最新2019届高三年级数学 第一次模拟考试(附答案)

2019届高三年级第一次模拟考试(七)
数学(满分160分，考试时间120分钟)
参考公式：柱体的体积V ＝Sh ，锥体的体积V ＝1
3
Sh
一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 1. 函数f(x)＝sin 2x 的最小正周期为________．
2. 已知集合A ＝{4，a 2}，B ＝{－1，16}，若A ∩B ≠∅，则实数a ＝________．
3. 复数z 满足z i ＝4＋3i (i 是虚数单位)，则|z|＝________．
4. 函数y ＝1－x 2的定义域是________．
5. 从1，2，3，4，5这五个数中随机取两个数，则这两个数的和为6的概率为________．
6. 一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的T 的值是________．
7. 已知数列{a n }满足log 2a n ＋1－log 2a n ＝1，则a 5＋a 3
a 3＋a 1
＝________．
8. 若抛物线y 2＝2px(p>0)的准线与双曲线x 2－y 2＝1的一条准线重合，则p ＝________． 9. 如图，在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，M 为棱AA 1的中点，记三棱锥A 1MBC 的体积为V 1，四棱锥A 1BB 1C 1C 的体积为V 2，则V 1
V 2
的值是________．
10. 已知函数f(x)＝2x 4＋4x 2，若f(a ＋3)>f(a －1)，则实数a 的取值范围为________． 11. 在平面直角坐标系xOy 中，过圆C 1：(x －k)2＋(y ＋k －4)2＝1上任一点P 作圆C 2：x 2＋y 2＝1的一条切线，切点为Q ，则当线段PQ 的长最小时，k ＝________．
12. 已知P 为平行四边形ABCD 所在平面上任一点，且满足PA →＋PB →＋2PD →＝0，λPA →＋μPB →
＋PC →
＝0，则λμ＝________．
13. 已知函数f(x)＝⎩
⎪⎨⎪
⎧x 3－3x ＋2a ，x ≥a ，x 3＋3x －4a ，x<a ，若存在x 0＜0，使得f(x 0)＝0，则实数a 的取值
范围是________．
14. 在△ABC 中，已知sin A sin B sin (C －θ)＝λsin 2C ，其中tan θ＝12⎝
⎛⎭⎫0<θ<π2，若1tan A ＋1
tan B
＋
2
tan C
为定值，则实数λ＝________． 二、 解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. (本小题满分14分)
已知向量a ＝(sin x ，1)，b ＝⎝⎛⎭⎫12，cos x ，其中x ∈(0，π)． (1) 若a ∥b ，求x 的值；
(2) 若tan x ＝－2，求|a ＋b |的值．
16. (本小题满分14分)
如图，在四棱锥PABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，O 为对角线BD 的中点，E ，F 分别为棱PC ，PD 的中点，已知PA ⊥AB ，PA ⊥AD.求证：
(1) 直线PB ∥平面OEF ； (2) 平面OEF ⊥平面ABCD.
如图，三个小区分别位于扇形OAB 的三个顶点上，Q 是弧AB 的中点，现欲在线段OQ 上找一处开挖工作坑P(不与点O ，Q 重合)，为小区铺设三条地下电缆管线PO ，PA ，PB ，已知OA ＝2千米，∠AOB ＝π
3
，记∠APQ ＝θ rad ，地下电缆管线的总长度为y 千米．
(1) 将y 表示成θ的函数，并写出θ的范围；
(2) 请确定工作坑P 的位置，使地下电缆管线的总长度最小．
如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a>b>0)的左顶点为A ，B 是椭圆C
上异于左、右顶点的任意一点，P 是AB 的中点，过点B 且与AB 垂直的直线与直线OP 交于点Q ，已知椭圆C 的离心率为1
2
，点A 到右准线的距离为6.
