人教A版高中数学必修4第一章三角函数1.2.1任意角的三角函数一导学案

1.2.1.任意角的三角函数(一)
学习目标.1.通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义，了解三角函数是以实数为自变量的函数.2.借助任意角三角函数的定义理解并掌握正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号.3.通过对任意角的三角函数定义的理解，掌握终边相同的角的同一三角函数值相等.
知识点一.任意角的三角函数
使锐角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，在终边上任取一点P ，作PM ⊥x 轴于M ，设P (x ，y )，|OP |＝r .
思考1.角α的正弦、余弦、正切分别等于什么？ 答案.sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x
.
思考2.对确定的锐角α，sin α，cos α，tan α的值是否随P 点在终边上的位置的改变而改变？
答案.不会.因为三角函数值是比值，其大小与点P (x ，y )在终边上的位置无关，只与角α的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关.
思考3.在思考1中，当取|OP |＝1时，sin α，cos α，tan α的值怎样表示？ 答案. sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x
. 梳理.(1)单位圆
在直角坐标系中，我们称以原点O 为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆. (2)定义
在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么： ①y 叫做α的正弦，记作sin α， 即sin α＝y ；
②x 叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x ； ③y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝y x
(x ≠0).
对于确定的角α，上述三个值都是唯一确定的.故正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以
单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，统称为三角函数. 知识点二.正弦、余弦、正切函数的定义域
思考.对于任意角α，sin α，cos α，tan α都有意义吗？
答案.由三角函数的定义可知，对于任意角α，sin α，cos α都有意义，而当角α的终边在y 轴上时，任取一点P ，其横坐标x 都为0，此时y x
无意义，故tan α无意义. 梳理.三角函数的定义域
知识点三.正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号
思考.根据三角函数的定义，你能判断正弦、余弦、正切函数的值在各象限的符号吗？ 答案.由三角函数定义可知，在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x
.当α为第一象限角时，y >0， x >0，故sin α>0，cos α>0，tan α>0，同理可得当α在其他象限时三角函数值的符号，如图所示.
梳理.记忆口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”. 知识点四.诱导公式一
思考.当角α分别为30°，390°，－330°时，它们的终边有什么特点？它们的三角函数值呢？
答案.它们的终边重合.由三角函数的定义知，它们的三角函数值相等. 梳理.诱导公式一
类型一.三角函数定义的应用
命题角度1.已知角α终边上一点坐标求三角函数值 例1.已知θ终边上一点P (x ，3)(x ≠0)，且cos θ＝10
10
x ，求sin θ，tan θ. 解.由题意知r ＝|OP |＝x 2
＋9， 由三角函数定义得cos θ＝x r
＝
x
x 2＋9
. 又∵cos θ＝
1010x ，∴x x 2＋9＝1010
x . ∵x ≠0，∴x ＝±1. 当x ＝1时，P (1，3)， 此时sin θ＝
3
12＋32
＝31010，tan θ＝3
1＝3. 当x ＝－1时，P (－1，3)， 此时sin θ＝
3
(－1)2
＋3
2
＝31010，tan θ＝3－1＝－3.
反思与感悟.(1)已知角α终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法：
①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应地三角函数值.
②在α的终边上任选一点P (x ，y )，设P 到原点的距离为r (r >0)，则sin α＝y
r
，cos α＝
x
r
.当已知α的终边上一点求α的三角函数值时，用该方法更方便. (2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.
跟踪训练1.已知角α的终边过点P (－3a ，4a )(a ≠0)，求2sin α＋cos α的值. 解.r ＝(－3a )2
＋(4a )2
＝5|a |.
①若a >0，则r ＝5a ，角α在第二象限，
sin α＝y r ＝4a 5a ＝45，cos α＝x r ＝－3a 5a ＝－3
5
，
∴2sin α＋cos α＝85－3
5
＝1.
②若a <0，则r ＝－5a ，角α在第四象限， sin α＝4a －5a ＝－45，cos α＝－3a －5a ＝3
5，
∴2sin α＋cos α＝－85＋3
5＝－1.
综上所述，2sin α＋cos α＝±1.
命题角度2.已知角α终边所在直线求三角函数值 例2.已知角α的终边在直线y ＝－3x 上，求10sin α＋3
cos α
的值. 解.由题意知，cos α≠0.
