2010学年度第二学期普陀区高三年级质量调研数学试卷标准答案1104B

n
(x,
y,
z)
，则有

n
EF

0
得到 y 0, z xx0 ，取 x 1，所以 n
(1,0, x0 ) ，则
n EQ 0
EA n n
0.8
，又
x0

0
，解得
x0

4 3
，所以点
Q( 4 ,2,0) 3
即
CQ

( 2 ,0,0) 3
，则
CQ 2 .所以在线段 CD 上存在一点 Q 满足条件，且长度为 2 .
所以， AB OG bd ac 0 ，即 AB OG . 2
故 O 、 G 、 H 必定三点共线.
23. （本题满分 18 分）
（理科）解：（1）因为对角线互相垂直的四边形 ABCD 面积 S AC BD ，而由于 2
AC d 为定长，则当 BD 最大时，四边形 ABCD 面积 S 取得最大值. 由圆的性质，垂直 于 AC 的弦中，直径最长，故当且仅当 BD 过圆心 M 时，四边形 ABCD 面积 S 取得最大 值，最大值为 dr . （2）解法一：由题意，不难发现，当点 P 运动到与圆心 M 重合时，对角线 AC 和 BD 的 长同时取得最大值 AC BD 2r ，所以此时四边形 ABCD 面积 S 取得最大值，最大值
我们可以先确定 a5 , a6 使得 a5 a6 0 ，因为公差不为零的等差数列an 必是单调的
数列，只要它的最大项和最小项在 ( 2,0) (0, 2) 中，即可满足要求. 所以只要 a5 , a6 对
应的点尽可能的接近原点.如取 a5 0.1, a6 0.1，存在满足条件的一个等差数列an 可
则可得点
G
的坐标为

c 2
,
d 2

，即
OG


c 2
,
d 2

.
又 AB a,b ，且 AB OH ，故要使 G 、O 、 H 三点共线，只需证 AB OG 0 即可.
而 AB OG bd ac ，且对于圆 M 的一般方程 x2 y2 Dx Ey F 0 ， 2

1,
1 2

，
e2

0,
3 2

，设向量
e1
和
e2
的夹角为

则 cos e1 e2 e1 e2
3
4 5
= 3
5 5
，即向量
e1
和
e2
的夹角为
arccos
5. 5
22
22.（本题满分 16 分）
（理科，同文科
23
题）解：（1）由
2

x2

0
得 x ( 2,0) (0, 2) ，
对 于 方 程 x2 y2 Dx Ey F 0 所 表 示 的 圆 ， 可 知 D2 E2 F r2 ， 所 以 44
D2 E2 4F 4r2 64 .
（3）证：设四边形四个顶点的坐标分别为 Aa,0 ， B 0,b ， C c,0 ， D0,d .
2010 学年度第二学期普陀区高三质量调研数学试卷参考答案
一、填空题（满分 56 分）：
1. 2 2 ； 2. 理：3； 文： ,2 6, ； 3. 144x2 ；
201104
4. x 1, x 0, ； 5. 4；
6. ； 4
7. 32；
8. 理：-6；文：5；
3
3
（文科）解：(1)由题意，当 x 0 时，sin x 0,cos x 1 ，此时 e1 1,0 ，e2 0,1 都
为单位向量.故
a

1 2
e1

3 2
e2


1 2
,
3 2

，所以
a
1.
(2)
由条件
a

1 2
e1

3 2
e2


1 2
,
1 2
x 2 2 0
则 f (x) ln(2 x2 ) ，任取 x ( 2,0) (0, 2) ，都有 x
f (x) ln(2 x2 ) f (x)，则该函数为奇函数. x
（2）任取 0 x1 x2 1 ，
则有 0 x12 x22 1 2 x12 2 x22 1，
当 y 0 时可得 x2 Dx F 0 ，其中方程的两根分别为点 A 和点 C 的横坐标，
于是有 xAxC ac F . 同理，当 x 0 时，可得 y2 Ey F 0 ，其中方程的两根分别为点 B 和点 D 的纵坐
标，于是有 yB yD bd F .
ln(2 x12 ) ln(2 x22 ) 0 .
又
1 x1

1 x2
1 ，所以 ln(2 x12 ) x1

ln(2 x22) x2
，即
f (x1)
f
(x2 ) ，
故函数 f (x) 在区间 (0,1) 上单调递减.
（3）由程序框图知，公差不为零的等差数列an 要满足条件，
以上两个均为正确的猜想，要证明以上两个猜想，都需先证：椭圆内的平行弦中，过 椭圆中心的弦长最大.
证：设椭圆的方程为 x2 a2

y2 b2
1（a
b 0 ），平行弦 MN
的方程为
y

kx m ，
联立可得 b2x2 a2 (kx m)2 a2b2 0 b2 a2k2 x2 2kma2x m2a2 a2b2 0
以是 an 0.2n 1.1 (1 n 10, n N*) .
【说明】本问题结论开放. 我们可以将问题解决的方法一般化.
设 a5 a ， a6 a ，若 a 0, 2 ，可得 d 2a .
而由题意，需 a10 a6 4d
2 d 2a
为 2r2 .
解法二：设圆心 M 到弦 AC 的距离为 d1 ，到弦 BD 的距离为 d2 ， MP 的距离为 d .则
AC 2
r2 d12 ， BD 2
r2

