四川省宜宾市2019届高三数学第二次诊断性考试试题理(含解析)

四川省宜宾市2019届高三第二次诊断性考试
数学（理）试题
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.设，则的虚部为( )
A. 1
B.
C. －1
D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用复数的乘法运算法则计算出z，然后找出虚部。

【详解】，则虚部是，选C
【点睛】本题考查复数的运算，解题的关键是先进行乘法运算将其化成形式，其中实部为,虚部为，属于简单题.
2.已知集合，，则
A. B. C. 1， D. 0，1，
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意利用交集定义直接求解，即可得到集合的交集，得到答案．
【详解】由题意知，集合，，所以0，1，．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3.一个袋子中有4个红球，2个白球，若从中任取2个球，则这2个球中有白球的概率是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先计算从中任取2个球的基本事件总数，然后计算这2个球中有白球包含的基本事件个数，由此能求出这2个球中有白球的概率．
【详解】解：一个袋子中有4个红球，2个白球，将4红球编号为1，2，3，4；2个白球编号为5，6．从中任取2个球，基本事件为：{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，5}，{1，6}，{2，3}，{2，4}，{2，5}，{2，6}，{3，4}，{3，5}，{3，6}，{4，5}，{4，6}，{5，6}，共15个，而且这些基本事件的出现是等可能的．用A表示“两个球中有白球”这一事件，则A包含的基本事件有：{1，5}，{1，6}，{2，5}，{2，6}，{3，5}，{3，6}，{4，5}，{4，6}，{5，6}共9个，这2个球中有白球的概率是．
故选：B．
【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4.已知焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程是，则该双曲线的离心率是
A. B. C. 2 D.
【答案】B
【解析】
【分析】
设双曲线方程为，可得渐近线方程是，结合题意解出，再利用平方关系算出，根据离心率公式即得答案．
【详解】解：双曲线的焦点在x轴上，
设双曲线的方程为
可得双曲线的渐近线方程是
结合题意双曲线的渐近线方程是，得
，可得
因此，此双曲线的离心率．
故选：B．
【点睛】本题考查双曲线的标准方程与简单几何性质，考查双曲线的渐近线方程和离心率的求法，属于基础题．
5.若函数，且的图象恒过点，则
A. 3
B. 1
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意利用指数函数的单调性和特殊点可得，且，求得m和n的值，可得的值．
【详解】由题意，函数，且的图象恒过点，
所以，且，
解得，，，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了指数函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记指数函数的图象与性质，合理应用是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
6.已知棱长都为2的正三棱柱的直观图如图，若正三棱柱绕着它的
一条侧棱所在直线旋转，则它的侧视图可以为
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据所给视图，借助三视图的性质，利用排除法，即可求解，得到答案．
【详解】由题意，四个选项高都是2，
若侧视图为A，中间应该有一条竖直的实线或虚线．
若为C，则其中有两条侧棱重合，不应有中间竖线．
若为D，则长应为，而不是1．
故选：B．
【点睛】本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线，着重考查了空间想象能力，属于基础题．
7.在平行四边形ABCD中，M是DC的中点，向量，设，，则
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据图形来找出所求向量与基底向量的关系，采用数形结合法能很快找到具体思路．
【详解】根据题意画图，如图所示，则，
，
，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了向量的减法和数乘运用，其中解答中熟记向量的线性运算法则是解答的关键，属于基础题，着重考查了运算与求解能力．
8.设为等比数列的前n项和，若，，则的公比的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
设等比数列的公比为q，可得，，得到，即可求解，得到答案．
【详解】设等比数列的公比为q，则．
，，
，，
且，解得．
综上可得：的公比的取值范围是：．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能
力，属于中档题．
9.已知三棱锥的四个顶点都在半径为2的球面上，，平面ABC，
则三棱锥的体积为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意画出图形，利用球的性质求出三棱锥的高，再利用棱锥的体积公式，即可求解，得到答案．
【详解】如图所示，取BC中点D，连接AD，则，
设三角形ABC的中心为G，则，
又球O得半径为2，则，则．
