初中数学奥林匹克模拟试卷1-10套

数学奥林匹克模拟试卷（一）
一、选择题：
1、已知31
1=-=-b b a a ，且3>+b a ，则33a b b a -的值是（ ）。

（A ）521（B ）1321（C ）533（D ）1333
2、如果二次函数()522++++=k x k x y 的图象与x 轴的两个不同交点的横坐标是正的，那么k 值应为（ ）
（A ）4>k 或5.-<k （B ）45-<<-k （C ）4.-≥k 或5-≤k （D ）45-≤≤-k
3、如图，∆ABC 为锐角三角形，BE ⊥AC 于F ，则ABC
AEF S S ∆∆:的值为（ ）
（A ）A sin （B ）A cos （C ）A 2sin （D ）A 2cos 4、方程
1997
1
11=
+y x 的正整数解的组数为（ ） （A ）1（B ）2（C ）3（D ）大于等于4
5、P 为∆ABC 内一点，PA 、PB 、PC 把∆ABC 的面积分成三等分，则P 点是∆ABC 的（ ）
（A ）内心（B ）外心（C ）垂心（D ）重心
6、抛物线122++=bx x y 与直线ab ax y 22+=的图象至多有一个交点，则的最大值是（ ）
（A ）1（B ）
23（C ）2
2（D ）0 二、填空题：
1、已知四个实数的乘积为1，其中任意一个数与其余三个数的积的和都等于1000，则
此四数的和是_________。

2、如果c yz b xz a xy ===,,，而且它们都不等于0，则
222z y x ++=_________。

3、若抛物线()242+++=a x ax y 全在x 轴的上方，a 的范围是
_________。

4、如图，在图形ABCD 中，AB ∥CD ，∠A=900，E 为BC 重点，
GE ⊥BC 于，交DA 延长线于G ，DC=17cm ，AB=25cm ，BC=10cm ，则CE=_________。

A
B C
E
F
A
B
C E D
G
三、解答题：
1、已知∠ACE=∠CDE=900，点B 在CE 上，CA=CB=CD ，过点A 、C 、D 三点的圆交AB 于F ，求证：F 是∆CDE 的内心。

2、在坐标平面上，纵坐标与横坐标都是整数的点称为整点，试在二次函数
59
10102+-=x x y 的图象上找出满足||x y ≤的所有整点（x ，y ）
，并说明理由。

3、试证明：每个大于6的自然数n 都可以表示为两个大于1且互质的自然数之和。

数学奥林匹克模拟试卷（二）
一、选择题：
1、若0123=+++x x x ，那么1039897x x x Λ++的值是（ ） （A ）–1（B ）0（C ）1（D ）2
2、方程
7
1
11=+y x 的正整数解的组数是（ ） （A ）0（B ）1（C ）2（D ）3 3、在∆ABC 中，下列条件：（1）两中线相等；（2）两高线相等；（3）cosC=cosB ；（4）tgC=tgB ，其中可以推出∆ABC 是等腰三角形的条件的个数是（ ）
（A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个
4、在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB=3CD ，E 是对角线AC 的中点，直线BE 交AD 于F ，则AF ：FD 的值是（ ）
（A ）2（B ）（C ）（D ）
5、设菱形的周长为20，两条对角线的长是方程()044122=-+--m x m x 的两个根，则m 的值为（ ）
（A ）
213（B ）27-（C ）213或2
7
-（D ）以上答案都不对 6、在∆ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c ，已知()c b b a +=2，∠C 为钝角，则a 、b 、c 的大小关系是（ ）
（A ）c b a <<2（B ）b c a 2<<（C ）c a b <<2（D ）c b a <=2 二、填空题：
1、如图，在四边形ABCD 中，∠ABC=1350，∠BCD=1200，AB=6，BC=35-，CD=6，则AD=。

2、若0≠x ，则
x
x
x x 4
4211+-++的最大值是。

3、在∆ABC 中，∠C=900，∠A 和∠B 的平分线交于P 点，又PE ⊥AB 于E 点，若BC=2，AC=3，则AE ·BE=。

4、若a 、b 都是正实数，且0111=+--b a b a ，则=⎪⎭
⎫
⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛3
3b a a b 。

