高三复习教案椭圆

高三复习教案椭圆(总10页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
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椭圆
【2013年高考会这样考】
1．考查椭圆的定义及利用椭圆的定义解决相关问题．
2．考查椭圆的方程及其几何性质．
3．考查直线与椭圆的位置关系．
【复习指导】
1．熟练掌握椭圆的定义及其几何性质会求椭圆的标准方程．
2．掌握常见的几种数学思想方法——函数与方程、数形结合、转化与化归等．体会解析几何的本质问题——用代数的方法解决几何问题．
基础梳理
1．椭圆的概念
在平面内到两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．
集合P ＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数：
(1)若a＞c，则集合P为椭圆；
(2)若a＝c，则集合P为线段；
(3)若a＜c，则集合P为空集．
2．椭圆的标准方程和几何性质
标准方程x2
a2＋
y2
b2＝1
(a>b>0)
y2
a2＋
x2
b2＝1
(a>b>0)
图形续表
范围－a≤x≤a
－b≤y≤b
－b≤x≤b
－a≤y≤a
一条规律
椭圆焦点位置与x2，y2系数间的关系：
给出椭圆方程x2
m＋
y2
n＝1时，椭圆的焦点在
x轴上⇔m＞n＞0；椭圆的焦点在y轴上⇔0＜m
＜n.
两种方法
(1)定义法：根据椭圆定义，确定a2、b2的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程．
(2)待定系数法：根据椭圆焦点是在x轴还是y轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a、b、c的方程组，解出a2、b2，从而写出椭圆的标准方程．
三种技巧
(1)椭圆上任意一点M到焦点F的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离，且最大距离为a＋c，最小距离为a－c.
(2)求椭圆离心率e时，只要求出a，b，c的一个齐次方程，再结合b2＝a2－c2就可求得e(0＜e＜1)．
(3)求椭圆方程时，常用待定系数法，但首先要判断是否为标准方程，判断的依据是：①中心是否在原点；②对称轴是否为坐标轴．
双基自测
1．(人教A版教材习题改编)若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的方程为( )．
＋y 216
＝1 ＋
y 2
16
＝1
＋
y 2
16＝1或x 216＋y 2
25
＝1 D ．以上都不对
2．(2012·合肥月考)设P 是椭圆x 225＋y 2
16
＝1上的点，若F 1、F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于( )．
A ．4
B ．5
C ．8
D ．10
3．(2012·兰州调研)“－3＜m ＜5”是“方程x 25－m ＋y 2
m ＋3＝1表示椭圆”的 ( )．
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
4．(2012·淮南五校联考)椭圆x 29＋y 2
4＋k ＝1的离心率为4
5，则k 的值为( )．
A ．－21
B ．21
C ．－
19
25
或21 或21
5．(2011·全国新课标)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为2
2.过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么C 的方程为
________．
考向一 椭圆定义的应用
【例1】►(2011·青岛模拟)已知F 1、F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆
C 上的一点，且PF 1→⊥PF 2→.若△PF 1F 2
的面积为9，则b ＝________.
【训练1】 已知△ABC 的顶点B ，C 在椭圆x 2
3＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆
的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是( )． A ．2 3 B ．6 C ．4 3
D ．12
考向二 求椭圆的标准方程
【例2】►(1)求与椭圆x 24＋y 2
3
＝1有相同的离心率且经过点(2，－3)的椭圆方程．
(2)已知点P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P 到两焦点的距离分别为5、3，过P 且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程．
[审题视点] 用待定系数法求椭圆方程，但应注意椭圆的焦点位置是否确定． 解 (1)由题意，设所求椭圆的方程为x 24＋y 2
3＝t (t ＞0)，
∵椭圆过点(2，－3)，∴t ＝22
4
＋
－32
3
＝2， 故所求椭圆标准方程为x 28＋y 2
6
＝1.
