宁夏银川一中2018届高三第一次模拟(一模)考试数学试题(文)

宁夏银川一中2018届高三第一次模拟考试数学试题（文）
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合{}{}
2
1,1,3,1,2A B a a =-=-，且B A ⊆，则实数a 的不同取值个数为（）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
2．已知z 是纯虚数,2
1i
z +-是实数,那么z 等于（） A ．-2i
B ．2i
C ．-i
D ．i
3．已知函数⎩⎨⎧≤>=)
0(3)0(log )(2x x x x f x ，则1
[()]4f f 的值是（）
A ．9
B ．－9
C ．
9
1 D ．－
9
1 4．已知x 、y 满足约束条件100,0x y x y x +-≤⎧⎪
-≤⎨⎪≥⎩
则z = x + 2y 的最大值为（）
A ．-2
B ．-1
C ．1
D ．2
5．已知直线与圆相交于两点，且则的值是（）
A ．
B ．
C ．
D ．0
6．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）
A ．96
B ．80＋42π
C ．96＋4(2－1)π
D ．96＋4(22－1)π
7．已知角φ的终边经过点P (－4，3)，函数()sin()f x x ωφ=+(ω>0)的图像的相邻两条对称轴
0=++c by ax 1:22=+y x O ,A B ,3=AB OB OA ⋅12
-12
34
-
之间的距离等于
π2，则π
()4
f 的值为（） A ．35 B ．45 C ．－35
D ．－4
5
8．已知程序框图如图所示，则该程序框图的功能是（）
A ．求数列的前10项和
B ．求数列的前10项和
C ．求数列的前11项和
D ．求数列的前11项和 9．某单位安排甲、乙、丙三人在某月1日至12日值班，每人4天． 甲说：我在1日和3日都有值班； 乙说：我在8日和9日都有值班；
丙说：我们三人各自值班的日期之和相等．据此可判断丙必定值班的日期是（） A ．2日和5日B ．5日和6日C ．6日和11日D ．2日和11日 10．设函数,11
)1ln()(2
x
x x f +-
+=则使得)12()(->x f x f 成立的x 的范围是（） A ．)1,31( B ．),1()31,(+∞-∞ C ．)31,31(- D ．),3
1()31,(+∞--∞ 11．设F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使(OP →＋OF 2→)·
F 2P →
＝0(O 为坐标原点)，且|PF 1|＝3|PF 2|，则双曲线的离心率为（） A ．2＋12B ．2＋1C ．3＋1
2D ．3＋1
12．若函数f (x )＝x 3－3x 在(a,6－a 2)上有最小值，则实数a 的取值范围是（） A ．(－5，1) B ．[－5，1)
C ．[－2,1)
D ．(
－5，－2]
}1{n )(*N n ∈}21
{
n
)(*N n ∈}1{n
)(*N n ∈}21
{
n
)(*N n ∈
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分. 13．曲线x
x y 1
2+
=在点（1，2）处的切线方程为______________． 14．已知P 是△ABC 所在平面内一点且PB →＋PC →＋2PA →
＝0，现将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，则黄豆落在△PBC 内的概率是 .
15．对于数列{a n }，定义数列{a n ＋1－a n }为数列{a n }的“差数列”，若a 1＝1，{a n }的“差数列”
的通项公式为a n ＋1－a n ＝2n
，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________.
16．已知抛物线C ：y 2= 2px (p > 0)的焦点为F ，过点F 倾斜角为60°的直线l 与抛物线C 在第一、四象限分别交于A 、B 两点，则
|
||
|BF AF 的值等于__________. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分12分）已知函数()=sin(+),R ϕ∈f x A ωx x (其中
ππ
>0,>0,-
<<)22
ϕA ω),其部分图像如图所示.
(1)求函数()f x 的解析式;
(2)已知横坐标分别为－1、1、5的三点M 、N 、P 都在函数f (x )的图像上，求sin ∠MNP 的值.
18．（本小题满分12分）如图，四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠DAB =60°，AB =2AD ，M 为AB 的中点，△P AD 为等边三角形，且平面P AD ⊥平ABCD .
(1)证明：PM ⊥BC ；
(2)若PD=1，求点D到平面PAB的距离.
19．（本小题满分12分）为了解某市民众对某项公共政策的态度，在该市随机抽取了50
名市民进行调查，做出了他们的月收入（单位：百元，范围：[15,75]）的频率分布直方图，同时得到他们月收入情况以及对该项政策赞成的人数统计表：
(1)求月收入在[35,45)内的频率，并补全这个频率分布直方图，并在图中标出相应纵坐标；
(2)根据频率分布直方图估计这50人的平均月收入；
(3)若从月收入（单位：百元）在[65,75]的被调查者中随机选取2人，求2人都不赞成的
概率．
20．(本小题满分12分)已知椭圆的离心率，连接椭圆的四个
顶点得到的菱形的面积为4. (1)求椭圆的方程.