设角α的终边上任一点为P (k ，－3k )(k ≠0)，则
x ＝k ，y ＝－3k ，r ＝ k 2＋(－3k )2＝10|k |.
(1)当k >0时，r ＝10k ，α是第四象限角， sin α＝y r
＝
－3k
10k
＝－31010，1cos α＝r x ＝10k k ＝10，
∴10sin α＋3cos α＝10×⎝ ⎛⎭⎪⎫
－31010＋310
＝－310＋310＝0.
(2)当k <0时，r ＝－10k ，α是第二象限角，
sin α＝y r ＝－3k －10k ＝310
10
，
1cos α＝r x ＝－10k k
＝－10， ∴10sin α＋3cos α＝10×31010＋3×(－10)
＝310－310＝0.
综上所述，10sin α＋3
cos α
＝0.
反思与感悟.在解决有关角的终边在直线上的问题时，应注意到角的终边为射线，所以应分两种情况处理，取射线上异于原点的任意一点的坐标的(a ，b )，则对应角的三角函数值分别为sin α＝
b a 2＋b
2
，cos α＝a a 2＋b
2
，tan α＝b
a
. 跟踪训练2.已知角α的终边在直线y ＝3x 上，求sin α，cos α，tan α的值. 解.因为角α的终边在直线y ＝3x 上，
所以可设P (a ，3a )(a ≠0)为角α终边上任意一点， 则r ＝a 2
＋(3a )2
＝2|a |(a ≠0). 若a >0，则α为第一象限角，r ＝2a ， 所以sin α＝
3a 2a ＝32
， cos α＝a 2a ＝1
2
，
tan α＝
3a
a
＝ 3.
若a <0，则α为第三象限角，r ＝－2a ， 所以sin α＝3a －2a ＝－3
2
，
cos α＝－a 2a ＝－1
2
，
tan α＝
3a
a
＝ 3.
类型二.三角函数值符号的判断
例3.(1)若α是第二象限角，则点P (sin α，cos α)在(..) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
答案.D
解析.∵α为第二象限角，∴sin α＞0，cos α＜0， ∴点P 在第四象限，故选D. (2)确定下列各三角函数值的符号. ①sin 182°；②cos(－43°)；③tan 7π
4.
解.①∵182°是第三象限角， ∴sin 182°是负的，符号是“－”. ②∵－43°是第四象限角，
∴cos(－43°)是正的，符号是“＋”. ③∵7π
4是第四象限角，
∴tan 7π
4
是负的，符号是“－”.
反思与感悟.角的三角函数值的符号由角的终边所在位置确定，解题的关键是准确确定角的终边所在的象限，同时牢记各三角函数值在各象限的符号，记忆口诀：一全正，二正弦，三
正切，四余弦.
跟踪训练3.(1)已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则α是第 象限角. 答案.二
解析.由题意知tan α<0，cos α<0， ∴α是第二象限角. (2)判断下列各式的符号.
①sin 145°cos(－210°)；②sin 3·cos 4·tan 5. 解.①∵145°是第二象限角，∴sin 145°＞0.
∵－210°＝－360°＋150°，∴－210°是第二象限角， ∴cos (－210°)＜0，∴sin 145°cos(－210°)＜0. ②∵π2＜3＜π＜4＜3π
2＜5＜2π，
∴sin 3＞0，cos 4＜0，tan 5＜0， ∴sin 3·cos 4·tan 5＞0. 类型三.诱导公式一的应用 例4.求下列各式的值.
(1)sin(－1 395°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)sin 750°；
(2)sin ⎝
⎛⎭⎪⎫－11π6＋cos 12π5·tan 4π. 解.(1)原式＝sin(－4×360°＋45°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＝sin 45°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝22×32＋12×12＝6
4
＋14＝1＋64
. (2)原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π＋π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋2π5·tan(4π＋0)＝sin π6＋cos 2π5×0＝12.
反思与感悟.利用诱导公式一可把负角的三角函数化为0到2π间的三角函数，也可把大于2π的角的三角函数化为0到2π间的三角函数，即实现了“负化正，大化小”. 跟踪训练4.求下列各式的值. (1)cos 25π3＋tan ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－
15π4；
(2)sin 810°＋tan 765°－cos 360°. 解.(1)原式＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫8π＋π3＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π＋π4 ＝cos π3＋tan π4＝12＋1＝3
2
.