A
B
C
D
三、解答题：
1、求使方程02=++-q p pqx x 有整数根的所有自然数p 和q 的值。

2、已知：如图，∆ABC 是⊙O 的内接三角形，∠BAC 的平分线交BC 于F ，交⊙O 于D ，DE 切⊙O 于D ，交AC 延长线于E ，连BD ，若BD=23，DE+EC=6，AB ：AC=3：2，求BF 的长。

3、已知二次函数()02>++=a c bx ax y 的图象和x 轴、y 轴都只有一个交点，分别为P 、Q ，PQ=22,02=+ac b 一次函数m x y +=的图象过P 点，并和二次函数的图象交于另一点R ，求∆PQR 的面积。

A
B
数学奥林匹克模拟试卷（三）
一、选择题：
1、已知a 是1997的算术平方根的整数部分，b 是1991的算术平方根的小数部分，则化简
()b a
114181+的结果为（ ）
（A ）
51（B ）41（C ）52
（D ）112 2、DE 为∆ABC 中平行于AC 的中位线，F 为DE 中点，延长AF 交BC 于G ，则∆ABG 与∆ACG 的面积比为（ ）
（A ）1：2（B ）2：3（C ）3：5（D ）4：7
3、一次函数1
1+-=k kx
y （k 是自然数的常数）的图象与两坐标轴所围成的图形的面积
为S k ，则100321S S S S Λ+++的值是（ ）
（A ）50（B ）101（C ）
50101（D ）101
50
4、若0<α<300，则ααααctg tg ,,cos ,sin 的大小关系是（ ） （A ）ααααctg tg <<<cos sin （B ）ααααctg tg <<<cos sin （C ）ααααctg tg <<<cos sin （D ）以上答案都不对
5、三角形三条高线的长为3，4，5，则这三角形是（ ）
（A ）锐角三角形（B ）直角三角形（C ）钝角三角形（D ）形状不能确定
6、已知关于x 的方程022=+++m mx x 有不同的实数根，其中m 为整数，且仅有一个实根的整数部分是2，则m 的值 为（ ）
（A ）–2（B ）–3（C ）–2或–3（D ）不存在 二、填空题：
1、在12，22，32，……952这95个数中，十位数字为奇数的数共有______个。

2、已知α是方程041
2
=-+x x 的根，则2
34531a a a a a --+-的值等于______。

3、设x 为正实数，则x
x x y 1
2+
-=的最小值是______。

4、以线段AB 为直径作一个半圆，圆心为O ，C 是半圆周上的点，且OC 2=AC ·BC ，则∠CAB=______。

三、解答题：
1、 已知如图，圆内接四边形ABCD ，AB=AD ，A
E
PB=BO ，CE ⊥PE ，CD=18，求DE 。

2、设两个数x 和y 的平方和为7，它们的立方和为0，求x+y 的最大值。

3、如图，已知圆O 的弦AB 被点C 、D 三等分，又E 、F 是弧AB 的三等分点，连结EC 、FD 交于S ，连结SA 、SB ，求证：∠ASB=
3
1
∠AOB 。

数学奥林匹克模拟试卷（四）
一、选择题：
1、a 、b 、c 都是实数，且0≠a ，c b a 2-=+则方程02=++c bx ax （ ）。

（A ）有两个正根（B ）至少有一个正根（C ）有且只有一个正根（D ）无正根
2、a 、b 都是自然数，且()()b a -+=1111111111123456789，则（ ）
（A ）b a -是奇数（B ）b a -是4的倍数（C ）b a -是2的倍数，但不一定是4的倍数（D ）b a -是2的倍数，但不是4的倍数
3、将函数()02≠++=a c bx ax y 的图象绕y 轴翻转1800，再绕x 轴翻转1800，所得的函数图象对应的解析式为（ ）
（A ）c bx ax y -+-=2（B ）c bx ax y ---=2（C ）c bx ax y --=2（D ）c bx ax y ++-=2 4、如果直角三角形的三边都是200以内的正整数，且较长的两边长相差1，那么这样的直角三角形有（ ）
（A ）12个（B ）9个（C ）6个（D ）1个
5、一条直线过∆ABC 的内心，且平分三角形的周长，那么该直线分成的两个图形的面积比为（ ）
（A ）2：1（B ）1：1（C ）2：3（D ）3：1
6、M 是弧ABC 的中点，弦BC>AB ，MF ⊥BC 于F ，则（ ）
（A ）AB+BF=FC （B ）AB+BF>FC （C ）AB+BF<FC （D ）以上三种情况都有可能 二、填空题：
1、已知凸n 边形A 1A 2……A n （n>4）的所有内角都是 150的正数倍，且∠A 1+∠A 2+∠A 3=2850，那么，n 等于。

