【精品高二数学期末】2018-2019海淀区高二年级第一学期期末数学练习+答案(理)

海淀区高二年级第一学期期末练习
数 学 （理科） 2019.1
学校 班级 姓名 成绩
本试卷共100分.考试时间90分钟.
一. 选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 直线210x y +-=在y 轴上的截距为（ ）
A. 2-
B. 1-
C. 1
2
- D. 1
2. 在空间直角坐标系中，已知点(1,0,1)A ，(3,2,1)B ，则线段AB 的中点的坐标是（ ）
A. (1,1,1)
B. (2,1,1)
C. (1,1,2)
D. (1,2,3)
3. 已知圆22310x y x m +-++=经过原点，则实数m 等于（ ）
A. 32-
B. 1-
C. 1
D. 32
4. 鲁班锁是曾广泛流传于民间的智力玩具，它起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构, 不用钉子和绳子，完全靠自身结构的连接支撑. 它看似简单，却凝结着不平凡的智慧. 下图为鲁班锁的其中一个零件的三视图，则该零件的体积为（ ）
A. 32
B. 34
C. 36
D. 40
5. 已知平面,αβ, 直线,m n , 下列命题中假命题是（ ）
A. 若m α⊥, m β⊥, 则αβP
B. 若m n P , m α⊥, 则n α⊥
C. 若m α⊥, m β⊂, 则αβ⊥
D. 若m αP , αβP ，n β⊂, 则m P n
6. 椭圆22
:11612
x y C +=的焦点为1F ，2F ，若点M 在C 上且满足122MF MF -=，则12F MF ∆中最
1
24
4
俯视图
大角为（ ）
A. 90︒
B. 105︒
C. 120︒
D. 150︒ 7. “0m <”是“方程22x my m +=表示双曲线”的（ ）
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
8. 平面α ,β ,γ两两互相垂直, 在平面α内有一点A 到平面β , 平面γ的距离都等于1 . 则在平面α内与点A , 平面β, 平面γ距离都相等的点的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二. 填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.
9. 直线:10l x y +-=的倾斜角为____, 经过点(1,1)且与直线l 平行的直线方程为_______. 10.
10y +-=被圆221x y +=所截得的弦长为_______.
11. 请从正方体1111ABCD A B C D -的8个顶点中，找出4个点构成一个三棱锥，使得这个三棱锥的4个面都是直角三角形，则这4个点可以是_________. (只需写出一组)
12. 在空间直角坐标系中，已知点(1,2,0)A ，(,3,1)B x -，(4,,2)C y ，若,,A B C 三点共线， 则x y +=______.
13. 已知椭圆1C 和双曲线2C 的中心均为原点，且焦点均在x 轴上，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于右表中, 则双曲线的离心率为_______.
14. 曲线W 的方程为22322()8x y x y +=.
(i) 请写出曲线W 的两条对称轴方程______________； (ii) 请写出曲线W 上的两个点的坐标______________； (iii) 曲线W 上的点到原点的距离的取值范围是____________.
三. 解答题：本大题共4小题，共44分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分10分）
在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的半径为1，其圆心在射线(0)y x x ≥上，且OC （Ⅰ）求圆C 的方程；
（Ⅱ）若直线l 过点(1,0)P 且与圆C 相切，求直线l 的方程.
16. （本小题满分10分）
如图，在三棱锥P ABC -中，PB PC =，AB AC =，且 点D ，E 分别是BC ，PB 的中点． （Ⅰ）求证：DE P 平面PAC ；
（Ⅱ）求证：平面ABC ⊥平面PAD ．
E
D
C
B
A
P
17. （本小题满分12分）
如图，平面ABCF ⊥平面FCDE ，四边形ABCF 和FCDE 是 全等的等腰梯形，其中AB FC ED P P ，且1
22
AB BC FC ==
=，
点O 为FC 的中点，点G 是AB 的中点.
（Ⅰ）请在图中所给的点中找出两个点，使得这两点所在直线与平面EGO 垂直，并给出证明．．； （Ⅱ）求二面角O EG F --的余弦值；
（Ⅲ）在线段CD 上是否存在点H ，使得BH P 平面EGO ？如果存在，求出DH 的长度，如果不
存在，请说明理由.
C
18.（本小题满分12分）
已知抛物线2:4W y x =，直线4x =与抛物线W 交于,A B 两点. 点00(,)P x y 00(4,0)x y <≥为抛物线上一动点，直线,PA PB 分别与x 轴交于, M N . （Ⅰ）若PAB ∆的面积为4，求点P 的坐标； （Ⅱ）当直线PA PB ⊥时，求线段PA 的长；
（Ⅲ）若PMN ∆与PAB ∆面积相等，求PMN ∆的面积.
海淀区高二年级第一学期期末练习
数 学（理科）
参考答案及评分标准
2019.1
一. 选择题:本大题共8小题, 每小题4分,共32分.
二.填空题：本大题共6小题, 每小题4分, 共24分.
9.
3π
4
，20x y +-= 10. 11. 1,,,A A B C （此答案不唯一）
12. 1
2
- 13.
14. ① 0,0x y ==，,y x y x ==-中的任意两条都对
② (0,0),(1,1)此答案不唯一 ③ 说明：9题每空2分，14题中 ① ②空 各给1分，③给2分 三. 解答题:本大题共4小题,共44分. 15.（本小题满分10分）
解: （I ）设圆心(,)C a a ，则 OC = …………………1分
解得2a =，2a =-（舍掉） …………………2分 所以圆 22:(2)(2)1C x y -+-= …………………4分 （Ⅱ）
① 若直线l 的斜率不存在，直线l ：1x =，符合题意 …………………5分 ② 若直线l 的斜率存在，设直线l 为(1)y k x =-，
即 0kx y k --= …………………6分
由题意,圆心到直线的距离 1d =
= …………………8分
解得3
4
k =
…………………9分 所以直线l 的方程为3430x y --= ………………10分
综上所述，所求直线l 的方程为1x =或3430x y --=.