(2)原式＝sin(90°＋2×360°)＋tan(45°＋2×360°)－cos 360°＝sin 90°＋tan 45°－1＝1＋1－1＝1.
1.已知角α的终边经过点(－4，3)，则cos α等于(..) A.45 B.35 C.－35
D.－45
答案.D
解析.由题意可知x ＝－4，y ＝3，r ＝5，
所以cos α＝x r ＝－4
5
.故选D.
2.cos(－11π
6)等于(..)
A.12
B.－12
C.32
D.－
32
答案.C
解析.cos(－11π6)＝cos(－2π＋π6)＝cos π6＝3
2
.
3.若点P (3，y )是角α终边上的一点，且满足y <0，cos α＝3
5，则tan α等于(..)
A.－34
B.34
C.43
D.－43
答案.D 解析.∵cos α＝
3
32＋y 2
＝35
， ∴32
＋y 2
＝5，∴y 2
＝16， ∵y <0，∴y ＝－4，∴tan α＝－4
3
.
4.当α为第二象限角时，|sin α|sin α－cos α
|cos α|的值是(..)
A.1
B.0
C.2
D.－2
答案.C
解析.∵α为第二象限角，∴sin α>0，cos α<0. ∴
|sin α|sin α－cos α|cos α|＝sin αsin α－cos α
－cos α
＝2.
5.已知角α的终边上有一点P (24k ，7k )，k ≠0，求sin α，cos α，tan α的值. 解.当k >0时，令x ＝24k ，y ＝7k ， 则有r ＝(24k )2
＋(7k )2
＝25k ，
∴sin α＝y r ＝725，cos α＝x r ＝2425，tan α＝y x ＝724
.
当k <0时，令x ＝24k ，y ＝7k ，则有r ＝－25k ，
∴sin α＝y r ＝－725，cos α＝x r ＝－2425，tan α＝y x ＝7
24
.
1.正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或比值为函数值的函数.
2.角α的三角函数值的符号只与角α所在象限有关，角α所在象限确定，则三角函数值的符号一定确定，规律是“一全正，二正弦，三正切，四余弦”.
3.终边相同的三角函数值一定相等，但两个角的某一个函数值相等，不一定有角的终边相同，更不一定有两角相等.
课时作业
一、选择题
1.sin(－1 380°)的值为(..) A.－1
2
B.12
C.－
32
D.32
答案.D
解析.sin(－1 380°)＝sin(－360°×4＋60°) ＝sin 60°＝
32
. 2.已知α是第二象限角，P (x ，5)为其终边上一点，且cos α＝2
4
x ，则x 的值为(..) A. 3 B.± 3 C.－ 2
D.－ 3
答案.D
解析.∵cos α＝x r
＝
x x 2＋5＝2
4
x ， ∴x ＝0或2(x 2
＋5)＝16，∴x ＝0或x 2
＝3，
∴x ＝0(∵α是第二象限角，∴舍去)或x ＝3(舍去)或x ＝－ 3.故选D. 3.已知sin θ<0，且tan θ<0，则θ为(..) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角
答案.D
4.已知角α的终边上一点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3，cos 2π3，则角α的最小正值为(..) A.5π
6 B.2π3 C.4π3
D.11π
6
答案.D
解析.∵sin 2π3＝32，cos 2π3＝－1
2.
∴角α的终边在第四象限， 且tan α＝cos
2π3sin
2π3＝－3
3，
∴角α的最小正值为2π－
π6＝11π6
. 5.已知角α的终边经过点P (3，4t )，且sin(2k π＋α)＝－3
5(k ∈Z )，则t 等于(..)
A.－916
B.
916
C.34
D.－34
答案.A
解析.sin(2k π＋α)＝sin α＝－3
5＜0，则α的终边在第三或第四象限.又点P 的横坐标为
正数，所以α是第四象限角，所以t ＜0.又sin α＝4t
9＋16t
2
，则4t
9＋16t
2
＝－3
5，所以t ＝－916
.
