos cos x y z u
u u u l
αβγ∂=++∂ 附: 0(,),{cos ,sin }z f x y l θθ==cos sin x y z
f f l
θθ∂⇒
=+∂ (3)附: 222
2cos 2sin cos sin xx xy yy f f f f l
θθθθ∂=++∂
2. 梯度(取得最大斜率值的方向) G :
(1)计算:
()(,)(,)x y a z f x y G gradz f f =⇒==; ()(,,)(,,)x y z b u f x y z G gradu u u u =⇒==
(2)结论
()
a u
l
∂∂0G l =⋅; ()b 取l G =为最大变化率方向; ()c 0()G M 为最大方向导数值.
第八讲: 三重积分与线面积分(数一)
一. 三重积分(
fdV Ω
⎰⎰⎰)
1. Ω域的特征(不涉及复杂空间域):
(1)对称性(重点): 含: 关于坐标面; 关于变量; 关于重心
(2)投影法: 222
12{(,)}(,)(,)xy D x y x y R z x y z z x y =+≤⊕≤≤ (3)截面法: 222
(){(,)()}D z x y x y R z a z b =+≤⊕≤≤
(4)其它: 长方体, 四面体, 椭球 2. f 的特征:
(1)单变量()f z , (2)22()f x y +, (3)222
()f x y z ++, (4)f ax by cz d =+++
3. 选择最适合方法: (1)“积”前: *
dv Ω
⎰⎰⎰; *利用对称性(重点)
(2)截面法(旋转体): ()
b
a
D z I dz fdxdy =
⎰
⎰⎰(细腰或中空, ()f z , 22()f x y +)
(3)投影法(直柱体): 21(,)
(,)
xy
z x y z x y D I dxdy fdz =
⎰⎰⎰
(4)球坐标(球或锥体): 220
sin ()R
I d d f d π
α
θϕϕρρ=
⋅⋅⋅⎰
⎰⎰,
(5)重心法(f ax by cz d =+++): ()I ax by cz d V Ω=+++ 4. 应用问题:
(1)同第一类积分: 质量, 质心, 转动惯量, 引力 (2)Gauss 公式
二. 第一类线积分(L
fds ⎰)
1. “积”前准备:
(1)L
ds L =⎰
; (2)对称性; (3)代入“L ”表达式
2. 计算公式
:()
[,]((),(()b a
L
x x t t a b fds f x t y t y y t =⎧∈⇒=⎨=⎩⎰⎰
3. 补充说明: (1)重心法:
()()L
ax by c ds ax by c L ++=++⎰;
(2)与第二类互换: L
L
A ds A dr τ⋅=⋅⎰⎰
4.应用范围
(1)第一类积分 (2)柱体侧面积 (),L
z x y ds ⎰
三. 第一类面积分(
fdS ∑
⎰⎰)
1. “积”前工作(重点): (1)
dS ∑
=∑⎰⎰;(代入:(,,)0F x y z ∑=)
(2)对称性(如: 字母轮换, 重心) (3)分片
2. 计算公式:
(1)(,),(,)(,,(,xy
xy D z z x y x y D I f x y z x y =∈⇒=⎰⎰
(2)与第二类互换:
A ndS A dS ∑
∑
⋅=⋅⎰⎰⎰⎰
四: 第二类曲线积分(1):(,)(,)L
P x y dx Q x y dy +⎰
(其中L 有向)
1. 直接计算: ()
()x x t y y t =⎧⎨=⎩
,2112:['()'()]t t t t t I Px t Qy t dt →⇒=+⎰
常见(1)水平线与垂直线; (2)22
1x y += 2. Green 公式: (1)
(
)L
D
Q P
Pdx Qdy dxdy x y
∂∂+=-∂∂⎰⎰⎰; (2)
()
L A B →⎰
: *
P Q y y ∂∂=⇒∂∂换路径; *P Q y y
∂∂≠⇒∂∂围路径
(3)
L
⎰
(x y Q P =但D 内有奇点)
*
L
L =⎰⎰
(变形)
3. 推广(路径无关性):
P Q
y y
∂∂=
∂∂ (1)Pdx Qdy du +=(微分方程)()
B
A L A
B u →⇔
=⎰
(道路变形原理)
(2)(,)(,)L
P x y dx Q x y dy +⎰
与路径无关(f 待定): 微分方程.
4. 应用
功(环流量):I F dr Γ
=⋅⎰
(Γ有向τ,(,,)F P Q R =,(,,)dr ds dx dy dz τ==)
五. 第二类曲面积分: 1. 定义: Pdydz Qdzdx Rdxdy ∑
++⎰⎰, 或(,,)R x y z dxdy ∑
⎰⎰ (其中∑含侧)
2. 计算:
(1)定向投影(单项):
(,,)R x y z dxdy ∑
⎰⎰, 其中:(,)z z x y ∑=(特别:水平面);
注: 垂直侧面, 双层分隔
(2)合一投影(多项,单层):(,,1)x y n z z =--
[()()]x y Pdydz Qdzdx Rdxdy P z Q z R dxdy ∑
∑
⇒++=-+-+⎰⎰⎰⎰
(3)化第一类(∑不投影): (cos ,cos ,cos )n αβγ=
(cos cos cos )Pdydz Qdzdx Rdxdy P Q R dS αβγ∑
∑
⇒++=++⎰⎰⎰⎰
3. Gauss 公式及其应用: (1)散度计算: P Q R divA x y z
∂∂∂=
++∂∂∂ (2)Gauss 公式: ∑封闭外侧, Ω内无奇点
Pdydz Qdzdx Rdxdy divAdv ∑
Ω
++=⎰⎰⎰⎰⎰
(3)注: *补充“盖”平面:0
∑
∑+⎰⎰⎰⎰
; *封闭曲面变形
∑
⎰⎰
(含奇点)
4. 通量与积分:
A d S ∑
Φ=⋅⎰⎰(∑有向n ,(),,A P Q R =,(,,)dS ndS dydz dzdx dxdy ==)
六: 第二类曲线积分(2):
(,,)(,,)(,,)P x y z dx Q x y z dy R x y z dz Γ
++⎰
1. 参数式曲线Γ: 直接计算(代入)
注(1)当0rot A =时, 可任选路径; (2)功(环流量):I F dr Γ
=⋅⎰
2. Stokes 公式: (要求: Γ为交面式(有向), 所张曲面∑含侧) (1)旋度计算: (
,,)(,,)R A P Q R x y z
∂∂∂
=∇⨯=⨯∂∂∂ (2)交面式(一般含平面)封闭曲线: 0
0F G =⎧⇒⎨=⎩
同侧法向{,,}x y z n F F F =或{,,}x y z G G G ;
(3)Stokes 公式(选择): ()A d r A ndS Γ
∑
⋅=∇⨯⋅⎰⎰⎰
(a )化为
Pdydz Qdzdx Rdxdy ∑
++⎰⎰; (b )化为(,,)R x y z dxdy ∑
⎰⎰; (c )化为fdS ∑
⎰⎰
高数重点知识总结
1、基本初等函数：反函数(y=arctanx)，对数函数(y=lnx)，幂函数(y=x)，指数函数(x
a y =)，三角函数(y=sinx)，常数函数(y=c)
2、分段函数不是初等函数。

