2016-2017年天津市静海一中高二(下)6月月考数学试卷(理科)(解析版)

2016-2017学年天津市静海一中高二（下）6月月考数学试卷（理
科）
一、选择题：（每小题5分，共30分）
1．（5分）若＝1﹣bi，其中a，b都是实数，i是虚数单位，则|a+bi|＝（）A．B．C．D．1
2．（5分）将A，B，C，D，E五个字母排成一排，若A与B相邻且A与C不相邻，则不同排法有（）
A．60种B．18种C．24种D．36种
3．（5分）设点P在曲线上，点Q在曲线y＝ln（2x）上，则|PQ|最小值为（）A．1﹣ln2B．C．1+ln2D．
4．（5分）若二项式（）6的展开式中的常数项为m，则＝（）A．B．﹣C．D．﹣
5．（5分）已知定义在R上的函数f（x）和g（x）满足f（x）＝•e2x﹣2+x2﹣2f（0）x，且g′（x）+2g（x）＜0，则下列不等式成立的是（）
A．f（2）g（2015）＜g（2017）B．f（2）g（2015）＞g（2017）
C．g（2015）＜f（2）g（2017）D．g（2015）＞f（2）g（2017）
6．（5分）在用数学归纳法证明f（n）＝++…+＜1（n∈N*，n≥3）的过程中：假设当n＝k（k∈N*，k≥3）时，不等式f（k）＜1成立，则需证当n＝k+1时，f（k+1）＜1也成立．若f（k+1）＝f（k）+g（k），则g（k）＝（）
A．+B．+﹣
C．﹣D．﹣
二、填空题：（每小题5分，共40分）
7．（5分）将2名教师，4名学生分成两个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师2名学生组成，不同的安排方案共有种．
8．（5分）若将函数f（x）＝x5表示为f（x）＝a0+a1（1+x）+a2（1+x）2+…+a5（1+x）5，其中a0，a1，a2，…a5为实数，则a3＝．
9．（5分）设复数z＝a+i（i是虚数单位，a∈R，a＞0），且，若复数对应的点在第四象限，则实数m的取值范围为．
10．（5分）观察下列等式：
（1+1）＝2×1
（2+1）（2+2）＝22×1×3
（3+1）（3+2）（3+3）＝23×1×3×5
…
照此规律，第n个等式可为．
11．（5分）已知函数f（x）＝x﹣存在单调递减区间，且y＝f（x）的图象在x＝0处的切线l与曲线y＝e x相切，符合情况的切线l有条．
12．（5分）20个不加区别的小球放入编号为1、2、3的三个盒子中，要求每个盒内的球数不小于它的编号数，不同的放法种数．
13．（5分）已知函数f（x）＝mx2+lnx﹣2x在定义域内是增函数，则实数m范围为．14．（5分）已知函数f（x）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，当x＞0时，f （x）＝lnx﹣ax，若函数在定义域上有且仅有4个零点，则实数a的取值范围是．三、解答题（本大题共5题，共60分）
15．（16分）由四个不同的数字1，2，4，x组成无重复数字的三位数．
（1）若x＝5，其中能被5整除的共有多少个？
（2）若x＝9，其中能被3整除的共有多少个？
（3）若x＝0，其中的偶数共有多少个？
（4）若所有这些三位数的各位数字之和是252，求x．
16．（10分）已知A，B，C三个箱子中各装有3个完全相同的小球，每个箱子里的球分别标着号码1，2，3现从A，B，C三个箱子中各摸出1个球．
（1）若用数组（x，y，z）中的x，y，z分别表示从A，B，C三个箱子中摸出的球的号码，问数组（x，y，z）共有多少种？
（2）求“取出的3个号码中恰有2个相同”的概率；
（3）若取出的3个球的号码中奇数的个数为ξ，ξ的分布列．
17．（12分）已知函数f（x）＝ln（x+1），g（x）＝．
（Ⅰ）设F（x）＝f（x）﹣g（x），试判断函数F（x）在区间（0，+∞）上是增函数还是减
函数？并证明你的结论；
（Ⅱ）若方程f（x）＝在区间[﹣1+，1+）上有两不相等的实数根，求m的取值范围；