(2)设直线与椭圆相交于不同的两点，已知点的坐标为（），点在线段的垂直平分线上，且4=⋅QB QA ，求的值.
21．(本小题满分12分)已知函数)('),,()(23x f R b a bx x ax x f ∈+-=为其导函数，且3=x 时
)(x f 有极小值9-.
(1)求)(x f 的单调递减区间；
(2)若不等式k x x x k x f (46)1ln ()('--->为正整数)对任意正实数x 恒成立，求k 的最大值.(解答过程可参考使用以下数据：ln 7≈1.95，ln 8≈2.08)
22221(0x y a b a b +=>>
）2
e =l ,A B A ,0a -0(0,)Q y AB 0y
请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．(本小题满分10分) 选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2＋2cos α，
y ＝2sin α(α为参数)，曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝2cos β，y ＝2＋2sin β
(β为参数)，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求曲线C 1和曲线C 2的极坐标方程；
(2)已知射线l 1：θ＝α(0<α<π2)，将射线l 1顺时针旋转π6得到射线l 2：θ＝α－π
6，且射线l 1与曲线C 1交于O ，P 两点，射线l 2与曲线C 2交于O ，Q 两点，求|OP |·|OQ |的最大值．
23．（本小题满分10分）选修4—5；不等式选讲． 设不等式0|2||1|2<+--<-x x 的解集为M ，且M b a ∈, （1）证明：
4
1
6131<+b a ； （2）比较|41|ab -与||2b a -的大小，并说明理由.
【参考答案】
一、选择题
二．填空题 13. x -y +1=0-1 14.12
15.221--+n n
16. 3
三．解答题 17.解:(1)由图可知,, 最小正周期
所以
又,且，所以,
所以
(2) 解法一: 因为,
所以,
,
从而,
由,
得
.
解法二: 因为
,
所以
,
,,
,
则，
由,得.
19.解：(1)1-0.01×10×3-0.02×10×2=0.3.
⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（百元），（2）200.1300.2400.3500.2600.1700.143
即这50人的平均月收入估计为4300元.
（3）[65，75]的人数为5人，其中2人赞成，3人不赞成.
记赞成的人为b a ,，不赞成的人为z y x ,,，
任取2人的情况分别是：,,,,,,,,,,yz xz xy bz by bx az ay ax ab 共10种情况， 其中2人都不赞成的是：,,,yz xz xy 共3种情况.
∴ 2人都不赞成的概率是：310
p =
. 20.解：（1）由
， 再由，得， 由题意可知，
. 解方程组，得a =2,b =1，所以椭圆的方程为.
(2)由（1）可知A （-2,0）.设B 点的坐标为（x 1,y 1）,直线l 的斜率为k ， 则直线l 的方程为y =k (x +2),
于是A ,B 两点的坐标满足方程组，
， 由方程组消去整理，得,
由得. 设线段AB 的中点为M ，则M 的坐标为. 以下分两种情况：
（1）当k =0时，点B 的坐标为（2,0）.线段AB 的垂直平分线为y 轴， 于是
（2）当k 时，线段AB 的垂直平分线方程为
令x =0，解得
由
e c a =
=
2234a c =222c a b =-2a b =1
224,22
a b ab ⨯⨯==即22
a b ab =⎧⎨=⎩2
214x y +=2
2(2)14
y k x x y =+⎧⎪
⎨+=⎪
⎩2
2
2
2
(14)16(164)0k x k x k +++-=212
164
2,14k x k
--=+21122284,,1414k k x y k k -==++从而222
82(,)1414k k
k k
-++0≠210102222
2(28)6462(()14141414k k k k
QA QB x y y y k k k k
→
→
--=---++++++）=
. 整理得. 综上. 21.
22．解：(1)曲线C 1的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4，
所以C 1的极坐标方程为ρ＝4cos θ，
曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2
＝
4，
所以C 2
的极坐标方程为ρ＝4sin θ.
4222
4(16151)4
(14)
k k k +-=+=20272,=75
k k y ==±±故所以2072,=7k k y ==±故所以00==y y ±
高三一模数学试题
11 (2)设点P 的极坐标为(ρ1，α)，
即ρ1＝4cos α，点Q 的极坐标为(ρ2，(α－π6))，即ρ2＝4sin(α－π6)，
则|OP |·
|OQ |＝ρ1ρ2＝4cos α·4sin(α－π6)＝16cos α·(32sin α－12cos α) ＝8sin(2α－π6)－4.∵α∈(0，π2)， ∴2α－π6∈(－π6，5π6)．当2α－π6＝π2，即α＝π3时，|OP |·|OQ
|取最大值4. 23．。