苏教版 高考数学 一轮复习 讲义---第13章 学案75 不等式的证明

学案75 不等式选讲 (二)不等式的证明
导学目标： 1.了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法.2.会用比较法、综合法、分析法、数学归纳法证明比较简单的不等式．
自主梳理
1．证明不等式的常用方法
(1)比较法：比较法是证明不等式最基本的方法，具体有作差比较和作商比较两种，其基本思想是____与0比较大小或____与1比较大小．
(2)综合法：从已知条件出发，利用不等式的有关性质或________，经过推理论证，最终指导出所要证明的不等式成立．
(3)分析法：从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的________条件，到将待证不等式归结为一个已成立的不等式(已知条件、定理等)．
(4)反证法
①反证法的定义
先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法．
②反证法的特点
先假设原命题不成立，再在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实等矛盾．
(5)放缩法
①定义：证明不等式时，通过把不等式的一边适当地________或________以利于化简，并使它与不等式的另一边的不等关系更为明显，从而得出原不等式成立．这种方法
称为放缩法．
②思路：分析观察证明式的特点，适当放大或缩小是证题关键． (6)数学归纳法
与自然数有关的不等式可考虑用数学归纳法证明． 自我检测
1．已知M ＝a 2＋b 2，N ＝ab ＋a ＋b －1，则M ，N 的大小关系为________． 2．设x ＝a 2b 2＋5，y ＝2ab －a 2－4a ，若x >y ，则实数a ，b 应满足的条件为______________． 3．若a >0，b >0，给出下列四个不等式：
①a ＋b ＋1ab ≥22；②(a ＋b )(1a ＋1b )≥4；③a 2＋b 2ab
≥a ＋b ；④a ＋1
a ＋4≥－2.
其中正确的序号为______________．
4．用数学归纳法证明(1＋13)(1＋15)(1＋17)…(1＋1
2k －1
)>2k ＋12(k >1)，则当n ＝k ＋1时，
左端应乘上________．这个乘上去的代数式共有因子的个数是________．
5．用数学归纳法证明a n ＋b n 2≥(a ＋b 2
)n
(a ，b 是非负实数，n ∈N )时，假设n ＝k 命题成立
之后，证明n ＝k ＋1命题也成立的关键是______________．
探究点一 比较法证明不等式
例1 已知a >0，b >0，求证：
a b ＋b
a
≥a ＋b .
变式迁移1 (2011·福建)设不等式|2x －1|<1的解集为M . ①求集合M ；
②若a ，b ∈M ，试比较ab ＋1与a ＋b 的大小．
探究点二 用综合法证明不等式
例2 设a 、b 、c 均为正数，求证： 12a ＋12b ＋12c ≥1b ＋c ＋1c ＋a ＋1a ＋b .
变式迁移2 设x 是正实数，求证： (x ＋1)(x 2＋1)(x 3＋1)≥8x 3.
探究点三 用分析法证明不等式
例3 已知a >b >0，求证：(a －b )28a <a ＋b 2－ab <(a －b )2
8b
.
变式迁移3 已知a >0，求证：
a 2＋1a 2－2≥a ＋1a
－2.
探究点四 数学归纳法
例4 用数学归纳法证明： 12＋13＋14＋…＋12n －1>n －22(n ≥2)．
变式迁移4 用数学归纳法证明n 2＋n <n ＋1(n ∈N *)
转化与化归思想的应用
例 (10分)已知f (x )＝x 2
＋px ＋q .求证： (1)f (1)＋f (3)－2f (2)＝2；
(2)|f (1)|、|f (2)|、|f (3)|中至少有一个不小于1
2
.
