(完整word版)苏科版九年级数学下册第七章《锐角三角函数》教学案

课题7.1正切(1) 自主空间
学习目标知识与技能：
1.理解正切的概念，能通过画图求出一个角的正切的近似值。

能运用正切解决与直角三角形有关的简单问题。

过程与方法：
1.经历探索表示物体倾斜程度，形成正切的概念的过程，练就创造性解决问题的能力。

学习
重点
理解并掌握正切的含义，会在直角三角形中求出某个锐角的正切值。

学习
难点
计算一个锐角的正切值的方法。

教学流程
预习导航观察回答：如图某体育馆，为了方便不同需求的观众设计了多种形式的台阶。

下列图中的两个台阶哪个更陡？你是怎么判断的？
图（1）图（2）
[点拨]可将这两个台阶抽象地看成两个三角形
答：图的台阶更陡，理由
合作探究一、新知探究：
1、思考与探索一：
除了用台阶的倾斜角度大小外，还可以如何描述
台阶的倾斜程度呢？
①可通过测量BC与AC的长度，
②再算出它们的比，来说明台阶的倾斜程度。

（思考：BC与AC长度的比与台
阶的倾斜程度有何关系？）答：_________________.
③讨论：你还可以用其它什么方法？
能说出你的理由吗？答：________________________.
2、思考与探索二：
（1）如图，一般地，如果锐角A的大小已确定，
我们可以作出无数个相似的RtAB1C1，RtAB2C2，
RtAB3C3……，那么有：Rt△AB1C1∽_____∽____……
根据相似三角形的性质，
A
C C C
B
B
B
得：
1
1
1AC C B ＝_________＝_________＝…… （2）由上可知：如果直角三角形的一个锐角的大小已确定，那么这个锐角的对边与这个角的邻边的比值也_________。

3、正切的定义
如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a 、b 分别是∠A 的对边和邻边。

我们将∠A 的对边a 与邻边b 的比叫做∠A_______，记作______。

即：tanA ＝________＝__________
（你能写出∠B 的正切表达式吗？）试试看.
4．思考：当锐角α越来越大时，α的正切值有什么变化？ 二．例题分析：
例1：⑴某楼梯的踏板宽为30cm ，一个台阶的高度为15cm ，求 楼梯倾斜角的正切值。

⑵如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=5，BC= 4 ， 求tanA 与tanB 的值.
⑶如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=12，tanA= 求AB 的值。

例2：在在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD 是AB 边上的高， ①tanA= = ；②tanB= = ； ③tan ∠ACD= ；④tan ∠BCD= ； 三．展示交流：
1．在光的反射中，入射角等于反射角，入射角为∠1，AC ⊥CD ，BD ⊥CD ，且AC=3，BD=6，CD=11，求tan ∠1
2．在直角坐标系中，△ABC 的三个顶点的坐标分别为A （－4,1），B （－1，3），C （－4,3），试求tanB 的值。

四、提炼总结：请你说说本节课有哪些收获？
1
A
C B
D O A 对边b C
对边a B 斜边c 34
的系统性。

学习重点理解并掌握正弦、余弦的含义，会在直角三角形中求出某个锐角的正弦和余弦值。

学习
难点
在直角三角形中求出某个锐角的正弦和余弦值。

教学流程
预习导航问题1：如图，小明沿着某斜坡向上行
走了13m后，他的相对位置升高了5m，如果
他沿着该斜坡行走了20m，那么他的相对位
置升高了多少？行走了a m呢？
问题2：在上述问题中，他在水平方向又分别前进了多远？
合作探究一、新知探究：
1．思考：从上面的两个问题可以看出：当直角三角形的一个锐角的大小已确定时，它的对边与斜边的比值__________；它的邻边与斜边的比值___________。

（根据是______________________________。

）
2．正弦的定义
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，
我们把锐角∠A的对边a与斜边c的比
叫做∠A的______，记作________，即：sinA＝________=________.
3．余弦的定义
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°,我们把锐角∠A的邻边b与
斜边c的比叫做∠A的______，记作=_________，即：cosA=______=_____。

（你能写出∠B的正弦、余弦的表达式吗？）试试看________________.
4．怎样计算任意一个锐角的正弦值和余弦值呢？
（1）如书P42图7—8，当小明沿着15°的斜坡行走了1个单位长度到P点时，他的位置在竖直方向升高了约0.26个单位长度，在水平方向前进了约0.97个单位长度。

