北师大版高中数学选修陕西省西安田家炳复数的加法与减法导学案

复数的加法与减法
【学习目标】
1.掌握复数代数形式的加、减运算法则．2．了解复数代数形式的加、减法的几何意义．
【重点、难点】
重点：复数的代数形式的加、减运算及其几何意义 。

难点：复数的代数形式的加、减法的几何意义。

【学法指导】
1.根据学习目标，自学课本内容，限时独立完成导学案；
2.用红笔勾出疑难点，提交小组讨论。

【自主探究】
1．应用复数相等的充要条件解题时要确保复数必须化成a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，否则等量关系不成立．
2．复数z 1＝a ＋b i 与z 2＝a －b i(其中a ，b ∈R ，b ≠0)在复平面内对应的点关于 对称．
1．复数的加、减法法则
设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则z 1＋z 2＝ ，z 1－z 2＝ 。

即两个复数的和(或差)仍然是一个 ，它的实部是原来两个复数的 的和(或差)，它的虚部是原来两个复数的 的和(或差)． 2．复数加法的运算律
(1)交换律：z 1＋z 2＝ (2)结合律：(z 1＋z 2)＋z 3＝
复数加、减法有什么样的几何意义？
提示：(1)复数加法的几何意义
若复数z 1，z 2对应的向量OZ 1→，OZ 2→不共线，则复数z 1＋z 2是以OZ 1→，OZ 2→
为两邻边的平行四
边形的对角线OZ →
所对应的复数．因此，复数的加法可以按照向量的加法来进行．
(2)复数减法的几何意义复数z 1－z 2是连接向量OZ 1→、OZ 2→
的终点，并指向被减向量的终点所对应的复数．
因此，复数的减法运算也可以按向量的减法来进行.
【合作探究】
1．已知复数z 满足z ＋i －3＝3－i ，则z ＝( )
A ．0
B ．2i
C ．6
D ． 6－2i 2．计算(－i ＋3)－(－2＋5i)的结果为( )
A ．5－6i
B ．3－5i
C ．－5＋6i
D ．－3＋5i
3．向量OZ 1→对应的复数是5－4i ，向量OZ 2→对应的复数是－5＋4i ，则OZ 1→＋OZ 2→
对应的复数是( )
A ．－10＋8i
B ．10－8i
C ．0
D ．10＋8i
4．若OA →、OB →对应的复数分别是7＋i,3－2i ，则|AB →
|＝________.
5．计算：(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)；(2)5i －[(3＋4i)－(－1＋3i)]；(3)(a ＋b i)－(2a －3b i)－3i(a ，b ∈R )．
6．(2011年宁波高二检测)在复平面上复数i,1,4＋2i 所对应的点分别是A ，B ，C ，求平行四边形ABCD 的D 点所对应的复数．
【巩固提高】
1．如图，在平行四边形OABC 中，顶点O 、A 、C 分别表示0、3＋2i 、－2＋4i ，试求：
(1)AO →所表示的复数，BC →所表示的复数；(2)对角线CA →
所表示的复数；
(3)对角线OB →所表示的复数及OB →
的长度．
2．已知z 1，z 2∈C ，且|z 1|＝|z 2|＝|z 1－z 2|＝1.求|z 1＋z 2|.
自我挑战 已知复数z 1，z 2满足|z 1|＝|z 2|＝|z 1＋z 2|，z 1＋z 2＝2i ，求z 1，z 2.
【方法小结】1.(1)两个复数的和差仍是一个复数。

(2)复数的加减法运算，只需把“i ”看
作一个字母，完全可以按照合并同类项的方法进行．(3)算式中出现字母时，首先确定其是否为实数，再提取各复数的实部与虚部，将它们分别相加减．2.(1)复数的加减运算用向量进行时，同样满足平行四边形法则和三角形法则．(2)复数及其加减运算的几何意义为数形结合思想在复数中的应用提供了可能．3.复数加、减法几何意义的应用首先要结合向量加、减法的几何意义．|z 1＋z 2|，|z 1－z 2|分别是以复数z 1，z 2的对应向量为邻边的平行四边形的两对角线的长．由|z 1|，|z 2|，|z 1＋z 2|，|z 1－z 2|的大小关系可推出该平行四边形的性质，其次是|z 1－z 2|即为复数z 1，z 2对应的两点的距离．再结合直线，圆，圆锥曲线知识解题．
4.2.2 复数的乘法与除法
【学习目标】
1、知识与技能：理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，深刻理解它是乘法运算的逆运算。

2、过程与方法：理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题。

3、情感、态度与价值观：复数的几何意义单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味，学生不易接受，教学时，我们采用讲解或体验已学过的数集的扩充的，让学生体会到这是生产实践的需要从而让学生积极主动地建构知识体系。