多角度审题 已知f (x )，要证f (1)＋f (3)－2f (2)＝2，只需化简左边式子，看是怎样的形
式，然后才能视情况而定如何证明．求证|f (1)|、|f (2)|、|f (3)|中至少有一个不小于1
2
包括：
|f (1)|、|f (2)|、|f (3)|中有一个大于等于12，其余两个小于12；三个中有2个大于等于1
2
，另一
个小于12；三个都大于等于1
2.如果从正面证明，将有7种情况需要证明，非常繁杂，可考虑
用反证法证明． 【答题模板】
证明 (1)∵f (1)＋f (3)－2f (2)＝(1＋p ＋q )＋(9＋3p ＋q )－2(4＋2p ＋q )＝2， ∴f (1)＋f (3)－2f (2)＝2.[2分] (2)假设|f (1)|、|f (2)|、|f (3)|都小于1
2，
则|f (1)|＋2|f (2)|＋|f (3)|<2，[4分]
而|f (1)|＋2|f (2)|＋|f (3)|≥|f (1)＋f (3)－2f (2)|＝2， 与假设矛盾．[9分]
∴|f (1)|、|f (2)|、|f (3)|中至少有一个不小于1
2
.[10分]
【突破思维障碍】
根据正难则反的证明原则，|f (1)|、|f (2)|、|f (3)|至少有一个不小于1
2
的反面为|f (1)|、|f (2)|、
|f (3)|都小于1
2
，所以用反证法证明只有一种情况，如果这一种情况不成立，则原命题成立．
【易错点剖析】
在证明(2)中如果不知道用反证法证，而是从正面分七种情况证明，往往会出现这样或那样的失误．
1．证明不等式的常用方法有六种，即比较法、分析法、综合法、数学归纳法、反证法、放缩法，重点是前四种方法．
2．比较法是证明不等式的一个最基本，最常用的方法．当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时，一般使用作差比较法；当被证的不等式(或变形后)的两端都是正数且为乘积形式或幂指数形式时，一般使用作商比较法．
3．分析法执果索因，利于思考；综合法由因导果，宜于表达，适合人们的思维习惯，凡是能用分析法证明的不等式，一般可以用综合法证明．
因此，我们做题时，通常先用分析法探求证题途径，在解答问题时用综合法书写． 4．放缩法就是利用不等式的传递性的方法，即要证a >b ，可以证a >c 且c >b .其中c 的确定是最困难的，要凭借对题意的分析和一定的解题经验．
放缩法的常用措施：(1)舍去或加上一些项，如⎝⎛⎭⎫a ＋122＋3
4>⎝⎛⎭
⎫a ＋122；(2)将分子或分母放大(缩小)，如1k 2<1k (k －1)，1k 2>1k (k ＋1)，1k <2k ＋k －1，1k >2
k ＋k ＋1
(k ∈N *且k >1)等．
(满分：90分)
一、填空题(每小题6分，共42分)
1．已知a 、b 、m ∈R ＋且a >b ，则a b 与a ＋m
b ＋m
的大小关系为________．
2．设a ∈R 且a ≠0，以下四个式子中恒大于1的个数是________．
①a 3＋1；②a 2－2a ＋2；③a ＋1a ；④a 2＋1
a
2.
3．在下列不等式中，一定成立的是________(填序号)． ①48a <84b ； ②a a b b >a b b a ； ③a 3>a 2－a ＋1；
④(5＋2)m 2<m 2
＋12－3
. 4．如图所示，矩形OP AQ 中，a 1<a 2，b 1<b 2，则阴影部分的矩形的面积之和________空白部分的矩形的面积之和．(填“>”“<”或“＝”)
5．已知P ＝a ＋a ＋7，Q ＝a ＋3＋a ＋4，则P 、Q 的大小关系为________． 6．有一台天平，两臂长略有差异，其他均精确．现将一物体A 分别放在左、右托盘内各称一次，称得的结果分别为a 克和b 克，关于物体A 的质量，有下列一些说法：
(1)物体A 的质量是a ＋b
2
克；
(2)物体A 的质量介于a 克与b 克之间；
(3)物体A 的质量大于a ＋b
2克；
(4)物体A 的质量大于2ab
a ＋b
克．
其中正确的说法是________．(将满足题意的所有序号填在题中横线上)
7．设两个不相等的正数a ，b 满足a 3－b 3＝a 2－b 2，则a ＋b 的取值范围是________．
二、解答题(共48分)
8．(12分)若a ＋b ＝1，求证： a ＋12＋b ＋1
2
≤2.
9．(12分)(2009·江苏)设a ≥b >0，求证：3a 3＋2b 3≥3a 2b ＋2ab 2.