20m
13m
根据正弦、余弦的定义，可以知道：sin15°＝0.26，cos15°＝0.97 （2）你能根据图形求出sin30°、cos30°吗？sin75°、cos75°呢？ sin30°＝_____，cos30°＝_____.sin75°＝_____，cos75°＝_____. （3）利用计算器我们可以更快、更精确地求得各个锐角的正弦值和余弦值。

（4）观察与思考：
从sin15°，sin30°，sin75°的值，你们得到什么结论？ 从cos15°，cos30°，cos75°的值，你们得到什么结论？ 当锐角α越来越大时，它的正弦值是怎样变化的？余弦值又是怎样变化的？
二、 例题分析：
例：已知：如图，∠ACB=90°,CD ⊥AB,垂足为D.
（1）)()(sin BC
AC A ==
（2）AB
CD )
()(B sin ==
（3）BC BCD CD ACD )
(cos ,)(cos =∠=∠
（4）)
()(tan ,)()(tan AC
BD B AC CD A ====
三、 展示交流：
1.根据如图中条件，分别求出下列直角三角形中锐角．．的正弦、余弦值。

2．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝12，BC ＝5，则sinA ＝_____， cosA ＝_____，sinB ＝_____，cosB ＝_____。

3．在Rt △ABC 中，AC ＝BC ，∠C ＝90°，
求（1）cosA ；（2）当AB ＝4时，求BC 的长。

4．已知在△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，且a ：b ：c ＝5：12：13，试求最小角的三角函数值。

四、提炼总结：三角函数的实质是直角三角形中边之间的比：
斜边的对边A A ∠=
sin 斜边
的邻边
A A ∠=cos
当
堂
达 标
1.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝1，则sinA ＝_____，cosB=_______,cosA=________,sinB=_______.
2．在Rt △ABC 中，如果各边长度都扩大3倍，则锐角A 的各个三角函数值（ ） A.不变化 B.扩大3倍 C.缩小3
1
D.缩小3倍 3．若0°＜α＜90°，则下列说法不正确的是（ ） A 、sin α随α的增大而增大 B 、cos α随α的增大而减小 C 、tan α随α的增大而增大
D 、sin α、cos α、tan α的值都随α的增大而增大 4．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，tanA ＝4
3
，AB ＝10，求BC 和cosB 。

学习反思：
课题
7.2正弦、余弦（二）
自主 空间
学习
目标
知识与技能：能够根据直角三角形的边角关系进行计算； 过程与方法：能用三角函数的知识根据三角形中已知的边和角求出
未知的边和角
情感、态度与价值观：在学习中体会数学与生活的联系，培养应用意识。

学习重点 能根据直角三角形的边角关系进行计算；用函数的观点理解正切，正弦、余弦值。

学习
难点
用函数的观点理解正切，正弦、余弦值。

教学流程
预习导航1．在Rt△ABC中，∠C=90°,BC=2,AC=4,
则sinB=_____,cosB=_____,tanB=_____。

2．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10, sinA=
5
3
，求BC、AC。

合作探究一、新知探究：
在直角三角形中，知道一边长及一锐角的三角函数值，你能求出其它各边的长和另一锐角的三角函数值吗？
二、例题分析：
小明正在放风筝，风筝线与水平线成35°角时，小明的手离地面1m，若把放出的风筝线看成一条线段，长95m，求风筝此时的高度。

（精确到1m）
（参考数据：sin35°≈0.5736，cos35°≈0.8192,tan35°≈0.7002）
三、展示交流：
1．为了测量河的宽度，在河的一边选定点C，使它正对着(视线与河岸垂直)河对岸的一棵树B，沿着点C所在的河岸行走100m，到达A 处，测得∠CAB＝35°，求河的宽度BC（精确到0.1m）（参考数据：sin35°≈0.5736，cos35°≈0.8192，tan35°≈0.7002）
2．某居民小区有一朝向为正南方向的居民楼,该居民楼的一楼是高6米的小区超市,超市以上是居民住房.在该楼的前面15米处要盖一栋高20米的新楼.当冬季正午的阳光与水平线的夹角为30°时.
（1）超市以上的居民住房采光是否有影响,为什么？
C
A
B
A
B
C
35°
（2）若要使超市采光不受影响，两楼应相距多少米？
四、提炼总结：
在直角三角形中，知道一边长及一锐角的三角函数值，就能求出其它各边的长和另一锐角的三角函数值。

当堂达标1．在△ABC中，∠C＝90°，cosB=
13
12
,AC＝10，求△ABC的周长和斜边AB边上的高。

2．一把梯子靠在一堵墙上，若梯子与地面的夹角是68°，而梯子底部离墙脚1.5m，求梯子的长度（精确到0.1m）
（参考数据：sin68°≈0.9272，cos68°≈0.3746，tan68°≈2.475）3．如图是引拉线固定电线杆的示意图，已知：CD⊥AB，CD＝33m，
∠CAD＝∠CBD＝60°，求拉线AC的长。

