新课程2021高考数学一轮复习第二章第1讲函数及其表示课件

(2)分段函数的相关结论
①分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．
②分段函数的定义域等于各段函数的定义域的 □02 并集 各段函数的值域的 □03 并集 .
，值域等于
1．概念辨析 (1)对于函数 f：A→B，其值域就是集合 B.( × ) (2)分段函数是由两个或几个函数组成的．( × ) (3)与 x 轴垂直的直线和一个函数的图象至多有一个交点．( √ ) (4)函数 y＝1 与 y＝x0 是同一个函数．( × )
3.已知 f(x)是二次函数且 f(0)＝5，f(x＋1)－f(x)＝x－1， 则 f(x)＝___12_x_2－__32_x_＋__5_____.
解析 因为 f(x)是二次函数且 f(0)＝5， 所以设 f(x)＝ax2＋bx＋5(a≠0). 又因为 f(x＋1)－f(x)＝x－1， 所以 a(x＋1)2＋b(x＋1)＋5－(ax2＋bx＋5)＝x－1，
记作 □04 y＝f(x) ，x∈A.
(2)函数的定义域、值域
在函数 y＝f(x)，x∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数
的 □05 定义域 ；与 x 的值相对应的 y 值叫做 □06 函数值 ，函数值的集合
{f(x)|x∈A}叫做函数的 □07 值域 .
(3)函数的三要素： □08 定义域 、□09 对应关系 和 □10 值域
2．小题热身
(1)函数 y＝ 2x－3＋x－1 3的定义域为(
)
A.32，＋∞
B．(－∞，3)∪(3，＋∞)
C.32，3∪(3，＋∞) D．(3，＋∞)
答案 C 解析 由x2－x－3≠3≥00，， 解得 x≥32且 x≠3，所以已知函数的定义域为
32，3∪(3，＋∞)．
(2)下列函数中，与函数 y＝x＋1 是相等函数的是( )
C.(1,10]
D．(1,2)∪(2,10]
答案 D
解析
－x2＋9x＋10≥0， 要使原函数有意义，则x－1＞0，
x－1≠1，
解得 1＜x≤10 且
x≠2，所以函数 f(x)＝ －x2＋9x＋10－ln x2－1的定义域为(1,2)∪(2,10]，故
选 D.
2.(2020·东北师大附中摸底)已知函数 f(x)的定义域是[0,2]，则函数 g(x)
第二章 函数、导数及其应用
第1讲 函数及其表示
[考纲解读] 1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值 域．(重点)
2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表 法、解析法)表示函数．(重点)
3.了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段)．(难点)
[考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个热点．预测 2021 年会考查函数的解析式与分段函数的应用，可能涉及函数的求值、函 数图象的判断及最值的求解.
2.已知 f( x＋1)＝x＋2 x，则函数 f(x)的解析式为__f(_x_)_＝__x2_－__1_(_x≥__1_)_.
解析 解法一：∵f( x＋1)＝x＋2 x＝( x)2＋2 x＋1－1＝( x＋1)2－ 1，且 x＋1≥1.∴f(x)＝x2－1(x≥1).
解法二：设 t＝ x＋1，则 x＝(t－1)2(t≥1)．代入原式有 f(t)＝(t－1)2＋ 2(t－1)＝t2－2t＋1＋2t－2＝t2－1.
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PART ONE
基础知识过关
1．函数及有关概念
(1)函数的概念
设 A，B 是 □01 非空的数集 ，如果按照某种确定的对应关系 f，使对 于集合 A 中的 □02 任意 一个数 x，在集合 B 中都有□03 唯一确定 的数 f(x)
和它对应，那么就称 f：A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数(function)，
3.(2018·全国卷Ⅰ)设函数 f(x)＝21－ ，x，x>x0≤，0， 则满足 f(x＋1)<f(2x)的 x
的取值范围是( )
A.(－∞，－1]
B．(0，＋∞)
C.(－1,0)
D．(－∞，0)
答案 D
解析 将函数 f(x)的图象画出来，观察图象可知22xx<<0x＋，1， 解得 x<0， 所以满足 f(x＋1)<f(2x)的 x 的取值范围是(－∞，0)．故选 D.