【重点、难点】重点：复数的代数形式的乘除运算及共轭复数的概念 。

难点：乘除运算。

【学法指导】
1．根据学习目标，自学课本内容，限时独立完成导学案 2.用红笔勾出疑难点，提交小组讨论。

【自主探究】
1．设复数z 1＝a ＋bi ，z 2＝c ＋di ，a ，b ，c ，d ∈R ，则z 1±z 2＝ ，类似于把i 看成字母的多项式的加减运算．
2．设z 1＝2＋bi ，z 2＝a ＋i ，当z 1＋z 2＝0时，实数a 、b 满足的关系式为
1．复数的乘法
设a ＋bi 与c ＋di 分别是任意两个复数，
(1)定义：(a ＋bi)(c ＋di)＝ (2)运算律：
交换律：z 1·z 2＝ .
结合律：(z 1·z 2)·z 3＝
分配律：z 1(z 2＋z 3)＝ (3)复数的乘方 z m z n ＝ ，(z m )n ＝ ，(z 1z 2)n
＝ . 2．共轭复数
(1)定义：当两个复数的实部 ，虚部互为 时，这样的两个复数叫作
互为共轭复数．复数z 的共轭复数用z －
表示，即若z ＝a ＋bi ，则z －
＝
(2)性质：z·z －
＝ ＝|z －
|2
. 3．复数的除法 a ＋bi
c ＋di
＝ .
怎样理解复数的乘、除法运算法则？
提示：复数代数形式的乘法运算法则是一种规定．除法是乘法的逆运算．可以从以下几点理解：
(1)当复数的虚部为零时，与实数的乘法法则一致．(2)实数乘法的交换律、结合律及乘法对加法的分配律在复数集中仍然成立．(3)两个复数的积(商)仍是唯一确定的复数．(4)可以推广到多个复数进行乘除法运算．
【合作探究】
1．(2011年高考福建卷)i 是虚数单位，若集合S ＝{－1,0,1}，则( )
A ．i ∈S
B ．i 2∈S
C ．i 3
∈S D.2i
∈S
2．(2011年高考浙江卷)把复数z 的共轭复数记作z ，i 为虚数单位．若z ＝1＋i ，则(1＋z )·z ＝( )
A ．3－i
B ．3＋i
C ．1＋3i
D ．3
3．化简2＋4i
(1＋i )2
的结果是( )
A ．2＋i
B ．－2＋i
C ．2－i
D ．－2－i
4．(2010年高考重庆卷)已知复数z ＝1＋i ，则2
z
－z ＝________.
5. 计算：(1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)；(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i ；
(3) 2－i (3－4i )(1＋i )2＋(1－i)2
；；(4)(1＋i 1－i )6＋2＋3i 3－2i
.
【巩固提高】
1．计算：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－1
2＋32i ⎝ ⎛⎭
⎪⎫32＋12i (1＋i)；(2) (1－2i )23－4i －(2＋i )24－3i .
(3)i
2000
＋(2＋2i)8－(21－i
)50；(4)i ＋i 2＋i 3＋…＋i 2010
.
2．（2010年高考课标全国卷)已知复数z ＝3＋i
(1－3i )2
，z 是z 的共轭复数，则z ·z ＝( )
A.14
B.1
2
C ．1
D ．2自我挑战 已知z 1＝(3x ＋y )＋(y －4x )i ， z 2＝(4y －2x )－(5x ＋3y )i(x ，y ∈R )．设z ＝z 1－z 2
且z ＝13＋2i ，求z 1，z 2.
【方法小结】1．复数的乘除法运算(1)复数的乘法可以按照乘法法则进行，对于能够使用乘法公式计算的两个复数的乘法，用乘法公式更简便，例如平方差公式，完全平方公式等．(2)复数的除法是分子、分母同乘以分母的共轭复数。

对于复数的除法法则不要机械记忆，在解
题时，只须牢记“分母实数化”即可，此外，还要利用某些特殊复数的运算结果．如(1±i)2
＝±2i ，
⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12±32i 3＝1.1i ＝－i ，1＋i 1－i ＝i 。

2.以i 的幂的周期性，对于简化复数的运算大有好处． (1)i 4n
＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i ，i 4n ＝1(n ∈N )．(2)i n ＋i n ＋1＋i n ＋2＋i n ＋3
＝0(n ∈N )．n 也可以推
广到整数集。

3.共轭复数的有关性质：(1)z ＝＝z ；(2)z ·z －＝|z|2
＝|z －|2；(3)z ∈R ⇔z ＝z －；
非零复数是纯虚数⇔z ＋z －＝0；(4)z ＋z －＝2a ，z －z －
＝2bi ；(5)z 1±z 2＝z 1±z 2，z 1·z 2＝z 1·z 2，(z 1
z 2
)＝z 1
z 2(z 2≠0)。