10．(12分)已知x ，y ，z 均为正数，求证： x yz ＋y zx ＋z xy ≥1x ＋1y ＋1z .
11．(12分)用数学归纳法证明1·2＋2·3＋…＋n (n ＋1)>n (n ＋1)
2
.
学案75 不等式选讲 (二)不等式的证明
答案
自主梳理
1．(1)差 商 (2)定理 (3)充分 (5)①放大 缩小 自我检测 1．M ≥N
解析 ∵M －N ＝a 2＋b 2－ab －a －b ＋1 ＝1
2(2a 2＋2b 2－2ab －2a －2b ＋2) ＝1
2[(a 2－2ab ＋b 2)＋(a 2－2a ＋1)＋(b 2－2b ＋1)] ＝1
2
[(a －b )2＋(a －1)2＋(b －1)2]≥0，当且仅当a ＝b ＝1时“＝”成立．∴M ≥N . 2．ab ≠1或a ≠－2
解析 由x >y ，得a 2b 2＋5－2ab ＋a 2＋4a ＝(ab －1)2＋(a ＋2)2>0，所以有ab ≠1或a ≠－2.
3．①②③④ 解析 ∵a >0，b >0， ∴①a ＋b ＋1ab ≥2ab ＋1ab
≥2·2ab ·
1
ab
＝22；
②(a ＋b )(1a ＋1
b
)≥4ab
1
ab
＝4；
③∵
a 2＋
b 22≥a ＋b
2
， ∴a 2
＋b 2
≥(a ＋b )22＝(a ＋b )·a ＋b
2
≥(a ＋b )ab .∴a 2＋b 2
ab ≥a ＋b ；
④∵a >0，∵a ＋1
a ＋4>0，∴④恒成立．
4．(1＋12k ＋1)(1＋12k ＋3)…(1＋12k ＋1－1
) 2k －
1
解析 因为分母的公差为2，所以乘上去的第一个因式是(1＋1
2k ＋1
)，最后一个是(1＋1
2k ＋1
－1
)，共有2k －2k －1＝2k －1项． 5．两边同乘以a ＋b
2
解析 要想办法出现a k ＋1＋b k ＋1，两边同乘以a ＋b 2，右边也出现了要求证的(a ＋b 2
)k ＋1
.
课堂活动区
例1 解题导引 不等式左、右两边是多项式形式，可用作差或作商比较法，也可用分析法、综合法．
证明 ∵a b ＋b
a
－(a ＋b )
＝(a )3＋(b )3－(a ＋b )ab ab ＝(a ＋b )(a －b )2
ab ，
又a ＋b >0，ab >0，(a －b )2≥0，
∴a b ＋b a －(a ＋b )≥0.故a b ＋b
a
≥a ＋b . 变式迁移1 解 ①由|2x －1|<1得－1<2x －1<1，解得0<x <1，所以M ＝{x |0<x <1}． ②由①和a ，b ∈M 可知0<a <1,0<b <1. 所以(ab ＋1)－(a ＋b )＝(a －1)(b －1)>0， 故ab ＋1>a ＋b .