3、无穷小：高阶+低阶=低阶例如：1lim lim
020==+→→x x
x
x x x x 4、两个重要极限：()e x e
x x
x
x
x x
x x =⎪⎭
⎫
⎝⎛+=+=∞
→→→11lim 1lim )2(1
sin lim )1(1
0 经验公式：当∞→→→)(,0)(,0x g x f x x ，[]
)
()(lim )
(0
)(1lim x g x f x g x x x x e
x f →=+→
例如：()33lim 1
031lim -⎪⎭
⎫ ⎝⎛-→==-→e e
x x x x
x x
5、可导必定连续，连续未必可导。

例如：||x y =连续但不可导。

6、导数的定义：()00
00
')
()(lim
)
(')
()(lim
x f x x x f x f x f x
x f x x f x x x =--=∆-∆+→→∆
7、复合函数求导：
[][])(')(')(x g x g f dx
x g df ∙= 例如：x
x x x x x x y x x y ++=++
=
+=2412221
1', 8、隐函数求导：(1)直接求导法；(2)方程两边同时微分，再求出dy/dx
例如：y
x
dx dy ydy xdx y x y yy x y x -
=⇒+-
=⇒=+=+22,),2('0'22,),1(1
22左右两边同时微分法左右两边同时求导解：法 9、由参数方程所确定的函数求导：若⎩
⎨⎧==)()(t h x t g y ，则)(')('//t h t g dt dx dt dy dx dy ==，其二阶导数：()[]
)
(')('/)('/)/(/22t h dt t h t g d dt dx dt dx dy d dx dx dy d dx y d === 10、微分的近似计算：)(')()(000x f x x f x x f ∙∆=-∆+例如：计算︒31sin 11、函数间断点的类型：(1)第一类：可去间断点和跳跃间断点；例如：x
x
y sin =
（x=0是函数可去间断点），)sgn(x y =（x=0是函数的跳跃间断点）(2)第二类：振荡间断点和无穷
间断点；例如：⎪⎭
⎫ ⎝⎛=x x f 1sin )(（x=0是函数的振荡间断点），x
y 1
=（x=0是函数的无穷间断点）
12、渐近线：
水平渐近线：c x f y x ==∞
→)(lim
铅直渐近线：.)(lim 是铅直渐近线，则若，
a x x f a
x =∞=→ 斜渐近线：[]ax x f b x
x f a b ax y x x -==+=∞→∞
→)(lim ,)
(lim
,即求设斜渐近线为
例如：求函数1
1
2
23-+++=x x x x y 的渐近线 13、驻点：令函数y=f(x)，若f'(x0)=0，称x0是驻点。

14、极值点：令函数y=f(x)，给定x0的一个小邻域u(x0,δ),对于任意x ∈u(x0,δ)，都有f(x)≥f(x0)，称x0是f(x)的极小值点；否则，称x0是f(x)的极大值点。