6.某点从(1，0)出发，沿单位圆x 2＋y 2
＝1按逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐
标为(..) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1
2，32 B.⎝ ⎛
⎭⎪⎫－32，－12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1
2，－32
D.⎝
⎛⎭
⎪⎫－
32，12 答案.A
解析.由三角函数定义可得Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π
3，sin 2π3，
cos 2π3＝－12，sin 2π3＝3
2
.
7.如果点P (sin θ＋cos θ，sin θcos θ)位于第二象限，那么角θ的终边在(..) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
答案.C
解析.由题意知sin θ＋cos θ＜0，且sin θcos θ＞0，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
sin θ＜0，cos θ＜0，
∴θ为第三象限角.
8.若角α的终边在直线y ＝－2x 上，则sin α等于(..) A.±15
B.±
55
C.±255
D.±12
答案.C 二、填空题
9.tan 405°－sin 450°＋cos 750°＝ . 答案.
32
解析.tan 405°－sin 450°＋cos 750°＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋cos(720°＋30°)＝tan 45°－sin 90°＋cos 30°＝1－1＋
32＝32
. 10.使得lg(cos αtan α)有意义的角α是第 象限角. 答案.一或二
解析.要使原式有意义，需cos αtan α>0， 即需cos α，tan α同号，
所以α是第一或第二象限角.
11.若角α的终边与直线y ＝3x 重合且sin α<0，又P (m ，n )是α终边上一点，且|OP |＝10，则m －n ＝ .
答案.2
解析.∵y ＝3x 且sin α<0，
∴点P (m ，n )位于y ＝3x 在第三象限的图象上，
且m <0，n <0，n ＝3m .
∴|OP |＝m 2＋n 2＝10|m | ＝－10m ＝10，
∴m ＝－1，n ＝－3，
∴m －n ＝2.
12.函数y ＝|sin x |sin x ＋|cos x |cos x －2|sin x cos x |sin x cos x
的值域是 . 答案.{－4，0，2}
解析.由sin x ≠0，cos x ≠0知，x 的终边不能落在坐标轴上，
当x 为第一象限角时，sin x >0，cos x >0，
sin x cos x >0，y ＝0；
当x 为第二象限角时，sin x >0，cos x <0，
sin x cos x <0，y ＝2；
当x 为第三象限角时，sin x <0，cos x <0，
sin x cos x >0，y ＝－4；
当x 为第四象限角时，sin x <0，cos x >0，
sin x cos x <0，y ＝2.
故函数y ＝|sin x |sin x ＋|cos x |cos x －2|sin x cos x |sin x cos x
的值域为{－4，0，2}. 三、解答题
13.化简下列各式：
(1)sin 72π＋cos 52π＋cos(－5π)＋tan π4
； (2)a 2sin 810°－b 2cos 900°＋2ab tan 1 125°.
解.(1)原式＝sin 32π＋cos π2
＋cos π＋1 ＝－1＋0－1＋1＝－1.
(2)原式＝a 2sin 90°－b 2cos 180°＋2ab tan(3×360°＋45°)
＝a 2＋b 2＋2ab tan 45°＝a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2.
四、探究与拓展
14.已知角θ的终边上有一点P (x ，－1)(x ≠0)，且tan θ＝－x ，则sin θ＋cos θ＝ .
答案.0或－ 2
解析.∵θ的终边过点P (x ，－1)(x ≠0)，
∴tan θ＝－1x
. 又tan θ＝－x ，
∴x 2
＝1，即x ＝±1.
当x ＝1时，sin θ＝－22，cos θ＝22， 因此sin θ＋cos θ＝0；
当x ＝－1时，sin θ＝－22，cos θ＝－22
， 因此sin θ＋cos θ＝－ 2.
故sin θ＋cos θ的值为0或－ 2.
15.已知1|sin α|＝－1sin α
，且lg(cos α)有意义. (1)试判断角α所在的象限；
(2)若角α的终边与单位圆相交于点M ⎝ ⎛⎭
⎪⎫35，m ，求m 的值及sin α的值. 解.(1)∵1|sin α|＝－1sin α
， ∴sin α＜0.
①
∵lg(cos α)有意义，
∴cos α＞0.
② 由①②得角α在第四象限.
(2)∵点M (35
，m )在单位圆上， ∴(35)2＋m 2＝1，解得m ＝±45
. 又α是第四象限角，
∴m ＜0，∴m ＝－45
. 由三角函数定义知，sin α＝－45.。