(1) 求椭圆C 的标准方程；
(2) 设点Q 的横坐标为x 0，求x 0的取值范围．
设A ，B 为函数y ＝f(x)图象上相异两点，且点A ，B 的横坐标互为倒数，过点A ，B 分别作函数y ＝f(x)的切线，若这两条切线存在交点，则称这个交点为函数f(x)的“优点”．
(1) 若函数f(x)＝⎩⎪⎨
⎪
⎧ln x ，0<x<1，ax 2
， x>1
不存在“优点”，求实数a 的值；
(2) 求函数f(x)＝x 2的“优点”的横坐标的取值范围；
(3) 求证：函数f(x)＝ln x 的“优点”一定落在第一象限．
已知首项不为0的数列{a n}的前n项和为S n，2a1＋a2＝a3，且对任意的n∈N，n≥2都有2nS n＋1－(2n＋5)S n＋S n－1＝ra1.
(1) 若a2＝3a1，求r的值；
(2) 数列{a n}能否是等比数列？说明理由；
(3) 当r＝1时，求证：数列{a n}是等差数列．
2019届高三年级第一次模拟考试(七)
数学附加题 (本部分满分40分，考试时间30分钟)
21. 【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A. [选修42：矩阵与变换](本小题满分10分)
B. [选修44：坐标系与参数方程](本小题满分10分)
在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1
2－t ，
y ＝12＋t
(t 为参数)，曲线C 的参
数方程为⎩⎪⎨⎪
⎧x ＝－1＋2cos θ，y ＝2sin θ
(θ为参数)．若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的
长．
C. [选修45：不等式选讲](本小题满分10分)
设正数a ，b ，c 满足3a ＋2b ＋c ＝1，求1a ＋1a ＋b ＋1
b ＋
c 的最小值．
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22. (本小题满分10分)
如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1＝3，AB＝1.
(1) 求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；
(2) 求平面A1BC与平面AC1D所成二面角的正弦值．
23. (本小题满分10分)
已知函数f(x)＝1－|2x－1|，0≤x≤1，设f n(x)＝f n－1(f1(x))，其中f1(x)＝f(x)，方程
f n(x)＝0和方程f n(x)＝1根的个数分别为
g n(0)，g n(1)．
(1) 求g2(1)的值；
(2) 证明：g n(0)＝g n(1)＋1.
2019届高三年级第一次模拟考试(七)(泰州)
数学参考答案
1. π
2. ±4
3. 5
4. [－1，1]
5. 1
5 6. 8
7. 4 8. 2 9. 1
4 10. (－1，＋∞) 11. 2
12. －34 13. [－1，0) 14. 510
15. (1) 因为a ∥b ，
所以sin x cos x ＝1
2，即sin 2x ＝1.
因为x ∈(0，π)，所以x ＝π
4.
(2) 因为tan x ＝sin x
cos x ＝－2，
所以sin x ＝－2cos x .
因为a ＋b ＝⎝⎛⎭⎫sin x ＋1
2，1＋cos x ， 所以|a ＋b |＝
⎝
⎛⎭⎫sin x ＋122
＋（1＋cos x ）2＝
94＋sin x ＋2cos x ＝3
2
.
16. (1) O 为BD 的中点，F 为PD 的中点， 所以PB ∥FO.
因为PB ⊄平面OEF ，FO ⊂平面OEF ， 所以PB ∥平面OEF.
(2) 连结AC ，因为四边形ABCD 为平行四边形， 所以AC 与BD 交于点O ，O 为AC 的中点． 因为E 为PC 的中点， 所以PA ∥OE.
因为PA ⊥AB ，PA ⊥AD ，AB ∩AD ＝A ，AB ，AD ⊂平面ABCD ， 所以PA ⊥平面ABCD ， 所以OE ⊥平面ABCD. 因为OE ⊂平面OEF ，
所以平面OEF ⊥平面ABCD.
