七年级数学 暑假专题—整式综合提高上海科技版

初一数学暑假专题—整式综合提高某某科技版
【本讲教育信息】
一. 教学内容：
整式综合提高
1. 认真思考运算性质、法则、公式的形成过程，做到深刻理解，切实掌握.
2. 在解题实践中逐步学习运用数学思想方法.
【知识掌握】
【知识点精析】
一、认真思考运算性质、法则、公式的形成过程，做到深刻理解，切实掌握.
例如多项式乘以多项式的法则，从几何上求具体矩形面积入手；再从代数上运用代换思想转化为多项式乘以多项式，得到相同的结果.这样，在计算时，就会掌握“有序”、“不重”、“不偏”.
与上面法则直接有关的就是完全平方公式；利用多项式乘以多项式的乘法法则，结合几何模型，在理解、记忆的基础上就能导出两数差的平方公式.最后达到对公式要会“三用”：“顺用”（展开）、“逆用”（把二次三项式写成完全平方式）和“变用”（配成完全平方）.
二、在解题实践中逐步学习运用数学思想方法.
1. 转化思想
转化就是把不熟悉的问题化为熟悉的问题，把不规X的问题化为规X的问题，把复杂问题化为简单问题.例如，多项式除以单项式可转化为单项式除以单项式，单项式除以单项式可转化为同底数幂的除法；在因式分解中，分组分解法就是为了把问题转化为用提公因式法、公式法或十字相乘法.
换元法是转化的一条途径，也是转化的一种思想.例如，要能运用换元的思想把一个式子看作一个字母，从而能够广泛地应用因式分解方法解决问题；要能够把一个数看作一个字母，以便能应用乘法公式或因式分解的方法快速、简便地解决问题.总之，掌握这种思想，能扩大公式、法则的运用X围，以便灵活运用它们解决问题.
恒等变形也是转化的一种方法.恒等变形是在数学解题中把一种数学对象“恒等”地变成所需要的形式，例如，去括号、添括号、整式加减法、整式乘除法、因式分解、配方等都是恒等变形.恒等变形的作用一是化简，二是定向变形.恒等变形也是一种重要的数学能力，必须在解题实践中，通过一定的训练、总结，才能达到熟练和敏锐的程度.
【解题方法指导】
例1. 求值：
（1）已知：2)b a ()1a (a 2
=---，求ab 2b a 2
2-+的值. （2）已知：3a z 2a y 1a x +=+=+=，，，求zx yz xy z y x 222---++的值.
分析：本题没有给出已知字母的值，应先将原式变形，再回过头来看已知的关系式应如何变形.
解：（1）由已知，得2b a a a 22=+--
2b a -=-∴
∴原式22
)2(2)b a (2ab 2b a 2
222=-=-=-+= （2）原式)zx 2yz 2xy 2z 2y 2x 2(2
1222---++= ])x z ()z y ()y x [(2
1)]x zx 2z ()z yz 2y ()y xy 2x [(21222222222-+-+-=+-++-++-= 而由已知，得
2x z 1z y 1y x =--=--=-，， ∴原式3]2)1()1[(2
1222=+-+-=
点评：本例两个小题都是在给出条件的情况下求代数式的值的问题.但是两个小题的难度是逐渐加大的.第（1）题考查综合观察和分析的能力：把所给已知条件（整式）变形后，得到一个较简单的整式，然后再把原式变形“挂靠”到已知的整式.第（2）题则是既考查综合观察和分析能力，又考查恒等变形的能力：首先应敏锐地看到已知条件虽然x 、y 、z 各自孤立，但都与a 有联系，消去a 就建立了x 、y 、z 的两两差的关系；由此启发把原式变形成x 、y 、z 两两差的代数式，加上观察原式的结构，采用“乘以2又除以2”的特殊手法，将原式进行配方（注意：这是一个重要的手段！），也是有目的地化简，立即求得原式的值.建议同学们仔细体会这两个小题的结构特点、解题方法，因为这些方法在将来解题时很有用处. 【考点突破】
【考点指要】
整式的概念和运算、乘法公式、因式分解在中考说明中是C 级知识点，它常与分式、根式综合在一起，以选择题、填空题、解答题等题型出现在中考题中，大约占有4－8分左右.解决这类问题需熟练掌握整式的概念和运算法则，熟练掌握乘法公式，明确因式分解的概念，并能灵活本讲知识解决有关问题.