极小值点与极大值点统称极值点。

15、拐点：连续曲线弧上的上凹弧与下凹弧的分界点，称为曲线弧的拐点。

16、拐点的判定定理：令函数y=f(x)，若f"(x0)=0，且x<x0,f"(x)>0；x>x0时，f"(x)<0或x<x0,f"(x)<0；x>x0时，f"(x)>0，称点(x0，f(x0))为f(x)的拐点。

17、极值点的必要条件：令函数y=f(x)，在点x0处可导，且x0是极值点，则f'(x0)=0。

18、改变单调性的点：0)('0=x f ，)('0x f 不存在，间断点（换句话说，极值点可能是驻点，也可能是不可导点）
19、改变凹凸性的点：0)("0=x f ，)(''0x f 不存在（换句话说，拐点可能是二阶导数等于零的点，也可能是二阶导数不存在的点）
20、可导函数f(x)的极值点必定是驻点，但函数的驻点不一定是极值点。

21、中值定理：
(1)罗尔定理：)(x f 在[a,b]上连续，(a,b)内可导，则至少存在一点ξ，使得0)('=ξf (2)拉格朗日中值定理：)(x f 在[a,b]上连续，(a,b)内可导，则至少存在一点ξ，使得
)(')()()(ξf a b a f b f -=-
(3)积分中值定理：)(x f 在区间[a,b]上可积，至少存在一点ξ，使得
)()()(ξf a b dx x f b
a
-=⎰
22、常用的等价无穷小代换：
3
3323
1
~tan ,61~sin ,21~sin tan 21~
cos 1)1ln(~)11(2~1~tan ~arctan ~arcsin ~sin ~x x x x x x x x x x x x x e x x x x x x ----+-+-
23、对数求导法：例如，x
x y =，()1ln '1ln '1
ln ln +=⇒+=⇒
=x x y x y y
x x y x 解： 24、洛必达法则：适用于“
00”型，“∞
∞”型，“∞∙0”型等。

当∞→∞→→/0)(,/0)(,0x g x f x x ，)('),('x g x f 皆存在，且0)('≠x g ，则
)(')('lim )()(lim 00x g x f x g x f x x x x →→=例如，2
1
2sin lim 002cos lim 001sin lim 0020=+---→→→x e x x e x x e x x x x x x 25、无穷大：高阶+低阶=高阶例如，()()()422lim 2321lim 53
25
3
2==
+++∞→+∞
→x
x x x x x x x 26、不定积分的求法
(1)公式法
(2)第一类换元法（凑微分法）
(3)第二类换元法：哪里复杂换哪里，常用的换元：1)三角换元：
22x a -，可令
t a x sin =；22a x +，可令t a x tan =；22a x -，可令t a x sec = 2)当有理分式函数
中分母的阶较高时，常采用倒代换t
x 1=
27、分部积分法：⎰
⎰-=vdu uv udv ，选取u 的规则“反对幂指三”，剩下的作v 。

分部积
分出现循环形式的情况，例如：dx x xdx e x ⎰
⎰3
sec ,cos
28、有理函数的积分：
例如：
()⎰⎰⎰⎰+++=+++=++dx x dx x x dx x x x x dx x x x 323311
)1(12)1()1(2)1(23
其中，前部分
⎰+dx x x 2
)1(1需要进行拆分，令2
22)1(1)1(1)1(1)1(1+-+-+=+-+=+x x x x x x x x x x x 2)
1(1111+-+-=
x x x 29、定积分的定义：
∑⎰=→∆=n
i i
i
b
a
x f dx x f 1
)(lim )(ξλ
30、定积分的性质：
(1)当a=b 时，
⎰=b
a dx x f 0)(；
(2)当a>b 时，
⎰⎰-=a
b
b
a
dx x f dx x f )()(
(3)当f(x)是奇函数，
0,0)(>=⎰-a dx x f a a
(4)当f(x)是偶函数，
⎰⎰=-a
a
a
dx x f dx x f 0
)(2)(
(5)可加性：
⎰⎰⎰+=b
c
c a
b
a
dx x f dx x f dx x f )()()(
31、变上限积分：)()()(')()(x f dt t f dx d
x dt t f x x
a
x
a
==Φ⇒=Φ⎰⎰ 推广：
[])(')()()
(x u x u f dt t f dx
d x u a
=⎰
32、定积分的计算（牛顿—莱布尼茨公式）：
)()()(a F b F dx x f b
a
-=⎰
33、定积分的分部积分法：[]⎰
⎰
-=b
a
b a
b
a
vdu uv udv 例如：⎰
xdx x ln
34、反常积分：(1)无穷限的反常积分：
⎰⎰+∞
→+∞=b
a
b a
dx x f dx x f )(lim )(
(2)无界函数的反常积分：dx x f dx x f b t
a t
b a
⎰⎰+
→=)(lim )(
35、平面图形的面积：
(1)[]⎰-=
b
a
dx x f x f A )()(1
2
(2)[]dy y y A d
c
⎰-=)()(1
2
ϕϕ
36、旋转体的体积：
(1)绕x 轴旋转，[]⎰=b
a
dx x f V 2
)(π (2)绕y 轴旋转，[]dy y V d
c
⎰
=2
)(ϕπ。