例2 解题导引 本例不等式中的a 、b 、c 具有同等的地位，证明此类型不等式往往需要通过系数的变化，利用基本不等式进行放缩，得到要证明的结论．
证明 ∵a 、b 、c 均为正数， ∴12⎝⎛⎭⎫12a ＋12b ≥12ab ≥1
a ＋
b ， 当且仅当a ＝b 时等号成立；
同理：12⎝⎛⎭⎫12b ＋12c ≥12bc ≥1
b ＋
c ， 当且仅当b ＝c 时等号成立； 12⎝⎛⎭⎫12c ＋12a ≥12ca ≥1
c ＋a
，
当且仅当a ＝c 时等号成立．
三个不等式相加即得12a ＋12b ＋12c ≥1b ＋c ＋1c ＋a ＋1
a ＋
b ，
当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立．
变式迁移2 证明 x 是正实数，由基本不等式知， x ＋1≥2x ，1＋x 2≥2x ，x 3＋1≥2x 3， 故(x ＋1)(x 2＋1)(x 3＋1)≥2x ·2x ·2x 3＝8x 3 (当且仅当x ＝1时等号成立)．
例3 解题导引 当要证的不等式较复杂，已知条件信息量太少，已知与待证间的联系不明显时，一般可采用分析法．分析法是步步寻求不等式成立的充分条件，而实际操作时往往是先从要证的不等式出发，寻找使不等式成立的必要条件，再考虑这个必要条件是否充分，这种“逆求”过程能培养学生的发散思维能力，也是分析问题、解决问题时常用的思考方法．
证明 欲证(a －b )28a <a ＋b 2－ab <(a －b )28b ，
只需证(a －b )28a <(a －b )22<(a －b )2
8b .∵a >b >0，
∴只需证a －b 22a <a －b 2<a －b
22b ，
即a ＋b 2a <1<a ＋b 2b .欲证a ＋b
2a <1，
只需证a ＋b <2a ，即b <a .该式显然成立． 欲证1<a ＋b 2b
，
只需证2b <a ＋b ，即b <a .该式显然成立． ∴a ＋b
2a <1<a ＋b
2b
成立，且以上各步均可逆．
∴(a －b )28a <a ＋b 2－ab <(a －b )28b
成立．
变式迁移3 证明 要证 a 2＋1a 2－2≥a ＋1
a
－2，
只需证 a 2＋1a 2＋2≥a ＋1
a
＋2，
∵a >0，∴只需证⎝⎛⎭⎫ a 2＋1a 2＋22≥⎝⎛⎭⎫a ＋1a
＋22， 从而只要证2 a 2＋1
a
2≥2⎝⎛⎭⎫a ＋1a ， 只要证4⎝⎛⎭⎫a 2＋1a 2≥2⎝⎛⎭⎫a 2＋2＋1a 2， 即a 2＋1
a
2≥2，而上述不等式显然成立，故原不等式成立．
例4 解题导引 用数学归纳法证明不等式，推导n ＝k ＋1也成立时，证明不等式的常用方法，如比较法、分析法、综合法均要灵活运用．在证明过程中，常常利用不等式的传
递性对式子放缩，建立关系．
证明 (1)当n ＝2时，1
2
>0，不等式成立．
(2)假设n ＝k (k ≥2)时，原不等式成立． 即12＋13＋14＋15＋…＋12k －
1>k －22， 则当n ＝k ＋1时，左边＝12＋13＋14＋…＋12k －1＋12k －1＋1＋12k －1＋2＋…＋12k －1＋2k －
1>
k －22＋12k －1＋1＋12k －1＋2＋…＋12k －1＋2k －
1>k －22＋12k ＋12k ＋…＋12k ＝k －22＋2
k －1
2k ＝k －12＝
(k ＋1)－2
2
. ∴当n ＝k ＋1时，原不等式成立．
由(1)(2)知，原不等式对n ≥2的所有的自然数都成立， 即12＋13＋14＋…＋12n －
1>n －22(n ≥2)． 变式迁移4 证明 (1)当n ＝1时，显然命题成立． (2)假设n ＝k (k ∈N *)时，原不等式成立． 即
k 2＋k <k ＋1，∴k 2＋k <(k ＋1)2.
则当n ＝k ＋1时， 左边＝(k ＋1)2＋(k ＋1)＝
k 2＋3k ＋2
＝k 2＋k ＋2k ＋2<(k ＋1)2＋2k ＋2
＝k 2＋4k ＋3<
k 2＋4k ＋4＝k ＋2＝(k ＋1)＋1.
∴
(k ＋1)2＋k ＋1<(k ＋1)＋1.
∴当n ＝k ＋1时，原不等式成立． 由(1)(2)知，原不等式对n ∈N *成立．即n 2＋n <n ＋1.
课后练习区 1.a b >a ＋m b ＋m
解析 ∵a b －a ＋m b ＋m ＝ab ＋am －ab －bm b (b ＋m )＝m (a －b )
b (b ＋m )>0，
∴a b >a ＋m
b ＋m . 2．1
解析 只有a 2＋1
a
2≥2>1.
