高中数学必修1全册知识点(K12教育文档)

高中数学必修1全册知识点(word版可编辑修改)
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第1讲集合
一、集合的相关概念
1、集合（朴素集合论中的定义）：集合就是“一堆东西”，记为A、B、C……
集合里的“东西",叫作元素,记为a、b、c……
2、元素的3个特性：
(1）确定性：对于任意一个元素，要么它属于某个指定集合,要么它不属于该集合，二者必居其一；
（2) 互异性：同一个集合中的元素是互不相同的；
(3) 无序性：任意改变集合中元素的排列次序，它们仍然表示同一个集合。

3、集合与元素的关系（属于，不属于）符号：a∈A, a ∉A二者必居其一
4、集合的分类:
⑴有限集：含有有限个元素的集合．
⑵无限集：含有无限个元素的集合．
⑶空集：不含任何元素的集合。

记作φ
注意：（1)｛a}与{（a,b)}都是单元素集
（2){0}，｛｝，｛φ}之区别
(3)“｛ }”符号具有全体之意
（4）常用集合的专用字母：
R：实数集
Q：有理数集
Z：整数集
N：自然数集
N*或N+:正整数集
二、集合的表示方法
1、列举法
{}
,,,.
a b c d
形如
2、描述法
()
{}()
,
x p x p x
形如其中是代表元素，是属性.
3、Venn（文氏图）:用一条封闭曲线围成的图形表示集合的方法。

三、集合间的基本关系
1、子集定义: A ⊆ B ⇔∀x∈A有x∈B
注意：A ⊄B⇔∃x∈A但x ∉
B
显然：（1) A ⊆A
（2）Φ⊆A
（3）若A ⊆B，B ⊆ C 则A ⊆C
2、集相等: A=B ⇔A⊆B且B⊆A
或
3、真子集：
()()()456A A A A A B C A C ≠≠≠≠
Φ⊂⊂⊂⇒⊂显然：若非空，则的子集中除外，都是的真子集
22122n n n n --结论：一个集合有个元素，则它有个子集，有个真子集，个非空真子集。

第2讲 集合的运算
一、交集：
{}
1A B x x A x B =∈∈、定义：且
()()()123x A B x A x B x A B x A x B
A B A B ∈⇔∈∈∉⇔∉∉说明：且或实质上是、的公共部分
图示：
2、性质
====A A A A B A A A U A
A B A A B
φφ⊆⇒⊆，，，
二、并集:
{}
1A B x x A x B =∈∈、定义：或
()()()123x A B x A x B x A B x A x B
A B A B ∈⇔∈∈∉⇔∉∉说明：或且实质上是、凑在一起
图示:
2、性质
====A A A A B A A A A U U
A B B A B
φ⊇⇒⊆，，，
三、补集：
全集:由(所考虑的）所有元素构成的集合。

通常用U 表示.
{},U A x x U x A =∈∉补集：C 且
();,,U U U U U U x A x A x A x A
A A U U ∈⇔∉∉⇔∈=Φ==Φ显然：C C C C C C
当心：考虑补集时，一定要注意全集；但全集因题而异。

图示：
(),,,U U U U U U A A U U A A U A A φφ
φ=====性质：
C C C C C C
第3讲映射与函数概念
一、映射
f
设有两个集合、，通过在中都有唯一确定的元素与之对应,称映射.
∀∈−−→
A B x A f B y A B
说明：映射是一种对应关系，对应关系一般有一下4种类型，但只有“一对一"、“一对多”才构成映射关系.
一对一多对一一对多多对多
二、函数
1、定义:非空数集A到非空数集B的映射，叫函数.
()31
例：
y f x x
==+
：叫自变量，的范围叫定义域，这里定义域为
x x R
;
是的函数，的范围叫值域，这里值域为；
:y y x y R
f：对应法则，这里是先自身3倍与1之和.
():31
将倍与之和.
f x x
()()-1:-131f x x 将倍与之和.
2、函数3个要素：
()()().
x f y ①定义域的取值范围；
②对应关系；
③值域的取值范围
3、如何判断两个函数是否为同一函数？要满足以下2个条件：
①定义域相同,
②对应法则相同，即经化简两函数为同一形式（即式子或数相同)
简便算法:任取一个数x
将x 分别带入两式子中看两式是否同时得一个数,得一个数：同一函数，否,则不为同一函数
三、复合函数
()()()(),,y f u u g x y f g x ===1、定义：叫复合函数.
551+1y y u x x u =
==+例：可看成与复合而成.
四、求复合函数的定义域
()()()1f x f g x 、已知的定义域，求的定义域.
()()()2f g x f x 、已知的定义域，求的定义域.
()()()()3f g x f h x 、已知函数的定义域，求的定义域。