17. (1) 因为Q 为弧AB 的中点，由对称性，知PA ＝PB ，∠AOP ＝∠BOP ＝π6
， 又∠APO ＝π－θ，∠OAP ＝θ－π6
， 由正弦定理，得PA sin π6
＝OA sin （π－θ）＝OP sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6，又OA ＝2， 所以PA ＝1sin θ，OP ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6sin θ
， 所以y ＝PA ＋PB ＋OP ＝2PA ＋OP ＝2＋2sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6sin θ＝3sin θ－cos θ＋2sin θ
， 因为∠APQ ＞∠AOP ，
所以θ>π6，∠OAQ ＝∠OQA ＝12(π－π6)＝5π12
， 所以θ∈⎝⎛⎭⎫π6，5π12.
(2) 令f(θ)＝
3sin θ－cos θ＋2sin θ，θ∈⎝⎛⎭⎫π6，5π12， f′(θ)＝1－2cos θsin 2θ＝0，得θ＝π3， f(θ)在区间⎝⎛⎭⎫π6，π3上单调递减，在区间(π3，5π12
)上单调递增， 所以当θ＝π3，即OP ＝233
千米时，f(θ)有唯一的极小值，即是最小值，则f(θ)min ＝2 3. 答：当工作坑P 与O 的距离为233
千米时，地下电缆管线的总长度最小．
18. (1) 依题意，得⎩⎨⎧c a ＝12
，a ＋a 2c ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝1， 所以b ＝a 2－c 2＝3，
所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2
3
＝1. (2) 由(1)知，A(－2，0)，设AB ：x ＝my －2，m ≠0，
联立⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝my －2，3x 2＋4y 2＝12，
解得⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝6m 2－83m 2＋4，y ＝12m 3m 2＋4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝0， 即B(6m 2－83m 2＋4，12m 3m 2＋4)，则P(－83m 2＋4，6m 3m 2＋4
)， 所以k OP ＝－3m 4，OP ：y ＝－3m 4
x. 因为AB ⊥BQ ，所以k BQ ＝－m ，所以直线BQ 的方程为BQ ：y ＝－mx ＋6m 3＋4m 3m 2＋4
， 联立⎩⎨⎧y ＝－3m 4x ，y ＝－mx ＋6m 3＋4m 3m 2＋4，得x 0＝8（3m 2＋2）3m 2＋4＝8－163m 2
＋4∈(4，8)．
19. (1) 由题意可知，f′(x)＝f′⎝⎛⎭⎫1x 对x ∈(0，1)∪(1，＋∞)恒成立，
不妨取x ∈(0，1)，则f′(x)＝1x ＝2a x ＝f′⎝⎛⎭⎫1x 恒成立，即a ＝12
， 经验证，a ＝12
符合题意． (2) 设A(t ，t 2)，B ⎝⎛⎭⎫1t ，1t 2(t ≠0且t ≠±
1)， 因为f′(x)＝2x ，
所以A ，B 两点处的切线方程分别为y ＝2tx －t 2，y ＝2t x －1t 2， 令2tx －t 2＝2t x －1t 2，解得x ＝12⎝⎛⎭
⎫t ＋1t ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)， 所以“优点”的横坐标取值范围为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
(3) 设A(t ，ln t)，b ⎝⎛⎭
⎫1t ，－ln t ，t ∈(0，1)， 因为f′(x)＝1x
， 所以A ，B 两点处的切线方程分别为y ＝1t
x ＋ln t －1，y ＝tx －ln t －1， 令1t
x ＋ln t －1＝tx －ln t －1， 解得x ＝2ln t t －1t
>0， 所以y ＝1t ·2ln t t －1t
＋ln t －1＝t 2＋1t 2－1(ln t －t 2－1t 2＋1)，
设h(m)＝ln m －m 2－1m 2＋1
，m ∈(0，1)， 则h′(m)＝（m 2－1）2
m （m 2＋1）2
>0， 所以h(m)单调递增，
所以h(m)<h(1)＝0，
即ln t －t 2－1t 2＋1
<0. 因为t 2＋1t 2－1
<0， 所以y ＝1t ·2ln t t －1t
＋ln t －1>0， 所以“优点”的横坐标和纵坐标均为正数，在第一象限．
20. (1)令n ＝2，得4S 3－9S 2＋S 1＝ra 1，
即4(a 3＋a 2＋a 1)－9(a 2＋a 1)＋a 1＝ra 1，
化简，得4a 3－5a 2－4a 1＝ra 1.
