2018版高中数学必修一学案：2-3 映射的概念 精品

2．3映射的概念
学习目标 1.了解映射的概念，掌握映射的三要素(难点)；2.会判断给出的两集合，能否构成映射(重点)．
预习教材P46－47，完成下面问题：
知识点一映射的概念
一般地，设A，B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，对于A中的每一个元素，在B中都有唯一的元素与之对应，那么这样的单值对应叫做从集合A 到集合B的映射，记为f：A→B.
【预习评价】
下面各图表示的对应构成映射的有________．
解析①②③这三个图所表示的对应都符合映射的定义，即A中的每一个元素在对应法则下，B中都有唯一的元素与之对应．对于④⑤，A中的每一个元素在B中有2个元素与之对应，所以不是A到B的映射；对于⑥，A中的元素a3，a4，在B中没有元素与之对应，所以不是A到B的映射．
答案①②③
知识点二映射与函数的关系
函数与映射有何区别与联系？
提示函数是一种特殊的映射，即一个对应关系是函数，则一定是映射，但反之，一个对应关系是映射，则不一定是函数．
题型一映射的判断
【例1】以下给出的对应是不是从集合A到集合B的映射？
(1)集合A＝{P|P是数轴上的点}，集合B＝R，对应关系f：数轴上的点与它所代表的实数对应；
(2)集合A＝{P|P是平面直角坐标系中的点}，集合B＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，对应关系f：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；
(3)集合A＝{x|x是三角形}，集合B＝{x|x是圆}，对应关系f：每一个三角形都对应它的内切圆；
(4)集合A＝{x|x是新华中学的班级}，集合B＝{x|x是新华中学的学生}，对应法则f：每一个班级都对应班里的学生．
解(1)按照建立数轴的方法可知，数轴上的任意一个点，都有唯一的实数与之对应，所以这个对应f：A→B是从集合A到集合B的一个映射．
(2)按照建立平面直角坐标系的方法可知，平面直角坐标系中的任意一个点，都有唯一的一个实数对与之对应，所以这个对应f：A→B是从集合A到集合B的一个映射．
(3)由于每一个三角形只有一个内切圆与之对应，所以这个对应f：A→B是从集合A到集合B的一个映射．
(4)新华中学的每一个班级里的学生都不止一个，即与一个班级对应的学生不止一个，所以这个对应f：A→B不是从集合A到集合B的一个映射．
规律方法映射是一种特殊的对应，它具有：(1)方向性：映射是有次序的，一般地从A到B的映射与从B到A的映射是不同的；(2)唯一性：集合A中的任意一个元素在集合B中都有唯一的元素与之对应，可以是：一对一，多对一，但不能一对多．
【训练1】设集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤4}，则下述对应法则f中，不
能构成从A 到B 的映射的是________． ①f ：x →y ＝x 2 ②f ：x →y ＝3x －2 ③f ：x →y ＝－x ＋4
④f ：x →y ＝4－x 2
解析 对于①，任一实数x 都有唯一的x 2与之对应，是映射，这个映射是一对一；对于②，任一x 都有唯一3x －2与之对应，是映射，一对一．③类似于②.对于④，当x ＝2时，由对应法则y ＝4－x 2得y ＝0，在集合B 中没有元素与之对应，所以④不能构成从A 到B 的映射． 答案 ④
题型二 利用对应法则求对应元素
【例2】 设集合A 和B 为坐标平面上的点集{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，映射f ：A →B 使集合A 中的元素(x ，y )映射成集合B 中的元素(x ＋y ，xy )，那么(1,2)在映射f 作用下的对应元素为________；若在f 作用下的对应元素为(－2，－3)，则它原来的元素为________．
解析 根据映射的定义，当x ＝1，y ＝2时，x ＋y ＝3，xy ＝2，则(1,2)在映射f 作用下的对应元素为(3,2)；
由⎩⎨⎧ x ＋y ＝－2，xy ＝－3，得⎩⎨⎧ x ＝－3，y ＝1或⎩
⎨⎧
x ＝1，y ＝－3， 即(－2，－3)所对应的原来的元素为(－3,1)或(1，－3)． 答案 (3,2) (－3,1)或(1，－3)
规律方法 求一个映射(f ：A →B )中，A 中元素在B 中的对应元素或B 中元素在A 中的对应元素的方法，主要是根据对应法则列方程或方程组求解．
【训练2】 已知集合A ＝R ，B ＝{(x ，y )|x ，y ∈R }，f ：A →B 是从A 到B 的映射，f ：x →(x ＋1，x 2＋1)，求A 中元素2在B 中的对应元素和B 中元素⎝ ⎛⎭⎪⎫32，54在
A 中的对应元素．
解 将x ＝2代入对应法则，可求出其在B 中的对应元素为(2＋1,3)． 由⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋1＝3
2，x 2
＋1＝54，
可得x ＝1
2.
所以2在B 中的对应元素为(2＋1,3)，⎝ ⎛⎭
⎪⎫
32，54在A 中的对应元素为12.