(2)设所求的椭圆方程为 x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)或y 2a 2＋x 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)，
由已知条件得⎩⎨⎧
2a ＝5＋3，
2c 2＝52－32
， 解得a ＝4，c ＝2，b 2＝12. 故所求方程为
x 216＋y 212＝1或y 216＋x 2
12
＝1. 运用待定系数法求椭圆标准方程，即设法建立关于a 、b 的方程组，先定型、再定
量，若位置不确定时，考虑是否两解，有时为了解题需要，椭圆方程可设为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )，由题目所给条件求出m 、n 即可．
【训练2】 (1)求长轴是短轴的3倍且经过点A (3,0)的椭圆的标准方程．
(2)已知椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点是F (1,0)，若椭圆短轴的两个三等分点M ，N 与F
构成正三角形，求椭圆的方程．
解 (1)若椭圆的焦点在x 轴上，设方程为x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)，
∵椭圆过点A (3,0)，∴9
a 2＝1，a ＝3， ∵2a ＝3·2
b ，∴b ＝1，∴方程为x 2
9
＋y 2＝1.
若椭圆的焦点在y 轴上，设椭圆方程为y 2a 2＋x 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)，
∴椭圆过点A (3,0)，∴02a 2＋9b 2＝1，∴b ＝3， 又2a ＝3·2b ，∴a ＝9，∴方程为y 281＋x 2
9
＝1.
综上所述，椭圆方程为x 2
9＋y 2
＝1或y 281＋x 2
9
＝1.
(2)由△FMN 为正三角形，则c ＝|OF |＝32|MN |＝32×2
3b ＝1.∴b ＝ 3.a 2＝b 2＋c 2＝4.故椭圆
方程为x 24＋y 2
3
＝1.
考向三 椭圆几何性质的应用
【例3】►(2011·北京)已知椭圆G ：x 2
4
＋y 2＝1.过点(m,0)作圆x 2＋y 2＝1的切线l 交椭圆G 于
A ，
B 两点．
(1)求椭圆G 的焦点坐标和离心率；
(2)将|AB |表示为m 的函数，并求|AB |的最大值．
[审题视点] (1)由椭圆方程可直接求出c ，从而求出离心率．(2)可设出直线方程与椭圆方程联立得一元二次方程，由弦长公式列出|AB |长的表达式从而求出|AB |的最大值． 解 (1)由已知得，a ＝2，b ＝1，所以c ＝a 2－b 2＝ 3.
所以椭圆G 的焦点坐标为(－3，0)，(3，0)，离心率为e ＝c a ＝32
. (2)由题意知，|m |≥1.
当m ＝1时，切线l 的方程为x ＝1，点A ，B 的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，⎝ ⎛⎭⎪⎫
1，－32，此时|AB |
＝ 3.
当m ＝－1时，同理可得|AB |＝ 3.
当|m |＞1时，设切线l 的方程为y ＝k (x －m )．
由⎩⎨⎧
y ＝k x －m ，
x
2
4＋y 2
＝1.
得(1＋4k 2)x 2－8k 2mx ＋4k 2m 2－4＝0.
设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则
x 1＋x 2＝8k 2m 1＋4k 2，x 1x 2＝4k 2m 2－41＋4k 2. 又由l 与圆x 2＋y 2
＝1相切，得|km |k 2
＋1＝1， 即m 2k 2＝k 2＋1 所以|AB |＝
x 2－x 1
2
＋y 2－y 12
＝
1＋k 2[x 1＋x 2
2
－4x 1x 2]
＝1＋k 2
⎣
⎢⎡⎦
⎥⎤64k 4m 21＋4k 2
2
－
4
4k 2m 2－41＋4k 2＝43|m |
m 2
＋3. 由于当m ＝±1时，|AB |＝3，所以|AB |＝43|m |
m 2＋3，m ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)．
因为|AB |＝
43|m |m 2＋3＝43
|m |＋
3
|m |
≤2，且当m ＝±3时，|AB |＝2，所以|AB |的最大值为2. (1)求椭圆的离心率，其法有三：一是通过已知条件列方程组，解出a ，c 的值；二
是由已知条件得出关于a ，c 的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e 的一元二次方程求解；三是通过取特殊值或特殊位置，求出离心率． (2)弦长公式l ＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2
x 1＋x 2
2
－4x 1x 2.