三棱锥的体积为．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了球的内接多面体与球的关系，考查空间想象能力和计算能力，是中档题．
10.要得到函数的图象，可以将函数的图象
A. 向右平移个单位
B. 向左平移个单位
C. 向右平移个单位
D. 向左平移个单位
【答案】A
【解析】
【分析】
直接利用三角函数关系式的恒等变变换和图象的平移变换和伸缩变换的应用求出结果．
【详解】函数的图象，
转换为：，
将函数的图象向右平移个单位，
得到的图象．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了三角函数关系式的恒等变变换，正弦型函数图象的平移变换和伸缩变换的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
11.过直线上一点P，作圆C：的切线，切点分别为A、B，
则当四边形PACB面积最小时直线AB的方程是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意，由切线长公式可得，进而可得
，可得当取得最小值时，四边形PACB面积最小，设AB 的直线方程为，由相似三角形的性质和点到直线的距离公式求出C到AB的距离d，即可求解m的值，即可得答案．
【详解】根据题意，圆C：的圆心C为，半径；
点P为直线上一点，PA、PB为圆C的切线，则，，
则有，
则，
则当取得最小值时，四边形PACB面积最小，此时CP与直线垂直，
且，则C到AB的距离，
又由，则直线AB与直线平行，
且设AB的直线方程为，
则有，解可得：或舍，
则直线AB的方程为；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了直线与圆方程的应用，其中解答中关键是分析“四边形PACB面积最小”的条件，再利用相似三角形和点到直线的距离公式，列出方程求解，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．
12.若关于x的不等式成立，则的最小值是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
构造函数，利用函数图象的性质，借助数形结合，确定最小值，即可得到答案．
【详解】令，
，函数单调递增，
，函数单调递减，且时，，
绘制函数的图象如图所示，
满足题意时，直线恒不在函数图象的下方，
很明显时不合题意，当时，令可得：，
故取到最小值时，直线在x轴的截距最大，
令可得：，据此可得：的最小值是．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了导函数研究函数图象的性质及其应用，其中解答合理利用导数得出函数的单调性，刻画处函数的性质上解答的关键，着重考查了数形结合的数学思想，等价转化的数学思想等知识，属于中等题．
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.数列中，若，，则______．
【答案】34
【解析】
【分析】
先判断数列为等差数列，再求出首项，即可求得结果．
【详解】解：，
数列为等差数列，其公差，
，，，
，
故答案为：34
【点睛】本题考查等差数列的定义和通项公式的应用，属于基础题．
14.二项式的展开式中常数项是______．
【答案】
【解析】
【分析】
利用二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．
【详解】由题意，二项式的展开式的通项公式为，
令，求得，可得展开式中常数项是，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，其中解答中熟记二项展开式的通项，合理确定的值是解答的关键，属于基础题．
15.已知奇函数是定义在R上的单调函数，若函数恰有4个零点，则a的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】
利用函数与方程的关系，由函数的奇偶性和单调性，进行转化，利用参数分离法进行求解即可．
【详解】由题意，因为，是偶函数，
若恰有4个零点，
等价为当时，有两个不同的零点，
是奇函数，由，
得，
是单调函数，，即，
当时，有两个根即可，
当时，等价为，，
设，
要使当时，有两个根，
则，即，
即实数a的取值范围是，
故答案为：
【点睛】本题主要考查了查函数与方程的应用，其中解答中熟练应用参数分离法，结合数形结合是解决本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．
16.已知直线与抛物线交于A、B两点，过B作x轴的平行线交抛物线的准线于点M，O为坐标原点，若：：2，则______．
【答案】
【解析】
【分析】
先证明A，O，M三点共线，再将面积比为1：2转化为：：2，由此求出A的坐标，再用斜率公式求出斜率．
【详解】联立消去x得，
设，，则，则，，
，，，O，M三点共线，
：：：2，
，
，
，
，
，
，，，，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了准线与抛物线的位置关系的应用，其中熟记抛物线的几何性质，以及联立方程组，合理应用根与系数的关系是解答的关键，着重考查转化思想以及数形结合思想的应用属中档题．
三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）
17.如图，在四边形ABCD中，，，，，．
求边AB的长及的值；
若记，求的值．
【答案】（1）,；（2）．
【解析】
【分析】
由已知可求，中，由正弦定理可求AB，中由余弦定理，
可求．
由可得，进而可求，进而根据二倍角公式，
可求，然后根据两角差的余弦公式即可求解.
