2020学年高中数学第2章圆锥曲线与方程2.5曲线与方程课件湘教版选修2_1

1．方程的曲线与曲线的方程的意义 一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线 C(看作满足某种条 件的点的集合或轨迹)上的点与一个_二__元__方__程__f_(x_，__y_)_＝__0_的实 数解建立了如下的关系：
点在曲线上⇔点的坐标满足方程．即： (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的_解__； (2)以这个方程的解为坐标的点_都__是__曲线上的点． 此时，方程叫曲线的方程，曲线叫方程的曲线．
(2)①因为 12＋(－2－1)2＝10，( 2)2＋(3－1)2≠10， 所以点 P(1，－2)在方程 x2＋(y－1)2＝10 表示的曲线上，而点 Q( 2，3)不在方程 x2＋(y－1)2＝10 表示的曲线上． ②若点 Mm2 ，－m在方程 x2＋(y－1)2＝10 所表示的曲线上，则 m2 2＋(－m－1)2＝10，解之得 m＝2 或 m＝－158.
(2)判断方程表示曲线的注意事项 ①方程变形前后要等价，否则变形后的方程表示的曲线不是原 方程代表的曲线． ②当方程中含有绝对值时，常采用分类讨论的思想．
1.方程(x＋y－1)·( x－3－1)＝0 表示的是( ) A．两条互相垂直的直线 B．两条射线 C．一条直线和一条射线 D．一个点(2，－1) 解析：选 C.因为(x＋y－1)·( x－3－1)＝0， 所以可得xx＋－y3－≥10＝，0， 或者 x－3－1＝0， 也就是 x＋y－1＝0(x≥3)或 x＝4. 故方程表示一条射线和一条直线．故选 C.
圆锥曲线共同特征的应用 已知椭圆xa22＋by22＝1(a>b>0)的右焦点为 F(c，0)，离心率 e＝ac，点 A 在椭圆上，d 为点 A 到定直线 l：x＝ac2的距离． (1)求证：|AdF|＝e； (2)试判断以右焦点弦 AB 为直径的圆与直线 l 的位置关系并说 明理由．
【解】 (1)证明：设 A(x，y)为椭圆xa22＋by22＝1(a>b>0)上任意一 点，|AdF|＝m(m>0)， 则 （x|x－－c）ac2|2＋y2＝m， 两边平方整理得 (1－m2)x2＋y2 ＝(2c－2ac2m2)x＋(a4cm2 2－c2)， 比较椭圆方程ba2x22＋y2＝b2 的各项系数得，
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)x2＋y2＝1(x＞0)表示的曲线是单位圆．( × )
(2)若点 M(x，y)的坐标是方程 f(x，y)＝0 的解，则点 M 在曲线 f(x，y)＝0 上．( √ )
(3)方程 y＝x 与方程 y＝xx2表示同一曲线．( × )
2．设方程 f(x，y)＝0 的解集非空，如果命题“坐标满足方程 f(x， y)＝0 的点都在曲线 C 上”是不正确的，则下列命题正确的是 () A．坐标满足方程 f(x，y)＝0 的点都不在曲线 C 上 B．曲线 C 上的点的坐标都不满足方程 f(x，y)＝0 C．坐标满足方程 f(x，y)＝0 的点有些在曲线 C 上，有些不在 曲线 C 上 D．一定有不在曲线 C 上的点，其坐标满足 f(x，y)＝0 答案：D
求曲线的方程
设圆 C：(x－1)2＋y2＝1，过原点 O 作圆的任意弦，求 所作弦的中点的轨迹方程．
【解】 法一：(直接法) 设 OQ 为过 O 点的一条弦，P(x，y)为其中点， 则 CP⊥OQ. 因为 OC 的中点为 M12，0， 连接 MP，故|MP|＝12|OC|＝12， 得方程x－122＋y2＝14， 由圆的范围知 0<x≤1.