【训练3】 (2012·武汉质检)在Rt △ABC 中，AB ＝AC ＝1，如果一个椭圆通过A ，B 两点，它的一个焦点为点C ，另一个焦点在AB 上，则这个椭圆的离心率为________． 解析
设另一个焦点为F ，如图所示，∵|AB |＝|AC |＝1，△ABC 为直角三角形， ∴1＋1＋2＝4a ，则a ＝2＋2
4
，设|FA |＝x ，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋1＝2a ，1－x ＋2＝2a ，∴x ＝22，∴1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝4c 2，∴c ＝64，e ＝c a ＝6－ 3.
考向四 椭圆中的定值问题
【例4】►(2011·重庆)如图，椭圆的中心为原点O ，离心率e ＝2
2
， 一条准线的方程为x ＝2 2.
(1)求该椭圆的标准方程；
(2)设动点P满足：O P→＝OM→＋2ON→，其中M、N是椭圆上的点，直线OM与ON的斜率
之积为－1
2
.问：是否存在两个定点F1，F2，使得|PF1|＋|PF2|为定值？若存在，求F1，F2的坐
标；若不存在，说明理由．
解(1)e＝c
a＝
2
2
，
a2
c＝22，解
a＝2，c＝2，b2＝a2－c2＝2，故椭圆的标准方程为
x2
4
＋
y2
2
＝1.
(2)设P(x，y)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则由O P→＝OM→＋2ON→得
(x，y)＝(x1，y1)＋2(x2，y2)＝(x1＋2x2，y1＋2y2)，即x＝x1＋2x2，y＝y1＋2y2.
因为点M、N在椭圆x2＋2y2＝4上，所以x21＋2y21＝4，x22＋2y22＝4，
故x2＋2y2＝(x21＋4x22＋4x1x2)＋2(y21＋4y22＋4y1y2)＝(x21＋2y21)＋4(x22＋2y22)＋4(x1x2＋2y1y2)＝20＋4(x1x2＋2y1y2)．
设k OM，k ON分别为直线OM，ON的斜率，由题设条件知k OM·k ON＝y1y2
x1x2＝－
1
2
，
因此x1x2＋2y1y2＝0，所以x2＋2y2＝20.
所以P点是椭圆
x2
252
＋
y2
102
＝1上的点，
设该椭圆的左、右焦点为F1，F2，则由椭圆的定义|PF1|＋|PF2|为定值．
又因c＝252－102＝10，因此两焦点的坐标为F1(－10，0)，F2(10，0)．本题考查椭圆方程的求法和椭圆中的定点、定值等综合问题，可先设出动点P，利用设而不求的方法求出P点的轨迹方程，从而找出定点．
【训练4】(2010·安徽)如图，
已知椭圆E经过点A(2,3)，对称轴为坐标轴，焦点F1，F2在x轴上，离心率e＝1 2 .
(1)求椭圆E的方程；
(2)求∠F 1AF 2的角平分线所在直线l 的方程．
解 (1)设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，e ＝12，即c a ＝1
2，得a ＝2c ，得b 2＝a 2－c 2＝3c 2.
∴椭圆方程可化为x 24c 2＋y 23c 2＝1.将A (2,3)代入上式，得1c 2＋3
c 2＝1，解得c ＝2，
∴椭圆E 的方程为x 216＋y 2
12
＝1. (2)由(1)知F 1(－2,0)，F 2(2,0)，∴直线AF 1的方程为y ＝3
4(x ＋2)，即3x －4y ＋6＝0
直线AF 2的方程为x ＝2.由点A 在椭圆E 上的位置知，直线l 的斜率为正数． 设P (x ，y )为l 上任一点，则
|3x －4y ＋6|
5
＝|x －2|. 若3x －4y ＋6＝5x －10，得x ＋2y －8＝0(因其斜率为负，舍去)． 于是，由3x －4y ＋6＝－5x ＋10，得2x －y －1＝0， ∴直线l 的方程为2x －y －1＝0.