整理得(2a－1)x＋a＋b＋1＝0，所以a2＋a－b＋1＝1＝0，0， 解得 a＝12，b＝－32，所以 f(x)＝12x2－32x＋5.
4.已知 f(x)满足 2f(x)＋f1x＝3x，则 f(x)＝_2_x_－__1x_(x_≠__0_)__.
解析 因为 2f(x)＋f1x＝3x，① 所以将 x 用1x替换，得 2f1x＋f(x)＝3x，② 由①②解得 f(x)＝2x－1x(x≠0)， 即 f(x)的解析式是 f(x)＝2x－1x(x≠0).
3.已知函数的定义域求参数问题的解题步骤 (1)调整思维方向，根据已知函数，将给出的定义域问题转化为方程或 不等式的解集问题．如举例说明 3. (2)根据方程或不等式的解集情况确定参数的取值或范围.
1.函数 f(x)＝ －x2＋9x＋10－ln x2－1的定义域为(
)
A.[1,10]
B．[1,2)∪(2,10]
x，得 f(t)＝lg t＋2 1(t>－1)，所以 f(x)＝lg x＋2 1(x>－1).
2.已知 fx＋1x＝x2＋x－2，则 f(x)＝x_2_－__2_(x_≥__2__或__x_≤__－__2_).
解析 因为 fx＋1x＝x2＋x－2＝x＋1x2－2， 且当 x>0 时，x＋1x≥2；当 x<0 时，x＋1x≤－2， 所以 f(x)＝x2－2(x≥2 或 x≤－2).
求函数解析式的四种方法
1.若函数 f(x)是一次函数，且 f[f(x)]＝4x＋3，则函数 f(x)的解析式为 __f(_x_)＝__2_x_＋__1__或__f_(x_)_＝__－__2_x_－__3_.
解析 设 f(x)＝ax＋b(a≠0)，则 f[f(x)]＝af(x)＋b＝a2x＋ab＋b＝4x＋3， ∴aa2b＝＋4b，＝3， 解得ab＝ ＝21， 或ba＝＝－－32，， ∴f(x)＝2x＋1 或 f(x)＝－2x－ 3.
5x＋1 f(x)＝ x2
(x≠0)．
2
PART TWO
经典题型冲关
题型一 函数的定义域
1．函数 y＝ l1g2＋2－x－xx2＋(x－1)0 的定义域是(
)
A．{x|－3＜x＜1} B．{x|－3＜x＜2 且 x≠1}
C．{x|0＜x＜2} D．{x|1＜x＜2}
答案 B
解析
2－x＞0， 要使函数解析式有意义，须有12＋x－x2＞0，
2.设函数 f(x)＝24xx，＋xa≥，1x，<1， 若 ff23＝4，则实数 a＝(
)
A.－23
B．－43
C.－43或－23 D．－2 或－23
答案 A
解析 因为23<1，所以 f23＝4×32＋a＝a＋38. 若 a＋38≥1，即 a≥－53时，2a＋83 ＝4， 即 a＋38＝2⇒ a＝－23>－53(成立)； 若 a＋38<1，即 a<－53时，则 4a＋332＋a＝4， 即 a＝－43>－53(舍去)，综上 a＝－23.
解析 依题意得x2－x≥2≠ 2，0， 解得 x≥1 且 x≠2，所以函数 y＝xf－2x2的定
义域是[1,2)∪(2，＋∞)．
3．(2020·安阳三校联考)若函数 f(x)＝ mx2＋mx＋1的定义域为一切实
数，则实数 m 的取值范围是( )
A．[0,4)
B．(0,4)
C．[4，＋∞) D．[0,4]
故 f(x)＝x2－1(x≥1).
题型三 分段函数
角度 1 求分段函数的函数值
1.已知函数 f(x)＝l2oxg，5xx，≤x0＞，0， 则 ff215等于(
)
A.4 B.14 C．－4 D．－14 答案 B 解析 f215＝log5215＝－2，ff215＝f(－2)＝14.
角度 2 分段函数与方程、不等式的综合问题
＝fx＋12＋fx－12的定义域是(
)
A.12，1
B.12，2
C.12，32
D.1，32
答案 C
解析
0≤x＋12≤2， 由题意得0≤x－21≤2，
解得12≤x≤32，所以函数 g(x)的定义域
是12，23.