【典型例题分析】
例1.已知：4a 2a C 2B 2a a 2A 22+-==+-=，，，其中a>1.
（1）求证：0B A >-；
（2）试比较A 、B 、C 三者之间的大小关系，并说明理由.
解：（1）)1a 2(a a a 22)2a a 2(B A 22-=-=-+-=-（2分）
0)1a 2(a 01a 21a >-∴>-∴>，， .
0B A 02)2a a 2(2>->-+-∴，.（4分）
（2）)4a 2a ()2a a 2(C A 22+--+-=-
)2a )(1a (2a a 2+-=-+=
02a 01a 1a >+>-∴>，， ，
0)2a )(1a (>+-∴.
0C A >-∴，即A>C.
①（6分） 2)4a 2a (B C 2-+-=-
1)1a (2a 2a 22+-=+-=，
01)1a (0)1a (1a 22>+-∴≥-∴>，， .
0B C >-∴即C>B.
②（8分） 由①，②，得B C A >>.
（9分） 例 2.老师在黑板上写出有三个算式：283522⨯=-，27831548792222⨯=-⨯=-，，王华接着又写出两个具有同样规律的算式：。

，2287151285112222⨯=-⨯=- （1）请你再写出两个（不同于上面的算式）具有上述规律的算式；
（2）用文字写出反映上述算式的规律；
（3）证明这个规律的正确性.
解：（1）写出两个正确的算式.
（2）规律：任意两个奇数的平方差等于8的倍数.
（3）证明：设m ，n 为整数，两个奇数可表示为1m 2+和1n 2+，则)1n m )(n m (4)1n 2()1m 2(22++-=+-+，
当m ，n 同是奇数或偶数时，n m -一定为偶数，所以)n m (4-一定是8的倍数. 当m ，n 一奇一偶时，则1n m ++一定为偶数，所以)1n m (4++一定是8的倍数. 所以，任意两奇数的平方差是8的倍数.
说明：规律说成是“两奇数的平方差是4的倍数”，且证明正确，给8分.
例3.选择题：下列多项式中，不是完全平方式的是（）
A. 1a 6a 92++
B. 4x 4x 2--
C. 9t 12t 42+-
D. 1m m 4
124++ 分析：完全平方公式展开式的特点是：①都是三项式；②其中两项是这两个数的平方
和；③第三项是这两个数乘积的2倍，前面数上加号或减号.显然4x 4x 2--不是完全平方式.故选B.
例4.选择题：多项式m x 5x 2++分解因式的结果是2)n x (+，则m ：n 的值是（） A. 25- B.
52 C. 5
2- D. 2
5 解法1：222)2
5x ()25(x 5x +=++ ， 取2
5n 425)25(m 2===，， 2552425n :m =⨯=∴.故选D. 解法2：由22)n x (m x 5x +=++，得 222n nx 2x m x 5x ++=++，
比较等式两边同次项的系数，得
⎩⎨⎧==2n m n 25，即⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧==425
m 25n 2
525425n :m =÷=∴. 点评：解法1是抓住完全平方公式的特点：“中间项”是第一、二两数乘积的2倍，即x 252x 5⋅=，所以分析出：既然第一数为x ，则第二数必然是25，即25n =，于是2)2
5(m =.解法2是把完全平方公式展开，用待定系数法.这两个解法的思考方向是互逆的：前者是“配方”（收拢），后者是“展开”（放开）.
例5. 一个正整数a 恰好等于另一个正整数b 的平方，则称a 为完全平方数，如2636=，36就是一个完全平方数.若22221996199619951995a +⋅+=，求证：a 是一个完全平方数.
分析：要证明a 是一个完全平方数，只须证明2b a =（b 是正整数），也就是要证明22222b 1996199619951995=+⋅+，由前面例题的“数字用字母代换”方法，可通过设
1995x =，
把数字式子22221996199619951995+⋅+化成关于x 的代数式的平方，甚至可以预测要用到配方法.
