【2019-2020年度】人教B版高中数学-选修4-1教学案-第一章-圆 幂 定 理 (Word)

【2019-2020年度】人教B版高中数学-选修4-1教学案-
第一章-圆幂定理（Word）
1．3.1 圆幂定理
[对应学生用书P25]
[读教材·填要点]
1．相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．
2．切割线定理
从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的
两条线段长的比例中项．
3．圆幂定理
已知⊙(O，r)，通过一定点P，作⊙O的任一条割线交圆于A，B
两点，则PA·PB为定值，设定值为k，则：
(1)当点P在圆外时，k＝PO2－r2，
(2)当点P在圆内时，k＝r2－OP2，
(3)当点P在⊙O上时，k＝0.
[小问题·大思维]
1．从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的
两条线段长的积有什么关系？
提示：相等．2．从圆外一点引圆的切线，则这一点、两个切点及圆心四点是否
共圆？若共圆，圆的直径是什么？提示：四点共圆．且圆心为圆外一点与原圆心连线的中点，直径
为圆外一点到原圆心的距离．
[对应学生用书P26]
[例1]
弦，它们相交于AB的中点P，PD＝a，∠OAP＝30°，
求CP的长．
[思路点拨] 本题考查相交弦定理及垂径定理、勾股定理的综合应用．解决本题需要先在Rt△OAP中，求得AP的长，然后利用相交弦定理求解．
[精解详析] ∵P为AB的中点，
∴由垂径定理得OP⊥AB.
在Rt△OAP中，BP＝AP＝acos30°＝a.
由相交弦定理，得BP·AP＝CP·DP，
即2＝CP·a，解之得CP＝a.
在实际应用中，若圆中有两条相交弦，要想到利用相交弦定理．特别地，如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项．
1．如图，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作圆的切线与AC 的延长线相交于点D.过点C作BD的平行线与圆相交于点E，与AB 相交于点F，AF＝3，FB＝1，EF＝，则线段CD的长为________．解析：因为AF＝3，EF＝，FB＝1，
所以CF＝＝＝2，
因为EC∥BD，所以△ACF∽△ADB，
所以＝＝＝＝，
所以BD＝＝＝，且AD＝4CD，
又因为BD是圆的切线，所以BD2＝CD·AD＝4CD2，
所以CD＝.
答案：4
3
[例2] A，M为PA 的中点，过点M引圆的割线交圆于B，C两点，且∠BMP＝100°，∠BPC ＝40°.求∠MPB的大小．
[思路点拨] 本题考查切割线定理，由定理得出△BMP∽△PMC 而后转化角相等进行求解．
[精解详析] 因为MA为圆O的切线，
所以MA2＝MB·MC.
又M为PA的中点，
所以MP2＝MB·MC.
因为∠BMP＝∠PMC，
所以△BMP∽△PMC，
于是∠MPB＝∠MCP.
在△MCP中，由∠MPB＋∠MCP＋∠BPC＋∠BMP＝180°，得∠MPB ＝20°.
相交弦定理、切割线定理涉及与圆有关的比例线段问题，利用相交弦定理能做到知三求一，利用切割线定理能做到知二求一．
2.(北京高考)如图，AB为圆O的直径，PA为圆O的切线，PB与圆O相交于D.若PA＝3，PD∶DB＝9∶16，则PD＝________；AB＝________.
解析：设PD＝9t，DB＝16t，则PB＝25t，根据切割线定理得32＝9t×25t，解得t＝，所以PD＝，PB＝5.在直角三角形APB中，根据勾股定理得AB＝4.
答案：4
[例3] PBC为割线，弦CD∥AP，AD、BC相交于E点，F为CE上一点，且DE2＝EF·EC.
(1)求证：∠P＝∠EDF；
(2)求证：CE·EB＝EF·EP；
(3)若CE∶BE＝3∶2，DE＝6，EF＝4，求PA的长．
[思路点拨] 本题考查切割线定理、相交弦定理．以及相似三角形的判定与性质的综合应用．解答本题需要分清各个定理的适用条件，并会合理利用．
[精解详析] (1)证明：∵DE2＝EF·EC，
∴DE∶CE＝EF∶ED.
∵∠DEF是公共角，∴△DEF∽△CED.