（Ⅲ）当x＞0时，若+g（x）＞恒成立，求整数k的最大值．
18．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a n与S n满足关系式S n＝3﹣a n（n∈N*）．（Ⅰ）求a1，a2，a3，a4的值；
（Ⅱ）猜想数列{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明．
19．（10分）在“出彩中国人”的一期比赛中，有6位歌手（1～6）登台演出，由现场的百家大众媒体投票选出最受欢迎的出彩之星，各家媒体独立地在投票器上选出3位出彩候选人，其中媒体甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，另在2号至6号中随机的选2名；
媒体乙不欣赏2号歌手，他必不选2号；媒体丙对6位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至6号歌手中随机的选出3名．
（Ⅰ）求媒体甲选中3号且媒体乙未选中3号歌手的概率；
（Ⅱ）X表示3号歌手得到媒体甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列及数学期望．
四、解答题（共1小题，满分20分）
20．（20分）已知函数f（x）＝lnx﹣a（x﹣1），其中a＞0．
（1）若函数f（x）在（0，+∞）上有极大值0，求a的值；
（2）讨论并求出函数f（x）在区间上的最大值；
（3）在（2）的条件下设h（x）＝f（x）+x﹣1，对任意x1，x2∈（0，+∞）（x1≠x2），证明：不等式恒成立．
2016-2017学年天津市静海一中高二（下）6月月考数学
试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：（每小题5分，共30分）
1．（5分）若＝1﹣bi，其中a，b都是实数，i是虚数单位，则|a+bi|＝（）A．B．C．D．1
【解答】解：
∴a＝2，b＝﹣1
∴
故选：A．
2．（5分）将A，B，C，D，E五个字母排成一排，若A与B相邻且A与C不相邻，则不同排法有（）
A．60种B．18种C．24种D．36种
【解答】解：根据题意，分3步分析：
①、先将DE全排列，有A22＝2种情况，排好后有3个空位，
②、将AB看作一个元素，考虑其顺序有A22＝2种情况，插入三个空位之一，有3种方法，则AB的安排方法有2×3＝6种，
③、这时AB、D、E产生四个空位，最后将C插入与A不相邻的三个空位之一，有3种方
法，
则一共有2×6×3＝36种不同排法；
故选：D．
3．（5分）设点P在曲线上，点Q在曲线y＝ln（2x）上，则|PQ|最小值为（）A．1﹣ln2B．C．1+ln2D．
【解答】解：∵函数与函数y＝ln（2x）互为反函数，图象关于y＝x对称，
函数上的点到直线y＝x的距离为，
设g（x）＝（x＞0），则g′（x）＝，
由g′（x）＝≥0可得x≥ln2，
由g′（x）＝＜0可得0＜x＜ln2，
∴函数g（x）在（0，ln2）单调递减，在[ln2，+∞）单调递增，
∴当x＝ln2时，函数g（x）min＝1﹣ln2，
，
由图象关于y＝x对称得：|PQ|最小值为．
故选：B．
4．（5分）若二项式（）6的展开式中的常数项为m，则＝（）A．B．﹣C．D．﹣
【解答】解：二项式（）6的展开式的通项公式为：T r+1＝，令12﹣3r＝0，则r＝4．
即有m＝＝3．
则＝（x2﹣2x）dx＝（x3﹣x2）＝．
故选：C．
5．（5分）已知定义在R上的函数f（x）和g（x）满足f（x）＝•e2x﹣2+x2﹣2f（0）x，且g′（x）+2g（x）＜0，则下列不等式成立的是（）
A．f（2）g（2015）＜g（2017）B．f（2）g（2015）＞g（2017）
C．g（2015）＜f（2）g（2017）D．g（2015）＞f（2）g（2017）