3.已知函数 y＝kx2＋21kx＋3的定义域为 R，则实数 k 的取值范围是 ___[0_,_3_) __.
解析 观察函数 y＝f(x)的图象可知，f(x)的定义域为[－3,0]∪[1,4)，值 域是[1，＋∞)，当 y∈[1,2)∪(5，＋∞)时，只有唯一的 x 值与之对应．
(5)已知 f1x＝x2＋5x，则 f(x)＝_5_xx_＋2_1_(_x_≠__0_)_.
解析
令
t＝1x，则
t≠0，x＝1t ，f(t)＝1t 2＋5·1t ＝5t＋t2 1.所以
解析 当 k＝0 时，y＝13，满足条件；当 k≠0 时， 由k4＞k2－0，12k＜0， 得 0＜k＜3.k4<k20－，12k<0， 无解. 综上，0≤k＜3.
题型二 求函数的解析式
1.已知 f2x－1＝lg x，则 f(x)＝_lg__x_＋2__1_(x_>_－__1_)__. 解析 令 t＝2x－1，则由 x>0 知2x－1>－1，x＝t＋2 1，所以由 f2x－1＝lg
A．y＝( x＋1)2 C．y＝xx2＋1
B．y＝3 x3＋1 D．y＝ x2＋1
答案 B
解析 对于 A，函数 y＝( x＋1)2 的定义域为{x|x≥－1}，与函数 y＝x ＋1 的定义域不同，不是相等函数；对于 B，定义域和对应关系都相同，是 相等函数；对于 C，函数 y＝xx2＋1 的定义域为{x|x≠0}，与函数 y＝x＋1 的 定义域不同，不是相等函数；对于 D，定义域相同，但对应关系不同，不是 相等函数．
x－1≠0，
x＜2， 解得－3＜x＜4，
x≠1，
所以－3＜x＜2 且 x≠1.故已知函数的定义域为{x|
－3＜x＜2 且 x≠1}．
2．函数 f(x)的定义域是[2，＋∞)，则函数 y＝xf－2x2的定义域是(
)
A．[1，＋∞)
B．(－∞，1]
C．[1,2)∪(2，＋∞) D．[2，＋∞)
答案 C
答案 D 解析 由题意可得 mx2＋mx＋1≥0 恒成立．当 m＝0 时，1≥0 恒成立；
当 m≠0 时，则mm＞ 2－04，m≤0， 解得 0<m≤4.综上可得，0≤m≤4.
1.函数 y＝f(x)的定义域
2.抽象函数的定义域的求法 (1)若已知函数 f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数 f[g(x)]的定义域由 a≤g(x)≤b 求出．如举例说明 2 中 f(x)的定义域是[2，＋∞)，f(2x)中 x 应满 足 2x≥2. (2)若已知函数 f[g(x)]的定义域为[a，b]，则 f(x)的定义域为 g(x)在 x∈ [a，b]时的值域.
.
(4)相等函数：如果两个函数的 □11 定义域 和□12 对应关系 完全一致，
则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．
2．函数的表示法
表示函数的常用方法有 □01 解析法 、 □02 图象法 和 □03 列表法．
3．分段函数
(1)定义：若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着
不同的 □01 对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．
1.求分段函数的函数值 (1)基本步骤 ①确定要求值的自变量属于哪一区间. ②代入该区间对应的解析式求值.
(2)两种特殊情况 ①当出现 f[f(a)]的形式时，应从内到外依次求值．如举例说明 1. ②当自变量的值所在区间不确定时，要分类讨论，分类标准应参照分 段函数不同ff23要分类讨论.
(3)若函数 f(x)＝22xx－＋42，，xx>≤0，0， 则 f[f(1)]的值为(
)
A．－10 B．10 C．－2 D．2
答案 C 解析 f(1)＝21－4＝－2，f[f(1)]＝f(－2)＝2×(－2)＋2＝－2.
(4)函数 y＝f(x)的图象如图所示，那么，f(x)的定义域是[_－__3_,0_]_∪__[1_,_4_)， 值 域 是[_1_，__＋__∞__) ， 其 中 只 有 唯 一 的 x 值 与 之 对 应 的 y 值 的 范 围 是 __[1_,_2_)∪__(_5_，__＋__∞__)_．(图中，曲线 l 与直线 m 无限接近，但永不相交)