()()()()f x f x g x f g x ⎫⎪⎬⎪⎭同一个里面的东西范围一致，也就是这里与范围相同.
(){}()01f x x x f x ≠+例1、已知的定义域为，求的定义域.
(){}101
11x x f x x x +≠≠-∴+≠-解：令，得的定义域为
()[]()2312,4f x f x --例、已知的定义域为，求的定义域.
()[]24,83210.
8,10x x f x -≤≤-≤-≤∴-解：由的定义域为
抓住两点：（1）同一个f 里的东西范围相同;
（2）定义域指的是x 的范围。

第4讲 函数的表示法
一、函数的表示方法
1、解析法
2、列表法
3、图像法
二、分段函数
()2,01,0x x f x x ≥⎧=⎨<⎩例如：
三、求函数解析式的3种题型
1、知函数型——用待定系数法
()()()2f x f g x 、知解析式，求得解析式
3(())()f g x f x --、知解析式，求的解析式用换元法或配方法
1例、如下图，函数图像是由两条射线及抛物线的一部分组成，求解析式.
()()()()()()2
22111,22
21,
3,23.
2213,0.
21, 1.
4213.
2,142,13
2,3k b k y kx b x b b y x x x y x x y a x x a a a y x x x x x y x x x x x +==-⎧⎧=+<∴⎨⎨==⎩⎩∴=-+≤≥=-≥=-+≤≤<+==-∴=-+-≤≤-+≤⎧⎪=-+-<<⎨⎪-≥⎩
解：设左侧射线为，则同理时设抛物线为 则
(21)54,()f x x f x -=+例2、已知求的解析式 121(),21513
()
54222
513()22t x t t R x t f t t f x x +-=∈=+=⋅+=+=+解：则 则 ①换元法
令所以 。

513(21)542122
513()22f x x x f x x -=+=-∴=+（）+②，配方法。

第5讲 函数的基本性质
一、函数的单调性
()()()()()(
)()()()()121212121,,,,.,.y f x x A x x D A x x f x f x f x D f x f x f x D =∈∀∈⊆<<>、定义：设对于且时，
如果那么在上增函数如果那么在上减函数
()()()123说明：函数单调性，特指某区间.
初等函数均分段单调.
单独点没有增减性变化，所以考虑区间的单调性时，可以不包括端点.
2、函数单调性的判定方法
①直接法：如一次函数、二次函数、反比例函数.
②图像法：
)()()()()
)()()()())()()()()1
123+f x f x f x f x g x f x g x f x f x f x f x a +-③性质法：当恒正或恒负时，与
单调性相反.若、单调性相同，则单调性与它们相同.与单调性相反，与单调性相同.
④定义法：
步骤：取值——作差变形——定号——判断
// ( 0)0.
)(f x f x ><⑤导数法
如果，那么函数在这个区间单调递增； 如果，那么函数在这个区间单调递减 ()()1
0,f x x x =++∞例：判断在上的单调性，并加以证明.
(定义法）
()12120,,
x x x x ∈+∞<证：任意,且
()()()()()1211221212211212
111111f x f x x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫
-=+-+ ⎪ ⎪
⎝
⎭⎝⎭⎛⎫
=-+- ⎪
⎝⎭
--=
()12120,,
x x x x ∈+∞<且
12210,0,
x x x x ∴>->
()121212,0,1,1,10,
x x x x x x ∈<->当时 ()()()()12120,,f x f x f x f x ∴->>即
()()0,1f x ∴在上是减函数；
[),1,,1,10x x xx xx ∈+∞>-<当时，
()()()()12120,f x f x f x f x ∴-<<，即
()[)1,f x ∴+∞在上是增函数.
第6讲 函数的最值
一、最值的定义：
()(),.
y f x x I =∈设
()()()()()001,;2,.
x I f x M x I f x M M f x ∀∈≤∃∈=最大值：都有使则称是的最大值.
()()()()()001,;
2,.x I f x M x I f x M M f x ∀∈≥∃∈=最小值：都有使则称是的最小值.
二、求函数最值得方法
1、已知函数图像，则根据图像求函数的最值。