2、已知四条直线3,1,3=-=-=y y mx y 和1=x 所围成的四边形的面积是12，那么，m 等于。

3、如图，MON 中，∠MON=900，过线段MN 中点A 作AB ∥ON 交M 弧MN 于点B ，则∠BON=度。

4、如果不等式2||||<+-x a x 没有实数解，则实数a 的取值范围是。

三、解答题：
1、以下图，ABCD 中，O 是AB 中点，半⊙O 与AD 、DC 、CB 分别相切于E 、F 、G ，求证：AB 2=4CD ·BC 。

2、设x 、y 是自然数，使得两个分数112+-y x 的1
1
2+-x y 和与积均为整数，
证明：这两个分数都是整数。

3、对a>b>c>0，作二次方程：()02=+++++-ca bc ab x c b a x .
A
B
O
M
N
A
B
C
E F D O
（1）若方程有实根，求证：a 、b 、c 不能成为一个三角形的三条边长。

（2）若方程有实根x 0，求证：c b x a +>>0.（3）当方程有实根6、9，求正整数a 、b 、c 。

数学奥林匹克模拟试卷（五）
一、选择题：
1、使x z z y y x ---,,都有意义的实数组（x 、y 、z ）（ ）
（A ）存在且有无限多组（B ）存在有限组（C ）一定不存在（D ）无法确定是否存在
2、若k b
a
c a c b c b a =+=+=+，则直线k kx y +=的图象必经过（ ）
、 （A ）第一、二、三象限（B ）第二、三象限（C ）第二、三、四象限（D ）以上均不
正确
3、今有四个命题：
（1）若两个实数的和与积都是奇数，则这两个数都是奇数。

（2）若两实数的和与积都是偶数，则者两数都是偶数。

（3）若两数的和与积都是有理数，则这两数都是有理数。

（4）若两实数的和与积都是无理数，则这两数都是无理数。

其中正确命题的个数是（ ） （A ）0（B ）1（C ）2（D ）3
4、如图，D 、E 、F 内分正∆ABC 的三边AB 、BC 、AC 均为1：2两部分，AD 、BE 、CF 相交成的∆PQR 的面积是∆ABC 的面积的（ ）
（A ）
10
1（B ）91（C ）81（D ）71
5、∆ABC 的边长为a 、b 、c ，其外接圆面积为S ，∆A /B /C /的边长为a /、b /、c /，其外接圆面积为S /，若a< a /、b< b /、c< c /，则S 与S /的大小关系是（ ）
（A ）S<S /（B ）S=S /（C ）S>S /（D ）不能确定
6、设a 、b 、c 是实数，且0782=+--a bc a ，06622=+-++a bc c b 那么a 的取值范围是（ ）
（A ）一切实数（B ）1>a （C ）131<<a （D ）91≤≤a 二、填空题：
1、已知a 是方程041
2
=-+x x 的根，则a
a a --331的值是。

2、以线段AB 为直径作一个半圆，圆心为O 、C 是半圆周上的点，且OC 2=AC ·BC ，
A B
C
E
F
D
P Q
R
那么∠CAB=度。

3、已知正整数a 、b 、c 满足下列条件c b a >>，且()()()72=---c a c b b a ，100<abc 则a 、b 、c 依次为。

4、252424251
43341322312121+++++++Λ
=。

三、解答题：
1、设∆ABC 是边长为1的正三角形，过顶点A 引直线l ，顶点B 、C 到l 的距离记为d 1，d 2，求d 1+d 2的最大值。

2、如图，在⊙O 中，∠AOB=1200，PT 与⊙O 切于T 点，A 、B 、P 共线，∠APT 的平分线依次交AT 、BT 于C 、D ，求证：∆ACD ～∆CDB 。