∴∠EDF＝∠C.
∵CD∥AP，∴∠C＝∠P.
∴∠P＝∠EDF.
(2)证明：∵∠P＝∠EDF，∠DEF＝∠PEA，
∴△DEF∽△PEA.
∴DE∶PE＝EF∶EA.
即EF·EP＝DE·EA.
∵弦AD、BC相交于点E，
∴DE·EA＝CE·EB.
∴CE·EB＝EF·EP.
(3)∵DE2＝EF·EC，DE＝6，EF＝4，
∴EC＝9.∵CE∶BE＝3∶2，∴BE＝6.
∵CE·EB＝EF·EP，
∴9×6＝4×EP.
解得：EP＝.
∴PB＝PE－BE＝，PC＝PE＋EC＝.
由切割线定理得：PA2＝PB·PC，
∴PA2＝×.
∴PA＝.
相交弦定理、切割线定理是最重要的定理，在与圆有关的问题中经常用到，这是因为这三个定理可得到的线段的比例或线段的长，而圆周角定理、弦切角定理得到的是角的关系，这两者的结合，往往能综合讨论与圆有关的相似三角形问题．
因此，在实际应用中，见到圆的两条相交弦要想到相交弦定理；见到切线和割线要想到切割线定理．
3．如图所示，过点P的直线与⊙O相交于A，B两点．若PA＝1，AB＝2，PO＝3，则⊙O的半径等于________．
解析：设⊙O的半径为r(r>0)，
∵PA＝1，AB＝2，
∴PB＝PA＋AB＝3.
延长PO交⊙O于点C，
则PC＝PO＋r＝3＋r.
设PO交⊙O于点D，则PD＝3－r.
由圆的割线定理知，PA·PB＝PD·PC，
∴1×3＝(3－r)(3＋r)，∴9－r2＝3，∴r＝ .
答案： 6
[对应学生用书P27]
一、选择题
1.如右图，⊙O的直径CD与弦AB交于P点，若AP
＝4，BP＝6，CP＝3，则⊙O半径为( )
A．5.5 B．5
C．6 D．6.5
解析：由相交弦定理知AP·PB＝CP·PD，
∵AP＝4，BP＝6，CP＝3，
∴PD＝＝＝8.
∴CD＝3＋8＝11，∴⊙O的半径为5.5.
答案：A
2．如图，P是圆O外一点，过P引圆O的两条割
线PB，PD，PA＝AB＝，CD＝3，则PC等于( )
A．2或－5 B．2
C．3 D．10
解析：设PC＝x，由割线定理知PA·PB＝PC·PD.即×2 ＝x(x ＋3)，解得x＝2或x＝－5(舍去)．故选B.
答案：B
3.如图，AD、AE和BC分别切⊙O于D，E，F，
如果AD＝20，则△ABC的周长为( )
A．20 B．30
C．40 D．35
解析：∵AD，AE，BC分别为圆O的切线．
∴AE＝AD＝20，BF＝BD，CF＝CE.
∴△ABC的周长为AB＋AC＋BC＝AB＋AC＋BF＋CF＝(AB＋BD)＋(AC＋CE)＝AD＋AE＝40.
答案：C
4．如图，△ABC中，∠C＝90°，⊙O的直径CE在BC上，且与AB相切于D点，若CO∶OB＝1∶3，AD＝2，则BE等于( )
A. B．22
C．2 D．1
解析：连接OD，则OD⊥BD，
∴Rt△BOD∽Rt△BAC.
∴＝.
设⊙O的半径为a，
∵OC∶OB＝1∶3，OE＝OC，
∴BE＝EC＝2a.
由题知AD、AC均为⊙O的切线，AD＝2，∴AC＝2.
∴＝，∴BD＝2a2.
又BD2＝BE·BC，∴BD2＝2a·4a＝8a2.
∴4a4＝8a2，∴a＝.
∴BE＝2a＝2.
答案：B
二、填空题
5．(重庆高考)过圆外一点P作圆的切线PA(A为切点)，再作割线PBC分别交圆于B，C.若PA＝6，AC＝8，BC＝9，则AB＝________.