（精确到0.1m）
（参考数据：sin60°≈0.8660，cos60°≈0.5000，tan60°≈1.732）
学习反思：A B
D
C
当堂达标1．计算下列各式的值.
(1)2sin30°+3cos60°-4tan45°
(2)
60
sin
60
cos
45
tan
·tan30°
2．若sinα=
2
2
,则锐角α=________.若2cosα=1,则锐角α
=_________.
3．若∠A是锐角，且tanA=
3
3
,则cosA=_________
4．在△ABC中，若tanA=1，sinB=
2
2
，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．一般锐角三角形
5．若∠A=41°，则cosA的大致范围是（）
A．0＜cosA＜1 B.
2
1
＜cosA＜
2
2
C.
2
2
＜cosA＜
2
3
D.
2
3
＜cosA＜1
6．已知：如图,AC是△ABD的高,BC=15㎝,∠BAC=30°, ∠DAC=45°.求AD.
.
学习反思：
课题7.4由三角函数值求锐角自主空间
学习目标知识与技能：会根据锐角的三角函数值，利用科学计算器求锐角的大小。

过程与方法：能够运用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题
2．判断下列等式是否成立？为什么？
(1)sin15°+sin25°＝sin40° (2)cos20°+cos26°=cos46°
(3)tan25°+tan15°＝tan40°
3．如图,工件上有一V型槽,测得它的上口宽20mm,深19.2mm.求V型角(∠ACB)的大小(结果精确到10 ).
4．图中的螺旋形由一系列直角三角形组成.每个三角形都是以点O为一顶点.
(1)求∠A0OA1,∠A1OA2,∠A2OA3,的大小.
(2)已知∠A n-1OA n,是一个小于200的角,求n的值.
四、提炼总结：知道三角函数的值，也可以求出角的度数。

当堂达标
1．根据下列条件求锐角θ的大小：
(1)sinθ＝
2
3； (2)cosθ＝
2
3； (3)tanθ=3；
(4)sinθ=0.3957；（5）cosθ＝0.7850； (6)tanθ＝0.8972；
2．如图,为了方便行人，市政府在10m高的天桥.两端修建了40m长的斜道.这条斜道的倾斜角是多少?
3．如图,物华大厦离小伟家60m,小伟从自家的窗中眺望大厦,并测得
大厦顶部仰角是45o ,而大厦底部的俯角是
37o ,求该大厦的的高度(结果精确到
0.1m).
学习反思：
课题7.5解直角三角形自主空间
学习目标
了解解直角三角形的概念，能运用直角三角形的角与角(两锐角互余)，边与边(勾股定理)、边与角关系解直角三角形。

学习重点
了解解直角三角形的概念，能运用直角三角形的角与角(两锐角互余)，边与边(勾股定理)、边与角关系解直角三角形。

学习难点
运用直角三角形的角与角(两锐角互余)，边与边(勾股定理)、边与角关系解直角三角形。

教学流程
预习导航
如图所示，一棵大树在一次强烈的台风中于地面10米处折断倒下，树顶落在离数根24米处。

问大树在折断之前高多少米?
显然，我们可以利用勾股定理求出折断倒
下的部分
的长度为＝，＋10
＝36所以，大树在折断之前的高为36米。

合作探究一、新知探究：
1．解直角三角形的定义。

任何一个三角形都有六个元素，三条边、三个角，在直角三角形中，已知有一个角是直角，我们把利用已知的元素求出末知元素的过程，叫做解直角三角形。

像上述的就是由两条直角边这两个元素，利用勾股定理求出斜边的长度，我们还可以利用直角三角形的边角关系求出两个锐角，像这样的过程，就是解直角三角形。

2．解直角三角形的所需的工具。

如图7—12，在Rt△ABC 中， ∠ACB ＝90°，
其余5个元素之间有以下关系： (1)两锐角互余∠A ＋∠B ＝
(2)三边满足勾股定理a 2＋b 2
＝ (3)边与角关系sinA ＝ ＝a
c
，
cosA ＝sinB ＝b c ，tanA ＝ ＝ ，cotA ＝ ＝b
a 。

二、例题分析：
例1：在Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠C＝30°，a=5，解直角三角形。