证明：设1995x =，则19961x =+，于是
22221996199619951995a +⋅+=
2
2
22
22
222
222)3982021()199619951()]
1x (x 1[)]1x (x [)1x (x 21)]1x (x [1x 2x x )1x ()1x (x x =⨯+=++=++++=+++++=++++= ∴a 是一个完全平方数.
例6. 若实数x 满足1x x x 45-=++，则=++++2003199819971996x x x x ________. 分析：先由已知式求出x 的值，再代入原式求值.
解：由1x x x 45-=++，得 01x x x 45=+++，
0)1x ()1x (x 4=+++∴.
即0)1x )(1x (4=++.
∵x 是实数，从而01x 4>+，
01x =+∴，即1x -=.
∴原式011111111=-+-+-+-=.
例7. 求证：31×30×29×28+1是一个完全平方数.
分析：把数字用字母代换，变原数为多项式，运用因式分解或配方法变成完全平方式. 证明：设k=30，则
128293031+⨯⨯⨯
2
2
222222)869(]1)k k [(1
)k k (2)k k (1
)k k )(2k k (1
)]1k (k )][2k )(1k [(1
)2k )(1k (k )1k (=--=+---=+---=+--+=+--+=
∴31×30×29×28+1是一个完全平方数.
例8.选择题：设*N n ∈，则下列各数中一定不是某个自然数的平方的是（）
A. 3n 3n 32+-
B. 4n 4n 42++
C. 5n 5n 52--
D. 11n 11n 112-+ 分析：A. 当n=2时，2239323433n 3n 3==+⨯-⨯=+-
C. 当n=3时，22525535955n 5n 5==-⨯-⨯=--
D. 当n=3时，22111211131191111n 11n 11==-⨯+⨯=-+
∴选B.
点评：因为数学考试的选择题（除去有特别说明的）都是四选一型，即在所给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，所以只需排除不符合要求的选项，就可以确定符合要求的选项.
例9. 代数式10b ab 2a 22-+-的最小值是多少？当这个代数式取得最小值时，a 和b 要满足什么条件？
分析：所给代数式可变形为10)b a (2--，注意0)b a (2≥-.
解：10)b a (10b ab 2a 222--=-+-.
∵2)b a (-是非负数，
∴不论a 、b 取什么有理数，总有0)b a (2≥-.
又∵如果a ≠b ，那么1010)b a (0)b a (22->-->-，
. ∴只有当0)b a (2=-，即a=b 时，1010)b a (2-=--/
即10b ab 2a 22-+-取到最小值，最小值为－10.
因此，代数式10b ab 2a 22-+-的最小值为－10.当这个代数式取得最小值时，a 和b 要满足的条件是a=b. 代数式
22b ab 2a 21---的最小值是多少？当这代数式取到最小值时，a 和b 要满足什么条件？ 略解：2
22)b a (21b ab 2a 21+-=--- 2)b a (20)b a (22≤+-∴≥+， .
只有当0)b a (2=+，即a=－b 时，2)b a (22=+-.
∴当2)b a (2+-取到最大值2时，a=－b. 因此，当
2
)b a (21+-取到最小值21时，b a -=. 【模拟试题】
一、选择题：
1.下列运算中，正确的是（）
A. 743a )a (=
B. 734a a a =+
C. 734a )a ()a (=-⋅-
D. 235a a a =÷ 2.下列运算中，正确的是（）
A. 2x 2x x 2=+
B. 32x 2x x =⋅
C. 32x x x =+
D. 632x )x (=
3.在下列计算中，正确的是（）
A. 632ab )ab (=
B. 333y x 9)xy 3(=
C. 422a 4)a 2(-=-
D. 4
1)2(2=-- 4.下列计算中，正确的是（）
A. 633x x x =+
B. 623x )x (=-
C. 933x x x =⋅
D. 326x x x =÷
二、填空题：
1. 已知：===-b 2a 3b a x 5x 3x ，，__________.
2. 已知3x 1x =-，则=+22x
1x __________. 3. =-+20022003)2(2__________.
4. =-⨯-20032002)31()3(__________.
5. 今年市场上荔枝的价格比去年便宜了5%，去年的价格是每千克m 元，则今年的价格是每千克__________元.
