2021-2022年高中数学第二章圆锥曲线与方程质量评估检测新人教B版

2021-2022年高中数学第二章圆锥曲线与方程质量评估检测新人教B版
7．抛物线y 2
＝4x 的焦点到双曲线x 2
－y 2
3＝1的渐近线的距离是( )
A.12
B.3
2
C ．1 D. 3 解析：由已知解出抛物线的焦点坐标和双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式求解．
由题意可得抛物线的焦点坐标为(1,0)，
双曲线的渐近线方程为3x －y ＝0或3x ＋y ＝0， 则焦点到渐近线的距离d 1＝|3×1－0|3
2
＋－1
2
＝32或d 2＝|3×1＋0|32＋1
2＝3
2. 答案：B
8．直线y ＝x ＋b 与抛物线x 2
＝2y 交于A 、B 两点，O 为坐标原点，且OA ⊥OB ，则b ＝( ) A ．2 B ．－2 C ．1 D ．－1
解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 联立方程组⎩⎪⎨
⎪⎧
y ＝x ＋b ，x 2
＝2y ，
消去y ，
得x 2
－2x －2b ＝0，所以x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝－2b ，
y 1y 2＝(x 1＋b )(x 2＋b )＝x 1x 2＋b (x 1＋x 2)＋b 2＝b 2，
又OA ⊥OB ，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0，即b 2
－2b ＝0， 解得b ＝0(舍)或b ＝2. 答案：A
9．已知双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点在抛
物线y 2
＝24x 的准线上，则双曲线的方程为( )
A.x 2
36
－
y 2
108
＝1 B.x 29－y 2
27＝1
C.
x 2
108
－
y 2
36
＝1 D.x 227－y 2
9
＝1
解析：因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点在抛物线y 2
＝24x 的准线上，所以
F (－6,0)是双曲线的左焦点，即a 2＋b 2＝36，又双曲线的一条渐近线方程是y ＝3x ，所以b
a
＝
3，解得a 2
＝9，b 2
＝27，所以双曲线的方程为x 29－y 2
27
＝1，故选B.
则有x 21＝4y 1，x 22＝4y 2，两式作差得x 21－x 2
2＝4(y 1－y 2)， 即得k ＝
x 1＋x 24
＝t
2，则直线方程为y －2＝t
2
(x －t )，与x 2
＝4y 联立得 x 2－2tx ＋2t 2－8＝0.
由根与系数的关系得x 1＋x 2＝2t ，x 1x 2＝2t 2
－8， |PQ |＝x 1－x 2
2
＋y 1－y 2
2
＝1＋k 2
[x 1＋x 22
－4x 1x 2]
＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋t 2
4[4t 2－42t 2－8]
＝
8－t
2
4＋t
2
≤6，
即|PQ |的最大值为6.
19．(本小题满分12分)已知双曲线的焦点在x 轴上，离心率为2，F 1，F 2为左、右焦点，
P 为双曲线上一点，且∠F 1PF 2＝60°，＝123，求双曲线的标准方程．
解析：如图所示，设双曲线方程为x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)．
∵e ＝c
a
＝2，∴c ＝2a .
由双曲线的定义，得||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝c ， 在△PF 1F 2中，由余弦定理，得：
|F 1F 2|2
＝|PF 1|2
＋|PF 2|2
－2|PF 1||PF 2|cos60°＝(|PF 1|－|PF 2|)2
＋2|PF 1||PF 2|(1－cos60°)，
即4c 2
＝c 2＋|PF 1||PF 2|.
又S △PF 1F 2＝123，∴1
2|PF 1||PF 2|sin60°＝123，
即|PF 1||PF 2|＝48.由①②，得c 2
＝16，c ＝4， 则a ＝2，b 2
＝c 2
－a 2
＝12， ∴所求的双曲线方程为x 24－y 2
12
＝1.
20．(本小题满分12分)已知抛物线顶点在原点，焦点在x 轴上，又知此抛物线上一点A (4，
m )到焦点的距离为6.
(1)求此抛物线的方程；
∴|CD |＝1＋－2
2
|x 1－x 2|＝5·x 1＋x 2
2
－4x 1x 2＝5·
⎝ ⎛⎭
⎪⎫－1692－4×23＝10
9
2， 又点F 2到直线BF 1的距离d ＝45
5
， 故＝12|CD |·d ＝4
9
10.
22．(本小题满分12分)过点C (0,1)的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为3
2
，椭圆与x
轴交于两点A (a,0)，B (－a,0)，过点C 的直线l 与椭圆交于另一点D ，并与x 轴交于点P ，直线AC 与直线BD 交于点Q .
(1)当直线l 过椭圆右焦点时，求线段CD 的长； (2)当点P 异于点B 时，求证：OP →·OQ →
为定值． 解析：
(1)由已知得b ＝1，c a ＝32，解得a ＝2，c ＝3，所以椭圆方程为x 24
＋y 2
＝1.
椭圆的右焦点为(3，0)， 此时直线l 的方程为y ＝－
3
3
x ＋1， 代入椭圆方程化简得7x 2
－83x ＝0， 解得x 1＝0，x 2＝
83
7
， 代入直线l 的方程得y 1＝1，y 2＝－1
7，
所以D 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫83
7，－17.
故|CD |＝
⎝ ⎛⎭⎪⎫837－02＋⎝
⎛⎭⎪⎫－17－12＝16
7.
(2)证明：当直线l 与x 轴垂直时与题意不符． 设直线l 的方程为y ＝kx ＋1(k ≠0且k ≠1
2)，
代入椭圆方程化简得(4k 2
＋1)x 2
＋8kx ＝0，。