【详解】由题意，因为，，，
，，
中，由正弦定理可得，，，
．
中由余弦定理可得，
由可得，，
，
．
【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角恒等变换的应用，其中在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
18.艾滋病是一种危害性极大的传染病，由感染艾滋病病毒病毒引起，它把人体免疫系统中最重要的CD4T淋巴细胞作为主要攻击目标，使人体丧失免疫功能下表是近八年来我国艾滋病病毒感染人数统计表：
万人
请根据该统计表，画出这八年我国艾滋病病毒感染人数的折线图；
请用相关系数说明：能用线性回归模型拟合y 与x 的关系； 建立y 关于x 的回归方程系数精确到，预测2019年我国艾滋病病毒感染人数．
参考数据：
；
，
，
，
参考公式：相关系数，
回归方程中， ，．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）预测2019年我国艾滋病感染累积人数为万人
【解析】 【分析】
（1）由所给的数据绘制折线图即可；（2）由题意计算相关系数来说明变量之间的相关关系即
可；（3）首先求得回归方程，然后利用回归方程的预测作用进行预测即可．
【详解】解：（1）我国艾滋病病毒感染人数的折线图如图所示
，，
，
．
故具有强线性相关关系．
，，
．
当时，．
故预测2019年我国艾滋病感染累积人数为万人．
【点睛】本题主要考查线性回归方程的求解与预测作用，相关系数的计算与含义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．
19.如图，四边形ABCD是菱形，平面ABCD，，平面BDE，G是AB中点．
求证：平面BCF；
若，，求二面角的余弦值．
【答案】（1）详见解析；（2）．
【解析】
【分析】
设，连结OE，OF，推导出，平面ABCD，以O为原点，OA，OB，OF 所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明平面BCF．
求出平面ABE的法向量和平面BDE的法向量，利用向量法能求出二面角的余弦值．【详解】设，连结OE，OF，
四边形ABCD是菱形，平面ABCD，，平面BDE，
，，平面ABCD，
设，，，
以O为原点，OA，OB，OF所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则0，，，b，，0，，0，，
b，，0，，，
设平面BCF的法向量为y，，
则，取，得c，，
，平面BCF，
平面BCF．
设，，，，
，1，，，，
，，，
设平面ABE的法向量y，，
则，取，得，
设平面BDE的法向量y，，
则，取，得0，，
设二面角的平面角为，
则，二面角的余弦值为．
【点睛】本题主要考查了线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．20.已知点M到定点的距离和它到直线的距离的比是常数．
求点M的轨迹C的方程；
若直线l：与圆相切，切点N在第四象限，直线与曲线C交于A、B两点，求证：的周长为定值．
【答案】（1）；（2）详见解析.
【解析】
【分析】
由椭圆的定义可知：M的轨迹是以F为焦点，l为准线的椭圆，然后即可求得其方程．
法一：设，根据点到直线的距离和椭圆的定义即可求出，
法二，联立直线和圆的方程，可得m与k的关系式，再联立直线与椭圆方程，消去y，利用韦达定理，弦长公式，求出的三条边，即可求的周长．
【详解】设由题意得，为轨迹C的方程；
证明：法一：设，A到l的距设为d，，
，
，，
，，
，
同理，，的周长为定值10．
法二：设，，由题知，，
直线l：与圆相切，即，
把代入得
显然，
，
，
的周长为定值10．
【点睛】本题主要考查了椭圆，圆的基本知识和轨迹方程的求法以及三角形的周长的求法，解题时要注意公式的灵活运用，属于中档题．
21.已知函数．
当时，判断有没有极值点？若有，求出它的极值点；若没有，请说明理由；
若，求a的取值范围．
【答案】（1）没有极值点；（2）
【解析】
【分析】
求出函数的定义域，计算时函数的导数，利用导数等于0判断函数是否有极值点；
由得，转化为，设，利用导数讨论的单调性和极值，从而求出不等式成立时a的取值范围．
【详解】函数，则且，即函数的定义域为；
当时，，则，
令，则，
当时，，为减函数，，
，无极值点；
当时，，为增函数，，
，无极值点；
综上，当时，没有极值点；
由，得，即；
令，则；
当时，时；
时，
成立，即符合题意；
当时，，；
当时，为减函数，，成立；
当时，为减函数，，成立；
即符合题意；
当时，由，得，且；
设两根为，，，，；由，得，解集为，
在上为增函数，，
，不合题意；
综上，a的取值范围是
【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
22.在直角坐标系xOy中，抛物线C的方程为，以点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为，l与x轴交于点M．
求l的直角坐标方程，点M的极坐标；
设l与C相交于A，B两点，若、、成等比数列，求p的值．
【答案】（1），；（2）
【解析】
【分析】
直接利用转换关系，把参数方程，直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．
写出直线l的参数方程并代入曲线C中，写出韦达定理利用参数t的几何意义进行求解. 【详解】解：由得，，
的直角坐标方程．
令得点M的直角坐标为，
点M的极坐标为．
由知l的倾斜角为，参数方程为,为参数,代入，
得，
．
，
，
．
，
．
【点睛】本题考查参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，考查直线参数方程中参数t的几何意义的应用，属于基础题.
23.设函数．
若关于x的不等式的解集为，求a，b的值；
若，求的最小值．
【答案】（1），；（2）
【解析】
【分析】
通过讨论b的范围，得到关于a，b的方程组，解出即可；根据基本不等式的性质求出
的最小值即可．
【详解】解：由得，，
当时，不合题意；
当时，，
由已知得，，
综上，，
(2)
当，
即时，有最小值，最小值是
【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，考查利用基本不等式及绝对值三角不等式的性质求最值，属于基础题．。