16．（本小题满分10分）
解: （Ⅰ）证明：在PBC ∆中，
因为D ，E 分别是BC ，PB 的中点 ,
所以 //DE PC …………………1分 因为 DE ⊄平面PAC ，PC ⊂平面PAC …………………3分
说明：上面两个必须有，少一个扣1分.
所以 //DE 平面PAC ． …………………4分 （Ⅱ）证明：因为 PB PC =，AB AC =，D 是BC 的中点,
所以 PD BC ⊥，AD BC ⊥ …………………6分 因为 PD AD D =I ，,PD AD ⊂平面PAD …………………8分 所以 BC ⊥平面PAD …………………9分 因为 BC ⊂平面ABC
所以 平面ABC ⊥平面PAD …………………10分
17.（本小题满分12分） 解：法一：向量法
（Ⅰ）,F D 点为所求的点.
证明如下：
因为四边形ABCF 是等腰梯形，点O 为FC 的中点，点G 是AB 的中点, 所以OG FC ⊥. 又平面ABCF ⊥平面FCDE ，平面ABCF I 平面FCDE FC =,
所以OG ⊥平面FCDE …………………1分 同理取DE 的中点H ，则OH ⊥平面ABCF .
分别以边,,OG OC OH 所在直线为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
由2AB =,
得G
，D
，(0,E -，(0,2,0)F -，
则FD =u u u r
，OG =u u u r
，(0,OE =-u u u r
.
所以0 , 0FD OG FD OE ⋅=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r
…………………3分
又EO OG O =I ，
所以FD ⊥平面EGO …………………4分
（II ）由（Ⅰ）知平面EGO
的一个法向量为FD =u u u r
. 设平面EFG 的法向量为(,,)m x y z =u r
，则
0,0,m FE m FG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r u u u r
u r u u u r
即0,20
y y ⎧+=⎪+= …………………5分
令y =1z =-，2x =-.
所以
(1)m =--u r
…………………6分
所以
cos ,FD m <>==u u u r u r …………………7分 由题知所求二面角为锐角
所以二面角O EG F --的余弦值为
…………………8分 （Ⅲ） 假设存在点H ，使得BH P 平面EOG .
设DH DC λ=u u u u r u u u r
…………………9分
所以BH BD DH BD DC λ=+=+u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r ，所以0FD BH ⋅=u u u r u u u r
…………………10分 而计算可得 3FD BH ⋅=u u u r u u u r
…………………11分
这与0FD BH ⋅=u u u r u u u r
矛盾
所以在线段CD 上不存在点H ，使得BH P 平面EOG …………………12分
法二：（Ⅰ） 证明如下：
因为四边形ABCF 是等腰梯形，点O 为FC 的中点，点G 是AB 的中点, 所以OG FC ⊥ …………………1分 又平面ABCF ⊥平面FCDE ，平面ABCF I 平面FCDE FC =,
所以OG ⊥平面FCDE …………………2分 因为FD ⊂平面FCDE ,所以OG ⊥FD . 又ED FO P ，且EF ED =，
所以EFOD 为菱形，所以FD EO ⊥ …………………3分 因为EO OG O =I ，
所以FD ⊥平面EGO . …………………4分 （Ⅲ）假设存在点H ，使得BH P 平面EOG …………………9分 由ED OC P ，所以EOCD 为平行四边形，
所以EO DC P …………………10分 因为EO ⊂平面EOG
所以 DC P 平面EOG …………………11分 又BH DC H =I ，所以平面EOG P 平面BCD , 所以BC P 平面EOG ，所以BC P OG ，
所以GBCO 为平行四边形，所以 GB CO = ，矛盾
所以不存在点H ，使得BH P 平面EOG …………………12分
18．（本小题满分12分）
解: （I ）把4x =代入抛物线方程，得到4y =± …………………1分
所以不妨设(4,4),(4,4)A B -,
所以||8AB =. 因为11
||8422
PAB S AB d d ∆=
⋅=⋅⋅=, 所以点P 到直线 AB 的距离1d = …………………2分
所以点P 的横坐标03x = …………………3分 代入抛物线方程得
P …………………4分 （II ）因为PA PB ⊥ ，
所以
0AP BP ⋅=u u u r u u u r
…………………5分 所以0000(4)(4)(4)(4)0x x y y --+-+=, 所以22000816160x x y -++-=,
把2004y x =代入得到20040x x -= …………………6分
所以00x =，04x =（舍） …………………7分 所以00y =
，||PA =…………………8分 （Ⅲ）直线PA 的方程为00044
4(4)(4)44
y y x x x y --=
-=--+, 点M 横坐标0004(4)
44
M x x y y --=
+=-- …………………9分
同理PB 的方程为 00044
4(4)(4)44
y y x x x y ++=
-=---， 点N 横坐标0004(4)
44
N x x y y -=
+=+ …………………10分 因为 PMN PAB S S ∆∆=，所以0011|||||||4|22
MN y AB x ⋅=⋅-
所以200=4(4)y x -，解得02x = …………………11分 所以 8PMN PAB S S ∆∆== …………………12分
说明：解答题有其它正确解法的请酌情给分.
11/ 11。