2、函数为所学过的函数（一次函数，反比例函数，二次函数，指数函数，对数函数，幂函数，
三角函数)，则利用函数单调性、图像求函数的最值。

3、初等函数，则利用导函数求最值.
第7讲 函数值域的求法
一、常用方法
()
()()
(
)
2
21234425y x x
y x y x x
ax b y cx d =-+=-=-++⎛
⎫= ⎪
+⎝⎭1、单调性法比如、图像法已知图像、直接法比如、换元法比如、分离常数法形如 二、举例
1、单调性法：
()()()min 211+2121+211,221,.2y x x
y x y x f x f x f f x =-+⎡⎫
∞⎪⎢⎣⎭
⎡⎫=-=∞⎪⎢⎣⎭⎛⎫∴≥== ⎪⎝⎭⎡⎫∴+∞⎪⎢⎣⎭①解：定义域，，和在，上单调递增,值域为 [][][]()()()()min max 1
2,61
2,612,6335,6,26335,.
26y x x x
y x y x
y x x
f x f x f f x =-∈==-∴=-∴===⎡⎤
∴⎢⎥⎣⎦②求,的值域.
解：和在上单调递增,在单调递增,值域为 2、图像法：
()[]220,3.
f x x x -①求=在上的值域
()f x ②的图像如图所示，求值域.
()f x 解：画图像：
()()()()()[][]min max 33,1 1.0,33,1.
f x f f x f f x ==-==∴-由图可知在上的值域为
3、直接法：
[][]2220404,0,2.0,2.
x x x ≥-≥-∴解：由及，可知函数值域为
4、换元法：
2y x x =-求的值域.
()22,0,2,0.
x t t y t t t -=≥=++≥解：令
5、分离常数法：
32
3x y x +=
-求的值域.
()33113211
3333x x y x x x -++=
==+---解：
()()
(),33,.f x -∞+∞由反比例函数的性质可知：的值域为
()[]4,3.
f x -解：由上图可知值域为
第8讲 函数的奇偶性
一、奇偶性的定义
()()()()()()()(),,y f x x A x A x A f x f x f x f x f x f x =∈∀∈∈-=-=-设,如果都有-使得,那么叫偶函数.
使得,那么叫奇函数.
()()()()()()3,
=3=y f x x f x R f x x f x f x ==-⋅--∴例如：①解：的定义域为且，为奇函数.
()()()()()()2
2
.,f x x f x R f x x f x f x =-=-=∴②解：的定义域为且为奇函数.
()()()()()()
()().
=00=0.22
=+0==0x f y f x f x f x f x f x C f x C C +---=+
≠⎧⎨
⎩说明：①整体性质，定义域必须关于原点对称②奇函数图像关于原点对称，若在处有定义，则；偶函数图像关于轴对称③函数未定有奇偶性，但如果定义域关于原点对称，那么任意定义域关于原点对称的函数偶函数奇函数偶函数
④特别地，奇函数且偶函数
拓展:
1+=+===⨯⨯、奇奇奇，偶偶偶奇奇偶，偶偶偶
2、偶函数在关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性.奇函数在关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性.
第9讲指数函数一、关于根式
(
)
,
1
,
n
n
n
n x a
x a x a n
n x a
⎧=
⎪
=⎨
=±
⎪⎩
为奇数
、叫做的次方根
为偶数
2、名称：
3
,
,
n
n
n n
a a
a n
a
a n
=
⎧⎪
=⎨
⎪⎩
、性质：①
为奇数
为偶数
二、指数与指数函数的运算
指数：
()
*,
n
n N a a a a a a R
∈=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅∈
个
()
0,10
n a a
==≠
()
*
1
,0
n
n
n N a a
a
-
∈=≠
) *
,,0,,
m
n m
n
m n N a a a n m
∈=≥为根指数为幂指数
)
*
,,0
m
n
n m
m n N a a
a
-
∈=>
()()
m n m n
n
m m n
n
n n
a a a a a a
b a b +⋅⋅===运算性质：
三、指数函数
()101x y a a a =>≠、定义：形如且,叫指数函数.
2、图像：
3、总结：
()()
()()()()()()1,0,2.
30,1.40,,1,0,01
x R y R x y x y ∈∈+∞∈+∞>∈-∞<<性质：两域：单调性：在上过定点
()()
()()()()()()1,0,2.30,1.
40,,01,0,1
x R y R x y x y ∈∈+∞∈+∞<<∈-∞>性质：两域：单调性：在上过定点
()0+113223x
x
x x ∞⎛⎫⎛⎫
⋅⋅⋅>>>⋅⋅⋅
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
图像分布：在，底大幂大注意“加塞儿”
拓展：
11
1=2=323x
x
x x y y y y y ⎛⎫⎛⎫
== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭、对称关系：例如与,与关于轴对称.
()()
()()()()0,112f x f x y a a a f x a >≠2、函数=定义域是的定义域；
先求值域再求值域.