解：(1)方程 x＋y－2＝0 表示一条直线，坐标满足该方程的点如 (－1，3)等不在线段 AB 上，故命题错误． (2)到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程为 y＝±x，满足 x2－y2 ＝0，反过来坐标满足方程 x2－y2＝0 的点到两坐标轴的距离相 等，故命题正确．
由方程判断曲线
(1)方程(x＋y－2)· x2＋y2－9＝0 表示的曲线是( ) A．一个圆和一条直线 B．半个圆和一条直线 C．一个圆和两条射线 D．一个圆和一条线段
代入圆的方程得(x－1)2＋k2x2＝1， 即(1＋k2)x2－2x＝0， 所以 x＝x1＋2 x2 ＝1＋1 k2，y＝kx＝1＋k k2， 消去 k 即可得(2x－1)2＋(2y)2＝1， 即x－122＋y2＝14(0<x≤1)．
求曲线的方程的常用方法 (1)直接法 如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系，或 这些几何条件简单明了且易于表达，我们只需把这种关系“翻 译”成含 x、y 的等式就得到曲线的轨迹方程． (2)相关点法(代入法) 有些问题中，其动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随 着另一动点(称之为相关点)而运动的．如果相关点所满足的条 件是明显的，或是可分析的，这时我们可以用动点坐标表示相
2c－2ac2m2＝0， 所以 m2＝(ac)2， 因为 m>0，所以 m＝ac， 即|AdF|＝e.
(2)设 A，B 两点到直线 l：x＝ac2的距离分别为 d1，d2，焦点弦 AB 的中点 M 到直线 l：x＝ac2 的距离为 d， 由(1)可知|AdF1 |＝|BdF2 |＝e， 所以 d＝d1＋2 d2＝1e·|AF|＋2 |BF|＝1e·|A2B|>|A2B| (因为 0<e<1)，故以 AB 为直径的圆与定直线 l 相离．
2．方程 x－1·lg(x2＋y2－1)＝0 所表示的曲线是( )
解析：选 D.原方程等价于 x－1＝0 或 lg(x2＋y2－1)＝0. 所以 x＝1 或 x2＋y2－1＝1， 即 x＝1 或 x2＋y2＝2. 另外，要使方程有意义， 必须 x－1≥0 且 x2＋y2>1， 即 x≥1， 且当 x＝1 时 y≠0，故选 D.
1.到坐标原点的距离＝± 3x
B．y＝
3 3x
C．x2－3y2＝1
D．x2－3y2＝0
解析：选 D.设点的坐标为(x，y)，
则 x2＋y2＝2|y|， 整理得 x2－3y2＝0.
2．已知定长为 6 的线段，其端点 A、B 分别在 x 轴、y 轴上移 动，线段 AB 的中点为 M，求 M 点的轨迹方程． 解：作出图象如图所示，根据直角三角形的性质可知 |OM|＝12|AB|＝3.
3.圆锥曲线的统一定义
任意给定常数 e(e>0)，点 F 和直线 l(F∉l)，设动点 P 到 F 的距 离和到 l 的距离之比等于 e，则 P 的轨迹是_圆__锥__曲__线__．F 是这
条圆锥曲线的焦点，l 称为它的准线．当 0<eC<1 时 P 的轨迹是 __椭__圆__，当 e＝1 时是__抛__物__线___，当 e>1 时是__双__曲__线___． 椭圆xa22＋by22＝a12 有两条准线 x＝__±_a_c2__，双曲线xa22－by22＝1 有两条 准线 x＝__±__c___．
2．求曲线的方程的步骤 (1)建立适当的平面直角坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线 上一点 M 的坐标； (2)写出适合条件 p 的点 M 的集合 P＝{M|p(M)}； (3)用坐标 x，y 表示条件 p(M)，列出方程 f(x，y)＝0； (4)化方程 f(x，y)＝0 为最简形式； (5)证明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．
关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程， 这种求轨迹的方法叫做相关点法或代入法． (3)定义法 若动点的轨迹满足已知曲线的定义，可先设定方程，再确定其 中的基本量． (4)参数法 在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题， 这类问题常常通过解方程组得出交点(含参数)的坐标，再消去 参数求出所求轨迹的方程．
若把本例(1)中的方程改为(x＋y－1)· x－1＝0， 又表示什么曲线？
解：由方程(x＋y－1)· x－1＝0 可得 xx－＋1y－≥10＝，0或xx－－11≥＝00，， 即 x＋y－1＝0(x≥1)或 x＝1.故方程表示一条直线 x＋y－1＝0 (x≥1)和一条直线 x＝1.