【解答】解：f（x）＝•e2x﹣2+x2﹣2f（0）x，
∴f′（x）＝f′（1）e2x﹣2+2x﹣2f（0），
∴f′（1）＝f′（1）+2﹣2f（0），即f（0）＝1，当x＝0时，解得：f′（1）＝2e2，
∴f（x）＝e2x+x2﹣2x，
设F（x）＝e2x g（x），
F′（x）＝g′（x）e2x+2g（x）e2x＝e2x[g′（x）+2g（x）]，
∵e2x＞0，g′（x）+2g（x）＜0，
F′（x）＜0恒成立，
∴F（2015）＞F（2017），
f（2）＝e4，
e2×2015g（2015）＞e2×2017g（2017），
∴g（2015）＞e4g（2017），即g（2015）＞f（2）g（2017），
故选：D．
6．（5分）在用数学归纳法证明f（n）＝++…+＜1（n∈N*，n≥3）的过程中：假设当n＝k（k∈N*，k≥3）时，不等式f（k）＜1成立，则需证当n＝k+1时，f（k+1）＜1也成立．若f（k+1）＝f（k）+g（k），则g（k）＝（）
A．+B．+﹣
C．﹣D．﹣
【解答】解：∵f（k）＝+…+，f（k+1）＝+…+
∴f（k+1）﹣f（k）＝
∵f（k+1）＝f（k）+g（k），
∴g（k）＝
故选：B．
二、填空题：（每小题5分，共40分）
7．（5分）将2名教师，4名学生分成两个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师2名学生组成，不同的安排方案共有12种．
【解答】解：设2名教师为A，B，
第一步，先分组，与A同组的2名学生公有种，另两名学生与B同组有种方法，
第二步，再安排到甲、乙两地参加社会实践活动，有种方法，
由分步计数原理可得，共有••＝12种，
故答案为：12．
8．（5分）若将函数f（x）＝x5表示为f（x）＝a0+a1（1+x）+a2（1+x）2+…+a5（1+x）5，其中a0，a1，a2，…a5为实数，则a3＝10．
【解答】解：f（x）＝x5＝[（x+1）﹣1]5＝（x+1）5+（x+1）4（﹣1）+（x+1）3
（﹣1）2+（x+1）2（﹣1）3+（x+1）1（﹣1）4+（﹣1）5
而f（x）＝a0+a1（1+x）+a2（1+x）2+…+a5（1+x）5，
∴a3＝（﹣1）2＝10
故答案为：10
9．（5分）设复数z＝a+i（i是虚数单位，a∈R，a＞0），且，若复数对应的点在第四象限，则实数m的取值范围为（﹣5，1）．
【解答】解：复数z＝a+i（i是虚数单位，a∈R，a＞0），且，
∴＝，解得a＝3．
复数+＝3﹣i+＝3﹣i+＝+i对应的点（，）在第四象限，
∴＞0，＜0，解得﹣5＜m＜1．
则实数m的取值范围为（﹣5，1）．
故答案为：（﹣5，1）．
10．（5分）观察下列等式：
（1+1）＝2×1
（2+1）（2+2）＝22×1×3
（3+1）（3+2）（3+3）＝23×1×3×5
…
照此规律，第n个等式可为（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n）＝2n•1•3•5…•（2n﹣1）．【解答】解：题目中给出的前三个等式的特点是第一个等式的左边仅含一项，第二个等式的左边含有两项相乘，第三个等式的左边含有三项相乘，由此归纳第n个等式的左边含有n 项相乘，由括号内数的特点归纳第n个等式的左边应为：
（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n），
每个等式的右边都是2的几次幂乘以从1开始几个相邻奇数乘积的形式，且2的指数与奇数的个数等于左边的括号数，
由此可知第n个等式的右边为2n•1•3•5…（2n﹣1）．
所以第n个等式可为（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n）＝2n•1•3•5…（2n﹣1）．