规范解答16——怎样求解与弦有关的椭圆方程问题
【问题研究】 求椭圆的方程是高考的重中之重，几乎每年必考，有的是以选择题或填空题的形式出现，多数以解答题的形式出现．虽然考向二中学习了求椭圆方程的方法，但在解答
题中往往结合弦长等知识来求椭圆方程，难度中等偏上．
【解决方案】 解决这类问题首先根据题设条件设出所求的椭圆方程，再由直线与椭圆联立，结合根与系数的关系及弦长公式求出待定系数．
【示例】►(本题满分12分)(2011·天津)设椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2.
点P (a ，b )满足|PF 2|＝|F 1F 2|. (1)求椭圆的离心率e ；
(2)设直线PF 2与椭圆相交于A ，B 两点，若直线PF 2与圆(x ＋1)2＋(y －3)2＝16相交于M ，N 两点，且|MN |＝5
8
|AB |，求椭圆的方程．
第(1)问由|PF 2|＝|F 1F 2|建立关于a 、c 的方程；第(2)问可以求出点A 、B 的坐标或利
用根与系数的关系求|AB |均可，再利用圆的知识求解．
[解答示范] (1)设F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c ＞0)，因为|PF 2|＝|F 1F 2|，所以a －c
2
＋b 2＝2c .整理得
2⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋c
a
－1＝0，得c a ＝－1(舍)，或c a ＝12.所以e ＝12.(4分)
(2)由(1)知a ＝2c ，b ＝3c ，可得椭圆方程为3x 2＋4y 2＝12c 2，直线PF 2的方程为y ＝3(x －
c )．
A 、
B 两点的坐标满足方程组⎩
⎪⎨⎪
⎧
3x 2＋4y 2＝12c 2
，y ＝3x －c .消去y 并整理，得5x 2－8cx ＝0.解得x 1＝
0，x 2＝8
5
c .(6分)
得方程组的解为⎩
⎪⎨
⎪⎧
x 1＝0，
y 1＝－3c ，⎩⎨⎧
x 2＝85
c ，
y 2
＝335c .
不妨设A ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
85c ，335c ，B (0，－3c )，
所以|AB |＝
⎝ ⎛⎭⎪⎫85c 2＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫33
5c ＋3c 2＝165c .(8分) 于是|MN |＝58|AB |＝2c . 圆心(－1，3)到直线PF 2的距离d ＝|－3－3－3c |2＝3|2＋c |
2.(10分)
因为d 2
＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫|MN |22＝42，所以34(2＋c )2＋c 2＝16. 整理得7c 2
＋12c －52＝0.
得c ＝－267(舍)，或c ＝2. 所以椭圆方程为x 216＋y 2
12
＝1.(12分)
用待定系数法求椭圆方程时，可尽量减少方程中的待定系数(本题只有一个c )，这
样可避免繁琐的运算而失分．
【试一试】 已知直线y ＝－12x ＋2和椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)相交于A 、B 两点，M 为线段
AB 的中点，若|AB |＝25，直线OM 的斜率为1
2，求椭圆的方程．
[尝试解答] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)．
1111 则⎩⎪⎨⎪⎧ x 21a 2＋y 21b
2＝1， ①x 22a 2＋y 2
2b 2＝1， ②①－②得：y 2－y 1x 2－x 1＝－b 2a 2x 1＋x 2y 1＋y 2
. ∴k AB ＝－b 2a 2×x 0y 0＝－12.③ 又k OM ＝y 0x 0＝12，④ 由③④得a 2＝4b 2. 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－12x ＋2，x 24b 2＋y 2
b 2＝1得：x 2－4x ＋8－2b 2＝0，∴x 1＋x 2＝4，x 1·x 2＝8－2b 2.
∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝52x 1＋x 22－4x 1x 2＝5216－32＋8b 2＝528b 2－16＝2 5. 解得：b 2＝4.
故所求椭圆方程为：x 216＋y 2
4＝1.。