3．④
解析 取a ＝b ＝1，显然有48a 84b ＝⎝⎛⎭⎫484·44
＝16>1，
∴48>84，①不成立；
∵a a b b a b b
a ＝⎝⎛⎭⎫a
b a ·⎝⎛⎭⎫b a b ＝⎝⎛⎭⎫a b a －b ， 当a <b <0时，⎝⎛⎭⎫a b a －b
<1，∴②不一定成立； ∵a 3－a 2＋a －1＝(a －1)(a 2＋1)， 当a <1时，③不成立；
∵(5＋2)2
＝7＋210，⎝
⎛⎭
⎪⎫12－
32＝(2＋3)2＝7＋212， ∴5＋2<1
2－3，又m 2<m 2＋1，
∴(5＋2)m 2
<
m 2＋1
2－3
，故④正确． 4．> 5．P <Q
解析 将P 、Q 平方，比较大小． 6．(2)(4)
解析 设物体A 的质量为x 克，天平左臂长m ，右臂长n ，则由题设，得 mx ＝na ， ① mb ＝nx .
②
从而，由①②两式相除，得x b ＝a
x
，即x ＝ab .
若a ＝b ，则由①②两式相乘，得m 2bx ＝n 2ax ，即m ＝n ，这与题设中“两臂长略有差异”相矛盾．于是，必有a ≠b ，从而a ＋b 2
>ab ，所以(1)(3)错误．
由放缩法易知ab 必介于a ，b 之间，所以说法(2)正确． 又2ab a ＋b <2ab 2ab
＝ab ，所以说法(4)正确． 7．(1，4
3)
解析 ∵a 3－b 3＝a 2－b 2(a ≠b )，
∴a 2＋ab ＋b 2＝a ＋b ，∴(a ＋b )2－ab ＝a ＋b ， ∴ab ＝(a ＋b )2－(a ＋b )，又∵0<ab <(a ＋b 2)2
，
∴0<(a ＋b )2
－(a ＋b )<(a ＋b 2
)2
，
解之得1<a ＋b <4
3
.
8．证明 要证 a ＋12＋ b ＋1
2
≤2成立，
即证( a ＋12＋ b ＋1
2
)2≤4，(2分)
即证a ＋b ＋1＋2( a ＋12·b ＋1
2
)≤4，(4分)
∵a ＋b ＝1， 故就是证
a ＋1
2
· b ＋1
2
≤1，(6分)
即证ab ＋12(a ＋b )＋14≤1，即证ab ≤14
，(8分) 只需证ab ≤(a ＋b 2
)2，也就是证2ab ≤a 2＋b 2，这是显然成立的，故原不等式成立．(12分)
9．证明 3a 3＋2b 3－(3a 2b ＋2ab 2)
＝3a 2(a －b )＋2b 2(b －a )
＝(3a 2－2b 2)(a －b )．(8分)
因为a ≥b >0，所以a －b ≥0,3a 2－2b 2>0，(10分)
从而(3a 2－2b 2)(a －b )≥0，
即3a 3＋2b 3≥3a 2b ＋2ab 2.(12分)
10．证明 因为x ，y ，z 均为正数，
所以x yz ＋y zx ＝1z ⎝⎛⎭⎫x y ＋y x ≥2z
，(3分) 同理可得y zx ＋z xy ≥2x ，z xy ＋x yz ≥2y
，(6分) 当且仅当x ＝y ＝z 时，以上三式等号都成立，将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，
得x yz ＋y zx ＋z xy ≥1x ＋1y ＋1z
.(12分) 11．证明 (1)当n ＝1时，2>1，命题成立．(2分)
(2)假设n ＝k 时命题成立，即1·2＋2·3＋…＋
k (k ＋1)>k (k ＋1)2.则当n ＝k ＋1时， 1·2＋2·3＋…＋
k (k ＋1)＋(k ＋1)(k ＋2)>k (k ＋1)2＋(k ＋1)(k ＋2)>k (k ＋1)2＋(k ＋1)＝(k ＋1)(k ＋2)2
， 即当n ＝k ＋1时不等式也成立．(10分)
综合(1)(2)，得对一切正整数n ，不等式都成立．(12分)。