故答案为（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n）＝2n•1•3•5…（2n﹣1）．
11．（5分）已知函数f（x）＝x﹣存在单调递减区间，且y＝f（x）的图象在x＝0处的切线l与曲线y＝e x相切，符合情况的切线l有0条．
【解答】解：函数f（x）＝x﹣的导数为f′（x）＝1﹣，
依题意可知，f′（x）＜0在（﹣∞，+∞）有解，
①a＜0时，f′（x）＜0 在（﹣∞，+∞）无解，不符合题意；
②a＞0时，f′（x）＞0即a＞，lna＞，x＜alna符合题意，则a＞0．
易知，曲线y＝f（x）在x＝0处的切线l的方程为y＝（1﹣）x﹣1．
假设l与曲线y＝e x相切，设切点为（x0，y0），
即有＝1﹣＝（1﹣）x0﹣1，
消去a得＝x0﹣1，
设h（x）＝e x x﹣e x﹣1，
则h′（x）＝e x x，令h′（x）＞0，则x＞0，
所以h（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，
当x→﹣∞，h（x）→﹣1，x→+∞，h（x）→+∞，
所以h（x）在（0，+∞）有唯一解，则＞1，
而a＞0时，1﹣＜1，与＞1矛盾，所以不存在．
故答案为：0．
12．（5分）20个不加区别的小球放入编号为1、2、3的三个盒子中，要求每个盒内的球数不小于它的编号数，不同的放法种数120．
【解答】解：根据题意，先在编号为2的盒子中依次放入1个小球，编号为3的盒子中依次放入2个小球，还剩余17个小球，只需将这17个小球放入3个小盒，每个小盒至少一个即可，
故答案为：120．
13．（5分）已知函数f（x）＝mx2+lnx﹣2x在定义域内是增函数，则实数m范围为．【解答】解：求导函数，可得f′（x）＝2mx+﹣2，x＞0，
函数f（x）＝mx2+lnx﹣2x在定义域内是增函数，所以f′（x）≥0成立，
所以2mx+﹣2≥0，x＞0时恒成立，
所以，
所以﹣2m≤﹣1
所以m≥时，函数f（x）在定义域内是增函数．
故答案为．
14．（5分）已知函数f（x）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，当x＞0时，f （x）＝lnx﹣ax，若函数在定义域上有且仅有4个零点，则实数a的取值范围是（0，）．【解答】解：∵f（x）是偶函数，且f（x）有4个零点，
∴f（x）在（0，+∞）上有2个零点，
∴y＝lnx与y＝ax有2个交点，
作出y＝lnx与y＝ax的函数图象如图所示：
设y＝ax与y＝lnx相切，切点为（x0，y0），
则，解得x0＝e，y0＝1，a＝．
∴当0时，直线y＝ax与y＝lnx在（0，+∞）上有2个交点，
故答案为（0，）．
三、解答题（本大题共5题，共60分）
15．（16分）由四个不同的数字1，2，4，x组成无重复数字的三位数．
（1）若x＝5，其中能被5整除的共有多少个？
（2）若x＝9，其中能被3整除的共有多少个？
（3）若x＝0，其中的偶数共有多少个？
（4）若所有这些三位数的各位数字之和是252，求x．
【解答】解：（1）若x＝5，则四个数字为1，2，4，5；
又由要求的三位数能被5整除，则5必须在末尾，
在1、2、4三个数字中任选2个，放在前2位，有A32＝6种情况，
即能被5整除的三位数共有6个；
（2）若x＝9，则四个数字为1，2，4，9；
又由要求的三位数能被3整除，则这三个数字为1、2、9或2、4、9，
取出的三个数字为1、2、9时，有A33＝6种情况，
取出的三个数字为2、4、9时，有A33＝6种情况，
则此时一共有6+6＝12个能被3整除的三位数；
（3）若x＝0，则四个数字为1，2，4，0；
又由要求的三位数是偶数，则这个三位数的末位数字为0或2或4，
当末位是0时，在1、2、4三个数字中任选2个，放在前2位，有A32＝6种情况，
当末位是2或4时，有A21×A21×A21＝8种情况，
此时三位偶数一共有6+8＝14个，