3、若自然数n 有m 个正奇约数（包括约数1），求证：n 有m –1种拆成连续自然数之和的方法。

P
数学奥林匹克模拟试卷（六）
一、选择题：
1、如果a 为实数，并且方程()04
12
2
2
=-+
--a x a x 有实根，那么的值为（ ）
（A ）–2（B ）0（C ）2（D ）不能确定
2、已知等腰三角形一腰的中线长为7.5，顶角平分线长为9，那么这个三角形的面积是（ ）
（A ）31.5（B ）36（C ）54（D ）67.5
3、设二次函数()()b a cx x b a y --++=22，其中是∆ABC 的三边的长，且c b a b ≥≥,,
已知21-
=x 时，这函数有最小值为2
a
-，则c b a ,,的大小关系是。

（A ）c a b >≥（B ）a c b >≥（C ）c b a ==（D ）不确定
4、如右图中的圆与三个半圆都相切，且两个较小半圆半径都为1，又都与大半圆相切，则阴影部分图形的面积为（ ）
（A ）2
π（B ）94π（C ）π（D 95π
5、当式子|1997||3||2||1|-++-+-+-x x x x Λ取得最小值时，实数x 的值等于（ ）
（A ）999（B ）998（C ）1997（D ）0
6、如右图，以半圆的一条弦AN 为对称轴将弧AN 折叠过来和直径MN 交于B 点，如果MB ：BN=2：3，且MN=10，则弦AN 的 长为（ ）
（A ）53（B ）54（C ）34（D ）35 二、填空题：
1、已知实数c b a ,,，满足0=++c b a ，且0>abc ，|
|||||c c
b b a a x ++=
, ⎪⎭
⎫
⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=b a c a c b c b a y 111111,则代数式39796y xy x +-=。

2、已知α、β是方程012=-+x x 的两个实根，则βα34-=。

3、如图，在∆ABC 中，AB=BC=12，∠B=900，以EF 为折痕折叠，使A 与BC 上一点D 重合，若BD ：DC=2：1，则AE 的长是。

4、已知抛物线k kx x y -++=42交x 轴于整点A 、B ，与y 轴交于点C ，则∆ABC 的面积为。

三、解答题：
1、设等腰三角形的一腰与底边的长分别是方程062=+-a x x 的两根，当这样的三角形只有一个时，求a 的取值范围。

A
B
O O O O
1
2
3
A
B M
N
2、如图，∆ABC中，AB=AC，D是底边BC上一点，E是线段AD上一点，且∠BED=2∠CED=∠A，求证：BD=2CD。

3、某个信封上的两个邮政编码M和N均由0，1，2，3，5，6这六个不同数字组成，现有四个编码如下：
A：320651 B：105263 C：612305 D：316250
已知编码A、B、C、D各恰有两个数字的位置与M和N相同，D恰有三个数字的位置与M和N相同，试求：M和N。

数学奥林匹克模拟试卷（七）
一、选择题：
1、实数a 、b 满足1=ab ，记b
a M +++=
1111，b b
a a N ++
+=11，则M 、N 的关系为（ ）
（A ）M>N （B ）M=N （C ）M<N （D ）不确定
2、设正整数a 、m 、n 满足n m a -=-242，则a 、m 、n 这样的取值（ ） （A ）有一组 （B ）有二组 （C ）多于二组（D ）不存在
3、如图，A 是半径为1的圆O 外的一点，OA=2，AB 是⊙O 的切线，B 是切点，弦BC ∥OA ，连结AC ，则阴影部分的面积等于（ ）
（A ）
92π
（B ）6
π（C ）836+π（D ）834-π
4、设21,x x 是二次方程032=-+x x 的两个根，那么1942
231
+-x x 的值等于（ ）
（A ）–4（B ）8（C ）6（D ）0
5、若一个三角形的面积和周长都被一直线所平分，则该直线必通过这个三角形的（ ）
（A ）内心（B ）外心（C ）重心（D ）垂心
6、如果20个点将某圆周20等分，那么顶点只能在这20个点中选取的正多边形的个数有（ ）
（A ）4个（B ）8个（C ）12个（D ）24个 二、填空题：
1、若ab b a 202
2
-≤+<，则ab
b a 2
2+的值为。