【探究(1)从A 到B 可以建立多少个不同的映射？从B 到A 呢？
(2)若f (a )＋f (b )＋f (c )＝0，则从A 到B 的映射中满足条件的映射有几个？ 解 (1)从A 到B 可以建立8个映射，如下图所示．
从B 到A 可以建立9个映射，如图所示．
(2)欲使f (a )＋f (b )＋f (c )＝0，需a ，b ，c 中有两个元素对应－1，一个元素对应2，共可建立3个映射．
【探究2】 已知集合A ＝{a ，b ，c }，B ＝{1,2,3}，映射f ：A →B 满足A 中元素a 在B 中的对应元素是1，问这样的映射有几个． 解 由已知f (a )＝1，所以，①f (b )＝f (c )＝1时有1个； ②f (b )＝f (c )＝2或f (b )＝f (c )＝3时各有1个，共2个； ③f (b )＝1，f (c )＝2时有1个； ④f (b )＝1，f (c )＝3时有1个； ⑤f (c )＝1，f (b )＝2时有1个； ⑥f (c )＝1，f (b )＝3时有1个； ⑦f (b )＝2，f (c )＝3时有1个； ⑧f (b )＝3，f (c )＝2时有1个． 综上可知，共有不同映射9个．
【探究3】 已知从集合A 到集合B ＝{0,1,2,3}的映射f ：x →1
|x |－1
，则集合A 中的元素最多有几个？ 解 ∵f ：x →
1
|x |－1
是从集合A 到集合B 的映射， ∴A 中的每一个元素在集合B 中都应该有对应元素． 令1|x |－1＝0，该方程无解，分别令1|x |－1＝1,2,3， 解得x ＝±2，x ＝±32，x ＝±
43， ∴集合A 中的元素最多有6个．
【探究4】 设M ＝{a ，b ，c }，N ＝{－2,0,2}． (1)求从M 到N 的映射个数；
(2)从M 到N 的映射满足f (a )＞f (b )≥f (c )，试确定这样的映射f 的个数． 解 (1)M 中元素a 可以对应N 中的－2,0,2中任意一个，有3种对应方法，同理，M 中元素b ，c 也各有3种对应方法．因此从M 到N 的映射个数为3×3×3＝27. (2)满足f (a )＞f (b )≥f (c )的映射是从M 到N 的特殊映射，可具体化，通过列表求解(如下表).
故符合条件的映射有4规律方法 (1)映射是一种特殊的对应，一对一，多对一均为映射，但一对多不构成映射．
(2)判断两个集合的一种对应能否构成函数，首先判断能否构成映射，且构成映射的两个集合都是数集，这样的映射才能构成函数．
①如果集合A 中有m 个元素，集合B 中有n 个元素，那么从集合A 到集合B 的映射共有n m 个，从B 到A 的映射共有m n 个．
②映射带有方向性，从A 到B 的映射与从B 到A 的映射是不同的．
课堂达标
1．若f ：A 中元素(x ，y )对应B 中的元素(x ＋y ，x －y )，则B 中元素________与A 中元素(1,2)对应，A 中元素________与B 中元素(1,2)对应． 解析 由⎩⎨⎧
1＋2＝3，
1－2＝－1，得B 中元素(3，－1)与A 中(1,2)对应．
由⎩⎨⎧
x ＋y ＝1，
x －y ＝2，
得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝32，
y ＝－12，
所以A 中元素⎝ ⎛⎭⎪⎫3
2，－12与B 中元素(1,2)对应．
答案 (3，－1) ⎝ ⎛⎭
⎪⎫3
2，－12
2．设集合A ＝{1,2,3}，集合B ＝{－1，－2，－3}，试问，从集合A 到集合B 的不同映射有________个．
解析 每个元素都有3种对应，所以3×3×3＝27. 答案 27
3．设f ，g 都是由A 到A 的映射，其对应法则如下表： 映射f 的对应法则如下：
映射g
则f (g (1))＝________. 解析 因为g (1)＝4， 所以f (g (1))＝f (4)＝1. 答案 1
4．设f ：x →x 2是集合A 到集合B 的函数，若B ＝{1}，则A ∩B ＝________. 解析 由f ：x →x 2是集合A 到集合B 的函数，如果B ＝{1}，则A ＝{－1,1}或A
＝{－1}或A＝{1}，所以A∩B＝∅或{1}．
答案∅或{1}
5．已知B＝{－1,3,5}，若集合A使得f：x→3x－2是A到B的映射，求集合A. 解由f：x→3x－2，分别令：3x－2＝－1，
3x－2＝3,3x－2＝5，得x＝1
3，
5
3，
7
3.
∴A是集合{1
3，
5
3，
7
3}的非空子集．
即A为：{1
3}，{
5
3}，{
7
3}，{
1
3，
5
3}，{
1
3，
7
3}，{
5
3，
7
3}，{
1
3，
5
3，
7
3}，共7个．
课堂小结
对映射定义的理解
(1)A、B必须是非空集合(可以是数集，也可以是其他集合)；
(2)对应关系有“方向性”，即从集合A到集合B的对应与从B到A的对应关系一般是不同的；
(3)集合A中每一个元素，在集合B中必须有对应元素，并且对应元素是唯一的；
(4)集合A中不同元素，在集合B中对应的元素可以是相同的；
(5)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有对应元素.。