因为2a 1＋a 2＝a 3，a 2＝3a 1，
所以4×5a 1－5×3a 1－4a 1＝ra 1，
解得r ＝1.
(2) 假设数列{a n }是等比数列，公比为q ，则由2a 1＋a 2＝a 3得2a 1＋a 1q ＝a 1q 2，且a 1≠0，解得q ＝2或q ＝－1，
由2nS n ＋1－(2n ＋5)S n ＋S n －1＝ra 1，
得4S n ＝2na n ＋1－a n －ra 1(n ≥2)，
所以4S n －1＝2(n －1)a n －a n －1－ra 1(n ≥3)，两式相减，整理得2na n ＋1＋a n －1＝(2n ＋3)a n ， 两边同除以a n －1，可得2n(q 2－q)＝3q －1.
因为q ＝2或－1，
所以q 2－q ≠0，
所以上式不可能对任意n ≥3恒成立，
故数列{a n }不可能是等比数列．
(3) r ＝1时，令n ＝2，
整理得－4a 1－5a 2＋4a 3＝a 1，
又由2a 1＋a 2＝a 3可知a 2＝3a 1，a 3＝5a 1，
令n ＝3，可得6S 4－11S 3＋S 2＝a 1，
解得a 4＝7a 1，
由(2)可知4S n ＝2na n ＋1－a n －a 1(n ≥2)，
所以4S n －1＝2(n －1)a n －a n －1－a 1(n ≥3)，
两式相减，整理得2na n ＋1＋a n －1＝(2n ＋3)a n (n ≥3)，
所以2(n －1)a n ＋a n －2＝(2n ＋1)a n －1(n ≥4)，
两式相减，可得2n[(a n ＋1－a n )－(a n －a n －1)]＝(a n －a n －1)－(a n －1－a n －2)(n ≥4)． 因为(a 4－a 3)－(a 3－a 2)＝0，