2、若自然数a 、x 、y 满足y x a -=-62，则a 的最大值是。

3、一个半径为1cm 的圆，在边长为6cm 的正六边形内任意挪动（圆可以与正六边形的边相切），则圆在正六边形内不能达到的部分的面积为cm 2。

4、已知三角形的三边a 、b 、c 均为整数，且11=++c b a ，则当成绩取最小值时，三角形的面积为。

三、解答题：
1、设x 、y 为实数，且322=++y xy x ，求22y xy x +-的最大值和最小值。

2、如图，⊙O 1和⊙O 2外切于M ，它们的两条外公切线的夹角为600，连心线与⊙O 1与⊙O 2分别交于A 、B （异于M 点），过B 作直线交⊙O 1于C 、D 两点，求：ctg ∠BAC ·ctg ∠BAD 的值。

3、自然数a 是由n 个相同的数码x 组成的，b 是由n 个相同的
数码y 组成的，c 是由2n 个相同的数码z 组成的，对于任意的自然数n （2≥n ），求c
b a =+2
出所有使得的数码。

数学奥林匹克模拟试卷（八）
一、选择题：
1、已知3344555,4,3===c b a ，则有（ ）
（A ）c b a <<（B ）a b c <<（C ）b a c <<（D ）b c a <<
2、方程组⎩
⎨⎧=+=+2363
yz xz yz xy 的正整数解的组数是（ ）
（A ）1（B ）2（C ）3（D ）4
3、如果方程()()
0212=+--m x x x 的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数m 的取值范围是（ ）
（A ）10≤≤m （B ）4
3≥
m （C ）143≤<m （D ）143
≤≤m
4、如果边长顺次为2
5、39、52与60的四边形内接于一圆，那么此圆的周长为（ ） （A ）62π（B ）63π（C ）64π（D ）65π
5、设AB 为⊙O 的一条弦，CD 为⊙O 的一条直径，且与弦AB 相交，
记||DAB CAB S S M ∆∆-=，OAB S N ∆=2，则（ ）
（A ）M>N （B ）M=N （C ）M<N （D ）M 、N 大小关系不确定 6、设实数a 、b 满足不等式()||||||||b a a b a a +-<+-，则（ ） （A ）0>a 且0>b （B ）0<a 且0>b （C ）0>a 且0<b （D ）0<a 且0<b
二、填空题：
1、正数a 、b 、c 满足⎩⎨
⎧=+=++2
2
2
0c
b a
c b a ，则ab 的最大值为。

2、若5
469
23+=
x ，则199719962524+-x x 的值等于。

3、设P 是正方形ABCD 的外接圆的劣弧AD 上任意一点，则PA+PC 与PB 的比值为。

4、有两条公路OM 、ON 相交成300，盐公路OM 方向，距O 点80米处有一所小学A ，当拖拉机沿ON 方向行驶时，路两旁50米内会受到噪音的影响，已知拖拉机的速度为每小时18千米，那么拖拉机沿ON 方向行驶将给小学带来噪音影响的时间为秒。

三、解答题：
1、实数c b a ,,满足()()0<+++c b a c a ，求证：()()c b a a c b ++>-42。

2、在∆ABC 中，AB=AC ，D 是BC 边长任意一点，点C 1是C 点关于直线AD 的对称点，C 1B 与AD 相交于P ，试问：当点D 在BC （BC 中点除外）运动时，AD ·AP 的值有何变化？并证明你的结论。

3、设d c b a ,,,都是正数，且d
c a d
d c b c c b a b d b a a S +++
++++++++=，求证：S 的值在两个连续的自然数之间。

数学奥林匹克模拟试卷（九）
一、选择题：
1、若10<<a ，则可以化简a a a a +⨯⎪
⎭⎫ ⎝
⎛+÷-+
11111122为（ ） （A ）
a a +-11（B ）1
1
+-a a （C ）21a -（D ）12-a 2、设c b a ,,是不全相等的任意实数，若bc a x -=2，ca b y -=2，ab c z -=2则（ ） （A ）都不小于0（B ）都不大于0（C ）至少有一个小于0（D ）至少有一个大于0 3、如图，半圆O 的直径在梯形ABCD 的底边AB 上，且与其余三边BC 、CD 、DA 相切，若BC=2，DA=3，则AB 的长（ ）
（A ）等于4（B ）等于5（C ）等于6（D ）不能确定
4、当2
1994
1+=
x 时，多项式()
20013199419974--x x 的值为（ ）
（A ）1（B ）–1（C ）22001（D ）–22001
5、如果平行直线EF 、MN 与相交直线AB 、CD 相交如图所示的图形，则共得同旁内角为（ ）
（A ）4对（B ）8对（C ）12对（D ）16对
6、若方程x p x =-有两个不相等的实根，则实数p 的取值范围是（ ）
（A ）0≤p （B ）41<
p （C ）4
10<≤p （D ）41
≥p 二、填空题：
1、某种商品的标价为120元，若以标价的90%降价出售，仍相对于进货价获利20%，则该商品的进货价是元。