三、计算题：
1. 20062006)5
32()135(⨯- 2. 2007200619941993⨯-⨯
四、将下列各式分解因式：
1. y 15xy 5x 3x 2-+-
2. 120)4x )(3x )(2x )(1x (-----
五、解方程：2222)1x x ()1x x (-+=--
六、三角形的边长为a 、b 、c ，且满足0ac bc ab c b a 222=---++，判断三角形的形状，并说明理由.
七、求证：四个连续整数的积加上1，一定是一个奇数的平方.
八、考查下列式子，归纳规律并填空.
3
)1(5312
)1(311
)1(1432⨯-=+-⨯-=-⨯-=
…… =--++-+-+)1n 2()1(75311n _________（n ≥1且为整数）
九、用同样大小的黑、白两种颜色的棋子摆设如下图所示的正方形图案，则第n 个图案需要用白色棋子多少枚（用含有n 的代数式表示）
十、某校师生到天安门广场观看升国旗仪式，如果单独租用45座客车若干辆，刚好坐满；如果单独租用60座客车则可以少租一辆且余30个空座位.
（1）求该校到天安门广场观看升国旗仪式的人数.
（2）已知45座客车租金为每辆250元，60座客车租金为每辆300元，这次活动同时租用了这两种客车，其中60座客车比45座客车多租一辆，所以租金比单独租用一种客车要省，按这种方案，需要租金多少元？
【试题答案】
一、选择题：
1. D
2. D
3. D
4. B
二、填空题：
1. 273)x (x 3x 33a a 3a ===∴=，
255)x (x 5x 22b b 2b ===∴=，
25
27x x x b 2a 3b 2a 3=÷=∴- 2. 9x
12x 9)x 1x (222=+-=- 11x
1x 22=+∴ 3. 20022002200220022002200223)12(2222)2(22⨯=+=+⨯=-+⨯
4. 31)31()]31(3[)31()31()3(200220022002-=-⨯-⨯-=-⨯-⨯-
5. 95%m
三、计算题：
1. 原式1)1()5
13135(20062006=-=⨯-= 2. 设2000a =，则6a 19947a 1993-=-=，
52000
2000
26a
2642
a 13a 42a 13a )
42a 13a (42a 13a )
7a )(6a ()6a )(7a (2007
2006199419937
a 20076a 20062222-=⨯-=-=---+-=++-+-=++---=⨯-⨯∴+=+=，
四、1. 原式)3x (y 5)3x (x -+-=
)y 5x )(3x (+-=
2. 原式120)3x )(2x )(4x )(1x (-----= )
1x )(6x )(16x 5x ()
6x 5x )(16x 5x (96
)x 5x (10)x 5x (120
24)x 5x (10)x 5x (120
)6x 5x )(4x 5x (22222222222+-+-=--+-=--+-=-+-+-=-+-+-=
五、0)1x x ()1x x (2222=-+--- 0)1x x 1x x )(1x x 1x x (2222=+-----++-- 0)x 2)(2x 2(2=--
)1x )(1x (x 0)1x )(1x (x 4=-+=-+- 1x 1x 0x 321=-==∴，，
六、三角形为等边三角形
0ac bc ab c b a 222=---++
0ac 2bc 2ab 2c 2b 2a 2222=---++
c
b a 0
c a 0c b 0b a 0
)c a ()c b ()b a (0)c ac 2a ()c bc 2b ()b ab 2a (222222222==∴=-=-=-=-+-+-=+-++-++-，，
∴此三角形为等边三角形
七、证明：设四个连续整数为n ，n+1，n+2，n+3， 2
222222)1n 3n (1
)n 3n (2)n 3n (1)2n 3n )(n 3n (1
)2n )(1n )(3n (n 1)3n )(2n )(1n (n ++=++++=++++=++++=++++∴
当n 为偶数时，1)3n (n 1n 3n 2++=++为奇数 当n 为奇数时，1)3n (n 1n 3n 2++=++也为奇数 ∴四个连续整数的积加上1，一定是一个奇数的平方.
八、n )1(1n ⋅-+
九、解：)1n (4+
十、解：（1）设单独租用45座客车为x 辆
6
x 30)1x (60x 45=--= 270645x 45=⨯=（人）
答：该校到天安门广场观看升国旗仪式的人数有270人.
（2）设租用60座客车为y 辆
3y 270
)1y (45y 60==-+
140030032502=⨯+⨯（元）
答：按该方案，需要租金1400元.。