例2：Rt△ABC 中，∠C＝90°，a=104，b=20.49，求 （1）c 的大小（精确到0.01） (2) ∠A 、∠B 的大小。

例3：如图7—13，圆O 半径为10，求圆O 的内接正五边形ABCDE
的边长（精确到0.1）
三、展示交流：
1、已知：在Rt△ABC 中，∠C＝90°，b=23，c = 4， 求（1）a ；（2）求∠B 、∠A
2、求半径为12的圆的内接正八边形的边长（精确到0.1）.
四、提炼总结
E
H
O
C
A
B
D
当
堂 达 标
1、（09年广西柳州）如图，热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为︒60，看这栋高楼底部的俯角为︒30，热气球与高楼的水平距离为66 m ，这栋高楼有多高？（结果精确到0.1 m ，参考数据：73.13≈）
2、（09年湖北仙桃）如图所示，小华同学在距离某建筑物6米的点A 处测得广告牌B 点、C 点的仰角分别为52°和35°，则广告牌的高度BC 为________米(精确到0.1米)．
(sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70； sin52°≈0.79，cos52°≈0.62，tan52°≈1.28)
3、（09年山东济南）九年级三班小亮同学学习了“测量物体高度”一节课后，他为了测得右图所放风筝的高度，进行了如下操作： （1）在放风筝的点A 处安置测倾器，测得风筝C 的仰角60CBD =︒∠； （2）根据手中剩余线的长度出风筝线BC 的长度为70米；
（3）量出测倾器的高度 1.5AB =米．
根据测量数据，计算出风筝的高度CE 约为 米．（精确到0.1米，3 1.73≈）
学习反思： 课题
7.6锐角三角函数的简单应用（1）
自主空间
学习目标 通过具体的一些实例，能将实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系。

学习
通过具体的一些实例，能将实际问题中的数量关系，归结为直
C
A
B
A
D B E
C
60° （第3题图）
A
B
C D
6米
52° 35° (第2题图)
2、某船向正东航行，在A处望见灯塔C在东北方向，前进到B处望见灯塔C在北偏西30o,又航行了半小时到D处，望灯塔C恰在西北方向，若船速为每小时20海里，求A、D两点间的距离。

当堂达标1、如图为了测量某建筑物AB的高度，在平地上C处测得建筑物顶端A的仰角为30°，沿CB方向前进12 m到达D处，在D处测得建筑物顶端A的仰角为45°，则建筑物AB
的高度等于
A．6（3＋1）m B． 6 (3—1) m
C．12 (3＋1) m D．12（3－1）m
2、用A B C
，，分别表示学校、小明家、小
红家，已知学校在小明家的南偏东25︒，小红家在小明家正东，小红家在学校北偏东35︒，则ACB
∠等于（）
A．35︒B．55︒C．60︒ D．65︒
3、有人说，数学家就是不用爬树或把树砍倒就能够知道树高的人．小敏想知道校园内一棵大树的高（如图），他测得CB=10米，∠ACB=50°，请你帮他算出树高AB约为米．(结果精确到0.1米）．
4、如图，在某建筑物AC上，挂着“多彩靖江”的宣传条幅BC，小明站在点F处，看条幅顶端B，测的仰角为︒
30，再往条幅方向前行20米到达点E处，，看到条幅顶端
B，测的仰角为︒
60，求宣传条幅BC的
长（小明的身高不计，结果精确到0.1
米）．
学习反思：
课题7.6锐角三角函数的简单应用（2）
自
主
空
间
学
习目标
进一步掌握解直角三角形的方法，比较熟练的应用解直角三角形的知识解决与仰角、俯角有关的实际问题，提高把实际问题转化为数学问题的能力。

学
习重点
进一步掌握解直角三角形的方法，比较熟练的应用解直角三角形的知识解决与仰角、俯角有关的实际问题，提高把实际问题转化为数学问题的能力。

学
习难点
进一步掌握解直角三角形的方法，比较熟练的应用解直角三角形的知识解决与仰角、俯角有关的实际问题，提高把实际问题转化为数学问题的能力。

教学流程
预习导航
如右图，从下往上看，视线与水平线的夹角叫仰角，从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角。