2、如图，等边∆ABC 的边长为2，F 为AB 中点，延长BC 至D ，使CD=BC ，连结FD 交AC 于E ，则四边形BCEF 的面积为。

3、方程()()06122=-+-+m x m x 有一根不大于–1，另一根不小于1，则该方程两根平方和的最大值是。

4、已知∆ABC 为锐角三角形，AD 、BE 是两条高，S △ABC =18，
2=∆DEC S ，22=DE ，则∆ABC 的外接圆的直径长为。

三、解答题：
1、已知32++=ax x y ，当22<<-x 时，a y ≥恒成立，求a 的取值范围。

2、如图，已知⊙O1和⊙O2相交于A、B，直线MN垂直AB于A，且又分别与⊙O1、⊙O2交于M、N，P为线段MN的中点，∠AO1Q1=∠AO2Q2，求证：PQ1=PQ2。

3、设自然数n使2n+1和3n+1是完全平方数。

（1）求证：40|n。

（2）5n+3能否为质数？
数学奥林匹克模拟试卷（十）
一、选择题：
1、若
0<=-=-=-abc c
x
z b z y a y x ，则c b a ,,中负数的个数有（ ） （A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个
2、若a 是方程0663232
=--x x 的一个实根，则3
2444316643⎪⎭
⎫
⎝⎛--a a 的值是（ ）
（A ）1（B ）–1（C ）8（D ）–8
3、已知梯形的两条对角线分别为m 与n ，两对角线的夹角为60 0，那么，该梯形
的面积为（ ）
（A ）mn 3（B ）
mn 23（C ）mn 43（D ）mn 8
3 4、已知三个实数321,,x x x ，它们中任何一个数加其余两个数的积的5倍总等于6，这样的三元数组（321,,x x x ），共有（ ）
（A ）2组（B ）3组（C ）4组 （D ）5组
5、已知A ⎪⎭⎫ ⎝⎛a 1,31、B ⎪⎭⎫ ⎝⎛b 1,41、C ⎪⎭
⎫
⎝⎛c 1,51满足31=+c b a ，21=+c a b 则A 、B 、C 三边
的位置适合（ ）
（A ）在同一直线上（B ）组成锐角三角形（C ）组成直角三角形（D ）组成钝角三角形
6、Rt ∆ABC 中，AB=3，AC=4，BC=5，现在记A 、B 、C 到某一直线l 的距离分别为
C B A d d d ,,，若，则3:2:1::=C B A d d d ，满足条件的直线l 共有（ ）
（A ）1条（B ）2条（C ）3条（D ）4条 二、填空题： 1、若a
x <<0，化简
(
)
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡-++-⎪⎭⎫ ⎝⎛+----2
22211
x a x a ax
x x a x a x a a。

2、如图，已知∆ABC ，∠B 的平分线交边AC 于P ，∠A
的平分线交边BC 于Q ，如果过点P 、Q 、C 的圆也过∆ABC 的内心R ，且PQ=1，则PR 的长等于。

3、对于满足2||≤p 的所有实数p ，使不等式
p x px x +>++212恒成立的x 的取值范围是。

4、已知∆ABC 中，∠C=900，三边为c b a ,,，若关于x 的方程
()()
0122122=++--x c bx x a 的两根平方和为12，则c b a ::。

三、解答题：
1、设为整数，且方程012=++bx ax 的两个不同的正数根都小于1，求a 的最小值。

2、已知正六边形ABCDEF 的边长为1，QR 是正六边形内平行于AB 的任意线段，求以QR 为底边的内接于正六边形ABCDEF 的∆PQR 的最大面积。

3、已知D 是∆ABC 的边上一点，AD ：DC=2：1，∠C=450，∠ADB=600，求证：AB 是∆BCD 的外接圆的切线。