解析：如图所示，由切割线定理得PA2＝PB·PC＝
PB·(PB＋BC)，即62＝PB·(PB＋9)，解得PB＝3(负值舍
去)．由弦切角定理知∠PAB＝∠PCA，又∠APB＝∠CPA，
故△APB∽△CPA，则＝，即＝，解得AB＝4.
答案：4
6．如图，已知圆中两条弦AB与CD相交于点F，E是AB延长线
上一点，且DF＝CF＝，AF∶FB∶BE＝4∶2∶1.若CE与圆相切，则线段CE的长为____________．
解析：设BE＝x，则FB＝2x，AF＝4x，由相交弦定理得DF·FC ＝AF·FB，即2＝8x2，解得x＝，EA＝，再由切割线定理得CE2＝EB·EA ＝×＝，所以CE＝.
答案：7
2
7.如图，⊙O的弦ED、CB的延长线交于点A.
若BD⊥AE，AB＝4，BC＝2，AD＝3，则DE＝________；
CE＝________.
解析：由切割线定理知，
AB·AC＝AD·AE.
即4×6＝3×(3＋DE)，解得DE＝5.
∵BD⊥AE，且E、D、B、C四点共圆，∴∠C＝90°.
在直角三角形ACE中，AC＝6，AE＝8，
∴CE＝＝2.
答案：5 27
8．(重庆高考)如图，在△ABC中，∠C＝90°，
∠A＝60°，AB＝20，过C作△ABC的外接圆的切线
CD，BD⊥CD，BD与外接圆交于点E，则DE的长为
________．
解析：由题意得BC＝AB·sin 60°＝10.
由弦切角定理知∠BCD＝∠A＝60°，
所以CD＝5，BD＝15，
由切割线定理知，CD2＝DE·BD，则DE＝5.
答案：5
三、解答题
9．如图，PT切⊙O于T，PAB，PDC是圆O的两条
割线，PA＝3，PD＝4，PT＝6，AD＝2，求弦CD的长
和弦BC的长．
解：由已知可得PT2＝PA·PB，
且PT＝6，PA＝3，∴PB＝12.
同理可得PC＝9，∴CD＝5.
∵PD·PC＝PA·PB，∴＝，
∴△PDA∽△PBC，
∴＝⇒＝，∴BC＝6.
10．如图，⊙O的半径OB垂直于直径AC，M为
AO上一点，BM的延长线交⊙O于N，过N点的切线
交CA的延长线于P.
(1)求证：PM2＝PA·PC；
(2)若⊙O的半径为2 ，OA＝ OM，求MN的长．
解：(1)证明：连接ON，则ON⊥PN，且△OBN为等腰三角形，则
∠OBN＝∠ONB，
∵∠PMN＝∠OMB＝90°－∠OBN，
∠PNM＝90°－∠ONB，
∴∠PMN＝∠PNM，
∴PM＝PN.
由条件，根据切割线定理，有PN2＝PA·PC，
所以PM2＝PA·PC.
(2)依题意得OM＝2，在Rt△BOM中，
BM＝＝4.
延长BO交⊙O于点D，连接DN.
由条件易知△BOM∽△BND，
于是＝，
即＝，得BN＝6.
所以MN＝BN－BM＝6－4＝2.
11．如下图，已知⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，过点A作⊙O1的切线，交⊙O2于点C，过点B作两圆的割线分别交⊙O1，⊙O2于点D、E，DE与AC相交于点P.
(1)求证：PA·PE＝PC·PD；
(2)当AD与⊙O2相切，且PA＝6，PC＝2，PD＝12时，求AD的长．
解：(1)证明：连接AB，CE，
∵CA切⊙O1于点A，
∴∠1＝∠D.又∵∠1＝∠E，
∴∠D＝∠E.又∵∠2＝∠3，
∴△APD∽△CPE.
∴＝.
即PA·PE＝PC·PD.
(2)∵PA＝6，PC＝2，PD＝12.
∴6×PE＝2×12，∴PE＝4.
由相交弦定理，得PE·PB＝PA·PC.
∴4PB＝6×2，∴PB＝3.
∴BD＝PD－PB＝12－3＝9，
DE＝PD＋PE＝16.
∵DA切⊙O2于点A，
∴DA2＝DB·DE，即AD2＝9×16，∴AD＝12.
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