()2
1x f x -+例：求=3的值域.
(](]()(]221
1,1,30,3,
0,3.
x
x R
x y f x -+-+∈-∞=∈∴解：定义域为由二次函数性质,可知再由图像可知3值域为
3、比较幂的大小的方法
（1）底数不同，指数相同时，利用图像比较大小;
()2⎧⎫
⎨
⎬⎭
⎩或者转化为同底底数不同且指数不同再利用图像
或者借助中间量
4、指数方程与指数不等式
方法：“转化为同底的幂”
0.70.90.80.8,0.8, 1.2a b c ===例1、比较
c a b >>由图可知
31
1224x
x +⎛⎫
≤ ⎪⎝⎭例、解不等式
()2214224x
x x x ---⎛⎫=== ⎪⎝⎭解：
23122,
22311
,
5
1,.5x x x y R x x x -+∴≤=∴-≤+∴≥-⎡⎫∴-+∞⎪⎢⎣⎭是上的增函数，，原不等式的解集为 382160.x x -⨯+=例、解方程4
()2282160
2,0,8160,4,24,
2.
x x x x t t t t t x -⨯+==>-+==∴=∴=解：令得解得
第10讲 对数函数
2+3=553=2
236623⇔-⨯=⇔÷=引言：
.b a N b a N 一、对数：若=，则叫以为底的对数
()
log 01,0a b N a a N =>≠>记为：且
二、常见对数
()()()()101log lg 2log ln e x x x x ==常用对数自然对数
三、常用公式
()log 1a
N
a N
=对数恒等式
()2log log n
m a a
m
b b n =
()log 3log =
log c a c b
b a 换底公式
四、法则
(
)()1log log log a a MN M N
=+
()2log
log log a a M
M N N =-
()()log ,log ,
,=log log log log log log log a a x y x y
x y a a a a a a M x N y M a N a M N a MN a x y M N MN M N
++====∴⋅=∴==+=+=∴=+证明：右边左边
五、对数函数
()1log 01.
a y x a a =>≠、定义：形如且的函数叫对数函数
2、图像：
()()()()()()()310,,.
20+.
31,0.41,001,0.
x y R x y x y ∈+∞∈∞>><<<、性质两域单调性：在，
过定点
()()()()()()()10,,.
20+.
31,0.41,0
01,0.
x y R x y x y ∈+∞∈∞><<<>性质两域单调性：在，
过定点
4、图像分布：
()1+∞规律：在，上，底大对数小.
()()11+011+a a >∞<<∞时，底数越大，图像在，上越低；时，底数越大，图像在，上越低.
拓展：
log x a y a y x y x ===1、指数函数与对数函数互为反函数,它们的图像关于直线对称.
第11讲 幂函数
().
y x αα=一、定义：形如为常数的函数叫幂函数
二、图像
α
0α< 0α= 01α<< 1α= 1α>
I 象限
其他象限图像由定义域及对称性（奇偶性)补齐.
三、性质
()11,1、过定点；
()()()()200,00,f x f x αα>+∞<+∞、当时,在上
当时,在上
()13
1
11
1
239
32
31+.x
x x x x x x --∞⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅、在，上，指数大幂大<<<<<<<<
注意：“加塞儿"
第12讲 函数与方程
一、连续函数
连续函数： 非连续函数：
二、方程的根与函数的零点
()()()0001f x x f x x f x ∃、零点：对于函数，若使=0，则称为函数的零点.
()()()=0y f x f x y f x x ⇔⇔2、函数=的零点方程的实根函数=图像与交点的横坐标.
3、零点存在性定理：
()[]()()()(),::,.
0.y f x a b p q y f x a b f a f b ⎧⎪⇒⎨⋅<⎪⎩①=在上连续不断；
函数=在内有零点②
p q 说明：是充分不必要条件.
()()4,y f x a b 、如何证明函数=在区间内存在唯一一个零点？
()()()[]()()()(),:,:,.0.
y f x a b p y f x a b q y f x a b f a f b ⎧⎪
⇒⎨⎪
⋅<⎩①=在区间内单调；②=在上连续不断；函数=在内有唯一一个零点③
()f x 三、用二分法求=0的近似解
步骤：
()()()()()()()121212
33131323231,,0;2,;2
30,20,2.
i i x x f x f x x x x f x f x f x x x f x f x x x x x d +⋅<+=
⋅<⋅<-<1、寻找使、令求、，用重复，，用重复；4、直到
()()()()()()()()1122334455665600103,3,0.5
=3,2;3,4;0,1;1.5,0.5;0.75,0.25;1.125,0.125;0.3250.5,
1.125,0.75,= 1.125
x x f x x f x x f x x f x x f x x f x x x x x +=--=-=====-=-=-==-=--=<∈--∴-例：用二分法求方程在区间上的实根精确到则方程的根取
()()0f x g x x 四、方程=的跟
五、含参的二次方程
方法：主要使用图像法,决不能用韦达定理。