d
2 2
，且 d 2

d12

d
2 2
.可得
SABCD 2
r2 d12
r2

d
2 2
2
r4

(d12

d
2 2
)r
于是有 F 0，即证. 证法二：由题意，不难发现 A 、 C 两点分别在 x 轴正负半轴上. 设两点坐标分别为
Aa,0 ， C c,0 ，则有 ac 0 .
对于圆方程 x2 y2 Dx Ey F 0 ，当 y 0 时，可得 x2 Dx F 0 ，其中方
则必有 f (a1 ) f (a2 ) f (a10 ) 0 。 由（1）知函数 f (x) 是奇函数，而奇函数的图像关于原点对称，
所以要构造满足条件的等差数列an ，可利用等差数列的性质，只需等差数列an 满足：
a1 a10 a2 a9 a5 a6 0 且 an ( 2,0) (0, 2) 即可.
解法一：因为 w(1 2i) 4 3i ，得 w 4 3i 2 i ， 1 2i
所以 z 5 | i | 3 i . 2i
若实系数一元二次方程有虚根 z 3 i ，则必有共轭虚根 z 3 i ， 因为 z z 6 ， z z 10 ，
解释二：第一小时为 10 元，以后每小时都比前一小时增加 5 元.源自可以理解为等差数列求和，则
14
小时总收费为
S14

14 10

14 2
13 5

595 元.
解释三：第一小时为 10 元，以后每小时都增加 50%.可以理解为等比数列求和，
10 11.514
则 14 个小时的收费为 S14 11.5 5818.59 元.
不妨设 M x1, y1 、 N x2, y2 ，则 MN 1 k2 x1 x2

1k2

2kma2 b2 a2k2
2


4
m2a2 a2b2 b2 a2k2

1 k2 b2 a2k 2

4k 2m2a4 4 m2a2 a2b2
2

d12d
2 2
又 d12d22


d12
2
d
2 2
2

，当且仅当 d1

d2 时等号成立.
所以 SABCD 2
r4 d 2r2 d 4 4
2 r2 d2 2
，当且仅当 d1 d2 时等号成立.
又因为点 P 在圆内运动，所以当点 P 和圆心 M 重合时 d 0 ，此时 d1 d2 ，故此时
sin
x

3 2
cos
x

1
因为向量 a 和向量 b 1, 2 共线，所以 2
1 sin x 2
3 cos x 2

0
1
2

1


1 2
sin
x

3 2
cos
x


1
sin

x

3


0
，因为
x
0,
2

，所以
x

6
.
于是
e1
2 a 0 a 2 （ 0.157 ）.
4
9
同理，若 a ( 2,0) ，则需 2 a 0 . 9
（文科） （1）证法一：由题意，原点 O 必定在圆 M 内， 即点 (0, 0) 代入方程 x2 y2 Dx Ey F 0 的左边后的值小于 0，
9. 3 2 或 9 2 ； 44
10. 理： arctan 4 ；11. ( 1 , 2) ； 93
12. 理： 5 ；文： 2 ； 13. 理：（2，2012）；文： 3 ； 14. 1028.
5
2
二、选择题（满分 20 分）：
题号
15
16
17
18
答案
C
C
D
A
三、解答题：
19.（本题满分 12 分）
四边形的面积最大，最大值为 Smax 2r2 .不难发现，此时该四边形是圆内接正方形，对角
线交点 P 与圆心重合. （3）类比猜想 1：若对角线互相垂直的椭圆内接四边形 ABCD 中的一条对角线长确定时，
当且仅当另一条对角线通过椭圆中心时，该椭圆内接四边形面积最大.
类比猜想 2：当点 P 在椭圆中心时，对角线互相垂直的椭圆内接四边形 ABCD 的面积最大.
故所求的一个一元二次方程可以是 x2 6x 10 0 .
解法二：设 w a bi (a、bR) ，则
a bi 4 3i 2ai 2b (a 4) bi 2b (3 2a)i
a b
4 2b 3 2a

a b
B
BD (2,2,0) .
x
设异面直线 EG 与 BD所成角为
E
F
A
第 21 题 图
QG C
D
y
EG BD 2 4
cos


3 ,所以异面直线 EG 与 BD所成角大小为 arccos
3
.
EG BD 6 8 6
6
（2）假设在线段 CD 上存在一点 Q 满足条件，设点 Q (x0 ,2,0) ，平面 EFQ 的法向量为
b2 a2k 2
1 k2 b2 a2k 2
4a2b2 a2k 2 b2 m2

2
，∴
1
w 2 i，…，以下解法同[解法一].
20.（本题满分 14 分）
解：争议的原因是收费标准中对于“每小时按加价 50%收费”的含义出现了歧义。以下给出
三种不同的理解：
解释一：第一小时为 10 元，以后每小时都为 15 元.14 小时总收费为：
10 1513 205元；
程的两根分别为点 A 和点 C 的横坐标，于是有 xAxC ac F . 因为 ac 0 ，故 F 0.
AC BD
（2）不难发现，对角线互相垂直的四边形 ABCD 面积 S
，因为 S 8，
2
AC 2 ，可得 BD 8 .
又因为 AB AD 0 ，所以 A 为直角，而因为四边形是圆 M 的内接四边形，故 BD 2r 8 r 4 .
【说明】以上三种解释中能任意给出两种即可得满分.
21. （本题满分 14 分）
（ 理 科 ） 解 ：（ 1 ） 以 点 A 为 坐 标 原 点 ， 射 线
z
P
AB, AD, AZ 分别为 x轴、y轴、z轴 的正半轴建立
空间直角坐标系如图示，点 E(0,0,1) 、 G(1,2,0) 、
B(2,0,0) 、 D(0,2,0) ， 则 EG (1,2,1) ，