所以(a n －a n －1)－(a n －1－a n －2)＝0(n ≥4)，
即a n －a n －1＝a n －1－a n －2(n ≥4)，
又因为a 3－a 2＝a 2－a 1＝2a 1，
所以数列{a n }是以a 1为首项，2a 1为公差的等差数列．
21. A. 将λ＝－2代入⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎪λ＋1－2－52λ－x ＝λ2－(x －1)λ－(x ＋5)＝0，得x ＝3，
B. 由题意得曲线C 的直角坐标方程为(x ＋1)2＋y 2＝4.
将直线l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝12－t ，
y ＝12＋t 代入(x ＋1)2＋y 2＝4得 ⎝⎛⎭⎫12－t ＋12＋⎝⎛⎭
⎫12＋t 2
＝4， 即4t 2－4t －3＝0，
解得t 1＝－12，t 2＝32
， 则AB ＝2|t 1－t 2|＝2⎪⎪⎪
⎪－12－32＝2 2. C. 因为3a ＋2b ＋c ＝1，
所以1a ＋1a ＋b ＋1b ＋c ＝(2a ＋a ＋b ＋b ＋c )·⎝⎛⎭
⎫1a ＋1a ＋b ＋1b ＋c ≥(2a ×1a ＋a ＋b ×1a ＋b ＋b ＋c ×1b ＋c )2 ＝(2＋1＋1)2
＝6＋42， 当且仅当1
a 2a ＝1a ＋
b a ＋b ＝1b ＋
c b ＋c 时，等号成立， 所以1a ＋1a ＋b ＋1b ＋c
的最小值为6＋4 2. 22. (1) 以AB ，AD ，AA 1所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系Oxyz ，则A 1(0，0，3)，B(1，0，0)，C 1(1，1，3)，
所以BA 1→＝(－1，0，3)，AC 1→＝(1，1，3)，
所以cos 〈BA 1→，AC 1→〉＝－1＋910×11
＝411055. (2) 由题意得C(1，1，0)，D(0，1，0)，
所以A 1B →＝(1，0，－3)，A 1C →＝(1，1，－3)，AC 1→＝(1，1，3)，AD →＝(0，1，0)， 设平面A 1BC 的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则 ⎩⎪⎨⎪⎧A 1B →·n 1＝0，A 1C →·
n 1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1－3z 1＝0，x 1＋y 1－3z 1＝0， 令z 1＝1，则n 1＝(3，0，1)．
设平面AC 1D 的一个法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，则 ⎩⎪⎨⎪⎧AC 1→·n 2＝0，AD →·
n 2＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋3z 2＝0，y 2＝0， 令z 2＝1，则n 2＝(－3，0，1)，
所以cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝－9＋110×10
＝－45， 所以平面A 1BC 与平面AC 1D 所成二面角的正弦值为35
. 23. (1) 当n ＝2时，f 2(x)＝f 1(1－|2x －1|)＝f(1－|2x －1|)＝1－|2(1－|2x －1|)－1|＝1， 所以2(1－|2x －1|)＝1，
所以1－|2x －1|＝12
， 所以2x －1＝±12
， 所以x ＝14或x ＝34
， 所以g 2(1)＝2.
(2) 因为f(0)＝f(1)＝0，
所以f n (0)＝f n (1)＝0.
因为f 1(x)＝1－|2x －1|∈[0，1]，
当x ∈⎝⎛⎦
⎤0，12时，f 1(x)单调递增，且f 1(x)∈(0，1]，
当x ∈⎝⎛⎦⎤12，1时，f 1(x)单调递减，且f 1(x)∈[0，1)． 下面用数学归纳法证明：方程f n (x)＝0(x ∈(0，1])、方程f n (x)＝1(x ∈(0，1])、方程f n (x)＝0(x ∈[0，1))、方程f n (x)＝1(x ∈[0，1))的根的个数都相等，且为g n (1)．
(ⅰ) 当n ＝1时，方程f 1(x)＝0(x ∈(0，1])、方程f 1(x)＝1(x ∈(0，1])、方程f 1(x)＝0(x ∈[0，
1))、方程f 1(x)＝1(x ∈[0，1))的根的个数都相等，且为1，上述命题成立．
(ⅱ) 假设n ＝k 时，方程f k (x)＝0(x ∈(0，1])、方程f k (x)＝1(x ∈(0，1])、方程f k (x)＝0(x ∈[0，
1))、方程f k (x)＝1(x ∈[0，1))的根的个数都相等，且为g k (1)，
则当n ＝k ＋1时，有f k ＋1(x)＝f k (f 1(x))．
当x ∈⎝⎛⎦
⎤0，12时，f 1(x)∈(0，1]，方程f k ＋1(x)＝0的根的个数为g k (1)． 当x ∈⎝⎛⎦⎤12，1时，f 1(x)∈[0，1)，方程f k ＋1(x)＝0的根的个数也为g k (1)． 所以方程f k ＋1(x)＝0(x ∈(0，1])的根的个数为g k ＋1(0)＝2g k (1)， 同理可证：方程f k ＋1(x)＝1(x ∈(0，1])、方程f k ＋1(x)＝0(x ∈[0，1))、方程f k ＋1(x)＝1(x ∈[0，
1))的根的个数都相等，且为2g k (1)，
由(ⅰ)(ⅱ)可知，命题成立，
又因为f n (0)＝f n (1)＝0，
所以g n (0)＝g n (1)＋1.。