(1)方程表示的曲线的判断步骤
法二：(定义法) 因为∠OPC＝90°， 所以动点 P 在以点 M12，0为圆心，OC 为直 径的圆上．
由圆的方程得x－122＋y2＝14(0<x≤1)． 法三：(代入法) 设所作弦 OQ 的中点 P(x，y)，Q(x1，y1)， 则xy＝＝yx2211，⇒xy11＝＝22yx.，
又因为点 Q(x1，y1)在圆 C 上， 所以(x1－1)2＋y21＝1， 所以(2x－1)2＋(2y)2＝1， 即x－122＋y2＝14(0<x≤1)． 法四：(参数法) 设动弦 OQ 的方程为 y＝kx，
椭圆、抛物线、双曲线三种圆锥曲线的共同特征表现在以下三 个方面： (1)从方程的形式来看：在直角坐标系中，这几种曲线的方程(包 括圆)f(x，y)＝0 都是二元二次方程，所以统称为二次曲线． (2)从点的集合(或轨迹)的观点来看：它们都是平面内与定点和 定直线的距离的比是常数 e 的点的集合(或轨迹)，只是当 0<e<1 时为椭圆，当 e＝1 时为抛物线，当 e>1 时为双曲线．
(2)已知方程 x2＋(y－1)2＝10. ①判断点 P(1，－2)，Q( 2，3)是否在此方程表示的曲线上； ②若点 Mm2 ，－m在此方程表示的曲线上，求出 m 的值．
【解】 (1)选 B.“曲线 C 上的点的坐标都是方程 f(x，y)＝0 的 解”但“以方程 f(x，y)＝0 的解为坐标的点”不一定在曲线 C 上， 故 A，C，D 都不正确．故选 B.
所以 M 的轨迹为以原点 O 为圆心，以 3 为半径的圆，故 M 点 的轨迹方程为 x2＋y2＝9.
3．一动点 C 在曲线 x2＋y2＝1 上移动时，它和定点 B(3，0)连
线的中点为 P，求 P 点的轨迹方程．
解：设 C(x0，y0)，P(x，y)．依题意有 x＝x0＋2 3， y＝y20， 所以yx00＝＝22yx.－3， 由于点 C(x0，y0)在曲线 x2＋y2＝1 上， 所以(2x－3)2＋(2y)2＝1， 即点 P 的轨迹方程为(2x－3)2＋4y2＝1.
(2)如图所示，方程 y＝|xx2|表示的曲线是(
)
【解析】 (1)(x＋y－2)· x2＋y2－9＝0 变形为 x2＋y2－9＝0 或 xx＋2＋yy－2－2＝9≥0，0. 表示以原点为圆心，3 为半径的圆和直线 x＋y－ 2＝0 在圆 x2＋y2－9＝0 外面的两条射线．故选 C. (2)因为 y＝|xx2|1x－，1x，x>x0<，0， 所以函数值恒为正，且在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞) 上单调递减．故选 B. 【答案】 (1)C (2)B
第2章 圆锥曲线与方程
2．5 曲线与方程
第2章 圆锥曲线与方程
1.能够结合已学过的曲线及其方程的实例，了解曲线与方程 的对应关系，进一步感受数形结合的基本思想． 2．掌握求曲线方程的步骤与一般方法． 3.体会解析几何的本质， 用坐标法研究几何图形的知识． 4．了解圆锥曲线的统一定义并能利用定义解决一些简单应用问题．
判定曲线和方程对应关系的两个关注点 (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解，即直观地说“点不比 解多”，称为纯粹性； (2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，即直观地说“解不 比点多”，称为完备性．
[注意] 只有点和解一一对应，才能说曲线是方程的曲线，方程 是曲线的方程．
判断下列命题是否正确： (1)设点 A(2，0)，B(0，2)，则线段 AB 的方程是 x＋y－2＝0； (2)到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是 x2－y2＝0.
3．如果曲线 C 的方程是 f(x，y)＝0，那么点 P(x0，y0)在曲线 C 上的充要条件是什么？
解：若点 P 在曲线 C 上， 则 f(x0，y0)＝0； 若 f(x0，y0)＝0，则点 P 在曲线 C 上， 所以点 P(x0，y0)在曲线 C 上的充要条件是 f(x0，y0)＝0.
曲线与方程的概念 (1)命题“曲线 C 上的点的坐标都是方程 f(x，y)＝0 的 解”是真命题，下列命题中正确的是( ) A．方程 f(x，y)＝0 表示的曲线是 C B．方程 f(x，y)＝0 表示的曲线不一定是 C C．f(x，y)＝0 是曲线 C 的方程 D．以方程 f(x，y)＝0 的解为坐标的点都在曲线 C 上