右图中的∠1就是仰角，∠2就是俯角。

50
A
B
C
合作探究一、例题讲解：
例2、为了测量停留在空中的气球的高度，小明先站在地面上某点观测气球，测得仰角为27°，然后他向气球方向前进了50m，此时观测气球，测得仰角为40°。

若小明的眼睛离地面1.6m ，小明如何计算气球的高度呢（精确到0.01m）
解：
二、展示交流：
1．如图，为了测量电线杆的高度AB，在离电线杆22.7米的C处，用1.20米的测角仪CD测得电线杆顶端B的仰角a＝22°，求电线杆AB的高度.
2．为了测量停留在空中的气球的高度，小明先站在地面上某点处观测气球，测得仰角为27度，然后他向气球方向前进了50米，此时观测气球，测得仰角40度.若他的眼睛离1.6米地面 ,他如何计算气球的高度呢?(精确到0.1米)?
分析：1、由题目可知道，气球的高度就
是CD的长加上小明的眼睛离地面1.6m
2、假设CD为h m，BD为x m，在Rt△A DC
和Rt△B DC利用正弦列出两个方程求出x m
h m
A
D
B
27
50m
40
C
D
A B
C
当堂达标
1．热气球的探测器显示,从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°,看这栋高楼底部的俯角为60°,热气球与高楼的水平距离为120m,这栋高楼有多高?
2．为50°,观察底部B的仰角为45°,求旗杆的高度(精确到0.1m)
3．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80海里的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？（精确到0.01海里）
学习反思：
课
题
第七章锐角函数小结与思考自主空间学
习目通过复习，系统地掌握本章知识。

能够灵活运用知识解决问题。

B
A
C
D
标
学
习
重
点
通过复习，使学生系统地掌握本章知识。

学
习
难
点
在系统复习知识的同时，能够灵活运用知识解决问题。

教学流程
预习导航
一、知识回顾（填空）
1．应用相似测量物体的高度(1)
如图(一)，利用光线的平行和物体
在地面的投影和物体构成的两个直角三
角形相似，从而求得物体的高度。

(2)如图
(二)，我们可以利用测角仪测出∠ECB的度数，用皮尺量出CE的长度，而后按一定的比例尺(例如1:500)画出图形，进而求出物体的高度。

2．锐角三角函数。

(如图三)
(1)定义：sinA＝，cosA＝，＝
a
b
，cota＝
b
a
（余切）。

(2)若∠A是锐角，则0＜sinA＜l，0＜cosA＜1，tinA×cotA ＝1，
sin2A＋cos2A＝1，你知道这是为什么吗?
(3)特殊角的三角函数值。

a sina cosa tana cota
30°
45°
60°
同学们在记忆这些三角函数值时，一方面能由角度求出它的各个三角函数值，另一方面，要能由三角函数值求出相应的角度。

(4)熟练应用计算器求出锐角三角函数值。

(5)正弦、正切值是随着角度的增大而，余弦是随着角度的增大而．
(6)一个锐角的正弦值等于它余角的余弦值，一个锐角的余弦值等于它余角的正弦值。

正切、余切也一样。

合作探究
二、例题讲解
例1．Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，
两直角边的和为14，求这个直角三角形的面积。

例2．如图，AC⊥BC，cos∠ADC＝
4
5
，
∠B＝30°AD＝10，求 BD的长。

二、展示交流：
1．Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，∠A、
∠B、∠C所对的边为a、b、c，则a：b：c＝( )
A、1:2:3
B、1: 2: 3
C、1: 3:2
D、
1:2: 3
2．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2.1cm，BC＝2.8cm。

求:(1)△ABC的面积； (2)斜边的长；(3)高CD.
3．Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，
∠A的平分线AD＝
163
2
，求∠B的度数以及边BC、AB的长。

当堂达标1．在Rt△ABC中，∠C=90°，下列式子不一定成立的是（）A．sinA=sinB B．cosA=sinB
C．sinA=cosB D．∠A+∠B=90°
2．直角三角形的两边长分别是6，8，则第三边的长为（）A．10 B．22 C．10或27 D．无法确定
3．已知锐角α，且tanα=cot37°，则a等于（）
A．37° B．63° C．53° D．45°
4．已知等腰△ABC中，AB=AC=13，BC=10，求顶角∠A的四种三角函数值．
5．如图所示，平地上一棵树高为5米，两次观察地面上的影子，•第一次是当阳光与地面成45°时，第二次是阳光与地面成30°时，
第二次观察到的影子比第一次长多少米？
6．如图所示的燕服槽一个等腰梯形，外口AD宽10cm，燕尾槽深10cm，AB的坡度i=1：1，求里口宽BC及燕尾槽的截面积．
学习反思：
参考答案：
7.1正切(1) 1.
3
5
2.4 7.2正弦、余弦（一） 1.
21，21,23,23. 2．A 3．D 4． BC=6,cosB=5
3。

7.2正弦、余弦（二） 1．60,
13
120
2．4 3．6 7．3特殊角的三角函数 1．(1)-1.5 (2)
3
1
2．45°，60° 3．23 4．B 5．C 6．156
7.4由三角函数值求锐角
1．(1) 60° (2) 30° (3) 60° (4) 23.3° （5）38.3° (6)41.9° 2．14.5° 3．105 m。