()()21100,11,2x ax a ++=例、已知方程2的两实根分别在区间，上，求的取值范围.
()()
()
121,326,2.a
x x a a +=-∈∴∈--错误解：由韦达定理说明：此法会把的范围扩大
()正确解：由函数图像：
()()()0010103092020f f a a f >⎧>⎧⎪⎪
<+<⎨⎨⎪⎪+>>⎩⎩即
9
3.
2a ∴-<<-
解题方法:
(1) 画图像；(2)判断端点，根的判别式,对称轴等;(3)解不等式.
第13讲 函数模型及其应用
一、3类函数的增长差异
2212log .
x y y x y x ===、在同一直角坐标系中，画出函数①;②;③的图像
log ,
x n a x y a y x y x =>=>=随着的增大，增长速度
00log .x n
a x x x a x x >>>因此，总会存在一个，当时，就有
二、常见的5种函数模型
()()()()()21;
23;4log ;5.nx a a y ax b y ax bx c y ma b y m nx b y mx b =+=++=+=+=+一次函数模型二次函数模型指数型模型对数型模型幂函数模型
根据散点图选择恰当模型：
三、应用题
1、理解模型；
2、列函数表达式，写出自变量取值范围；
3、求解。

例某地新建一个服装厂，从今年7月份开始投产，并且前4个月的产量分别为1万件、1.2万件、1。

3万件、1。

37万件．由于产品质量好、服装款式新颖，因此前几个月的产品销售情况良好．为了推销员在推销产品时，接收定单不至于过多或过少,需要估测以后几个月的产量,假如你是厂长，就月份x，产量y给出四种函数模型：y＝ax＋b,y＝ax2＋bx＋c,y＝ax错误!＋b，y＝ab x＋c,你将利用哪一种模型去估算以后几个月的产量？
分析由题目可获取以下主要信息：①已知函数模型;②选择最优模型．解答本题可先确定解析式，再通过数据拟合，选择最优模型．本题是通过数据验证，确定系数，然后分析确定函数变化情况,最终找出与实际最接近的函数模型．
解由题知A(1，1），B（2,1.2),C（3，1。

3)，D（4,1。

37)．
①设模拟函数为y＝ax＋b，将B、C两点的坐标代入函数式，
有错误!，解得错误!.
所以得y＝0.1x＋1.
此法的结论是：在不增加工人和设备的条件下,产量会每月上升1 000双,这是不太可能的．
②设y＝ax2＋bx＋c,将A，B，C三点代入，有
错误!，解得错误!。

所以y＝－0。

05x2＋0.35x＋0。

7.
由此法计算4月份产量为1。

3万双，比实际产量少700双，而且,由二次函数性质可知，产量自4月份开始将每月下降（图象开口向下，对称轴x＝3.5），不合实际．
③设y＝a错误!＋b，将A，B两点的坐标代入,有
错误!，解得错误!,
所以y＝0.48x＋0.52。

把x＝3和4代入，分别得到y＝1.35和1.48,与实际产量差距较大．
④设y＝ab x＋c,将A，B，C三点的坐标代入，得
错误!，解得错误!，
所以y＝－0。

8×（0。

5)x＋1.4,
把x＝4代入得y＝－0.8×0.54＋1.4＝1。

35。

比较上述四个模拟函数的优劣，既要考虑到误差最小，又要考虑生产的实际,比如增产的趋势和可能性．经过筛选,以指数函数模拟为最佳．一是误差小，二是由于新建厂,开始随工人技术、管理效益逐渐提高，一段时间内产量会明显上升，但过一段时间之后，如果不更新设备,产量必然趋于稳定,而指数函数模型恰好反映了这样的趋势．因此，选用y＝－0。

8×0。

5x＋1。

4模拟比较接近客观实际．
点评对于数据拟合型函数应用问题,要先确定函数解析式，再利用数据对比，确定最优模型，多数情况下要采用数形结合法．。