（4）若x＝0，可以组成C31×C31×C21＝3×3×2＝18个三位数，即1、2、4、0四个数字最多出现18次，
则所有这些三位数的各位数字之和最大为（1+2+4）×18＝126，不合题意，
故x＝0不成立；
当x≠0时，可以组成无重复三位数共有C41×C31×C21＝4×3×2＝24种，共用了24×3＝72个数字，
则每个数字用了＝18次，
则有252＝18×（1+2+4+x），解可得x＝7．
16．（10分）已知A，B，C三个箱子中各装有3个完全相同的小球，每个箱子里的球分别
标着号码1，2，3现从A，B，C三个箱子中各摸出1个球．
（1）若用数组（x，y，z）中的x，y，z分别表示从A，B，C三个箱子中摸出的球的号码，问数组（x，y，z）共有多少种？
（2）求“取出的3个号码中恰有2个相同”的概率；
（3）若取出的3个球的号码中奇数的个数为ξ，ξ的分布列．
【解答】解：（1）用数组（x，y，z）中的x，y，z分别表示从A，B，C三个箱子中摸出的球的号码，
数组（x，y，z）有：
（1，1，1），（1，1，2），（1，1，3），（1，2，1），（1，2，2），（1，2，3），（1，3，1），（1，3，2），（1，3，3），
（2，1，1），（2，1，2），（2，1，3），（2，2，1），（2，2，2），（2，2，3），（2，3，1），（2，3，2），（2，3，3），
（3，1，1），（3，1，2），（3，1，3），（3，2，1），（3，2，2），（3，2，3），（3，3，1），（3，3，2），（3，3，3），共27种
（2）“取出的3个号码中恰有2个相同”，包含的基本事件有：
（1，1，2），（1，1，3），（1，2，1），（1，2，2），（1，3，1），（1，3，3），（2，1，1），（2，1，2），（2，2，1），（2，2，3），（2，3，2），（2，3，3），
（3，1，1），（3，1，3），（3，2，2），（3，2，3），（3，3，1），（3，3，2），共18种，
∴“取出的3个号码中恰有2个相同”的概率p＝＝．
（3）由题意知ξ的可能取值为0，1，2，3，
P（ξ＝0）＝，
P（ξ＝1）＝＝，
P（ξ＝2）＝＝，
P（ξ＝3）＝，
∴ξ的分布列为：
17．（12分）已知函数f（x）＝ln（x+1），g（x）＝．
（Ⅰ）设F（x）＝f（x）﹣g（x），试判断函数F（x）在区间（0，+∞）上是增函数还是减函数？并证明你的结论；
（Ⅱ）若方程f（x）＝在区间[﹣1+，1+）上有两不相等的实数根，求m的取值范围；
（Ⅲ）当x＞0时，若+g（x）＞恒成立，求整数k的最大值．
【解答】解：（Ⅰ）F（x）＝ln（x+1）﹣，F′（x）＝+，
由题设x＞0，所以得：F′（x）＞0，
故F（x）在区间（0，+∞）上是增函数．
（Ⅱ）∵f（x）＝，∴（x+1）ln（x+1）＝m，
设h（x）＝（x+1）ln（x+1），则h′（x）＝ln（x+1）+1，
x，h′（x），h（x）变化如下表：
1+1+1+1+
∵h（0）＝0，h（﹣1+）＝﹣，h（﹣1+）＝﹣，
∴h（﹣1+）＜h（0）＝0，又h（1+）＞h（0）＝0，
∴﹣＜m≤﹣，
即m∈（﹣，﹣]时，方程f（x）＝在区间[﹣1+，1+）有两不相等的实数根．
（Ⅲ）当x＞0时，若+g（x）＞恒成立，
即k＜[1+ln（x+1）]在（0，+∞）上恒成立，
设φ（x）＝[1+ln（x+1）]，则φ′（x）＝，
再设G（x）＝x﹣1﹣ln（x+1），则G′（x）＝1﹣＝＞0，
故G（x）在（0，+∞）上单调递增，
而G（1）＝﹣ln2＜0，G（2）＝﹣1﹣ln3＜0，G（3）＝2﹣2ln2＞0，
故G（x）＝0在（0，+∞）上存在唯一实数根a∈（2，3），
即x＝a是方程x﹣1﹣ln（x+1）＝0在（0，+∞）上有唯一解，
故当x∈（0，a）时，G（x）＜0，φ′（x）＜0；
当x∈（a，+∞）时，G（x）＞0，φ′（x）＞0，
故φ（x）min＝φ（a）＝[1+ln（a+1）]＝a+1∈（3，4），
∴k≤3，故k max＝3．
18．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a n与S n满足关系式S n＝3﹣a n（n∈N*）．（Ⅰ）求a1，a2，a3，a4的值；
（Ⅱ）猜想数列{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明．
【解答】解：（Ⅰ）∵S n＝3﹣a n（n∈N*）．
∴a1＝s1＝3﹣a1，解得a1＝＝1，
a1+a2＝s2＝3﹣a2，解得a2＝，
a1+a2+a3＝s3＝3﹣a3，解得a3＝＝，
a1+a2+a3+a4＝s4＝3﹣a4，解得a4＝，
（Ⅱ）由（Ⅰ）可猜想an＝，（n∈N*）．
证明：①当n＝1时，a1＝1，等式成立；
②假设n＝k时，结论成立，即a k＝，（k≥2，k∈N*）．
则n＝k+1时，a k+1＝s k+1﹣s k＝3﹣k k+1﹣3+a k，
∴（1+）a k+1＝•，
∴a k+1＝，
∴a k+1＝，
所以当n＝k+1等式成立
根据①②可知猜想成立．
19．（10分）在“出彩中国人”的一期比赛中，有6位歌手（1～6）登台演出，由现场的百家大众媒体投票选出最受欢迎的出彩之星，各家媒体独立地在投票器上选出3位出彩候选人，其中媒体甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，另在2号至6号中随机的选2名；
媒体乙不欣赏2号歌手，他必不选2号；媒体丙对6位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至6号歌手中随机的选出3名．
（Ⅰ）求媒体甲选中3号且媒体乙未选中3号歌手的概率；
（Ⅱ）X表示3号歌手得到媒体甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列及数学期望．
【解答】解：（Ⅰ）设A表示事件：“媒体甲选中3号歌手”，
事件B表示“媒体乙选中3号歌手”，事件C表示“媒体丙选中3号歌手”，
P（A）＝＝，P（B）＝＝，
媒体甲选中3号且媒体乙未选中3号歌手的概率：
P（A）＝P（A）（1﹣P（B））＝＝．
（Ⅱ）P（C）＝，由已知得X的可能取值为0，1，2，3，
P（X＝0）＝P（）＝（1﹣）（1﹣）（1﹣）＝，
P（X＝1）＝P（A）+P（）+P（）
＝+（1﹣）×＝，
P（X＝2）＝P（AB）+P（A）+P（）＝+（1﹣
）×＝，
P（X＝3）＝P（ABC）＝＝，
∴X的分布列为：
EX＝＝．
四、解答题（共1小题，满分20分）
20．（20分）已知函数f（x）＝lnx﹣a（x﹣1），其中a＞0．
（1）若函数f（x）在（0，+∞）上有极大值0，求a的值；
（2）讨论并求出函数f（x）在区间上的最大值；
（3）在（2）的条件下设h（x）＝f（x）+x﹣1，对任意x1，x2∈（0，+∞）（x1≠x2），证明：不等式恒成立．
【解答】解：（1）…（1分）
明显，当x∈时，f'（x）＞0，当x∈时，f'（x）＜0…（2分）
故函数f（x）在上单调递增，在上单调递减，…（3分）
因此函数f（x）在（0，+∞）上有极大值…（4分）
∴lna＝a﹣1解得a＝1…（5分）
（2）∵
①若，即，则当时，有f'（x）≥0，
∴函数f（x）在上单调递增，则f（x）max＝f（e）＝1﹣ea+a．…（6分）
②若，即，则函数f（x）在上单调递增，在上
单调递减，
∴．…（7分）
③若，即a≥e，则当时，有f'（x）≤0，函数f（x）在上单
调递减，
则．…（8分）
综上得，当时，f（x）max＝1﹣ea+a；
当时，f（x）max＝﹣lna﹣1+a；
当a≥e时，．…（9分）
（3）要证明，
只需证明…（10分）
只需证明，即证明，…（11分）
不妨设x1＞x2＞0，令，则t＞1，则需证明…（12分）令，则，
∴g（t）在（1，+∞）上是单调函数，
∴．
故不等式得证．…（14分）。