苏教版高中数学选修(2-2)-1.4利用导数解决生活中的优化问题1

利用导数解决生活中的优化问题
生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题称为生活中的优化问题。

导数是解决优化问题的有力工具，利用导数解决优化问题的主要步骤为：
1．建立优化问题的数学模型，写出优化问题中变量间的函数关系式，确定函数的定义域；
2．求函数的导数ｆ'(x)，解方程ｆ'(x)=0，求出极值点；
3．比较函数在区间端点和在极值点的取值大小，确定其最大（小）者为最大（小）值；
4．检验所得结果是否符合问题的实际意义。

其中，关键在于如何建立优化问题的数学模型。

什么是数学建模？当人们面对一个实际问题时，不是直接就现实材料本身寻找解决问题的办法，而是经过一番必要而且合理的假设和简化，恰当地运用数学语言、方法去近似地刻划实际问题，得到一个数学结构（数学模型），通过数学上的结构揭示其实际问题中的含义，合理地返回到实际中去，这个过程就称为数学建模。

数学建模的全过程应该包括：
（1）分析问题：了解问题的实际背景，掌握第一手资料。

（2）假设化简：根据问题的特征和目的，对问题进行化简，并用精确的数学语言来描述。

（3）建立模型：在假设的基础上利用适当的数学工具、数学知识，来刻划变量之间的数量关系，建立其相应的数学结构。

（4）求解并检验模型：对模型求解，并将求解结果与实际情况相比较，以此来验证模型的准确性。

例：（2005年全国卷Ⅲ文）用长为90cm,宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°
角,再焊接而成(如下图),
问:该容器的高为多少时,容器的容积最大?最大容积是多少?
解：（1）读题：把“问题情境”翻译为数学语言，找出问题的目标与条件的关系
因为焊接而成的容器为长方体，所以求容器的容积最大即为求长
方体的体积最大，而长方体的高x满足0<x<24条件。

（2）建模：设容器的高为xcm,，容器的体积为V(x)cm3，则
V(x)=x（90-2x）（48-2x）=4x3-276x2+4320x (0<x<24) （3）求解：∵V'(x)=12 x2-552x+4320
由V'(x)=12 x2-552x+4320=0得x1=10，x2=36 (舍去）
当0<x<10 时，V'(x)>0, 那么V(x)为增函数；
当10<x<24时，V'(x)<0, 那么V(x)为减函数；
所以,在定义域（0，24）内，函数V(x)只有当x=10时取得最大值，
其最大值为V(10)=1960（cm3）
答：当容器的高为10cm时,容器的容积最大，最大容积是1960（cm3）
由此例可知，要完成数学建模这一过程，必须过三关：
1．事理关：读懂题意，知道讲的是什么事件；
2．文理关：需要将“问题情境”的文字语言转化为数学的符号语言，用数学式子表达关系；
3．数理关：在构建数学模型的过程中，要求有对数学知识的检索能力，认定或构建相适应的数学模型，完成由实际问题向数学问题的转化，
此后解答过程也需要较扎实的基础知识和较强的数理能力。

利用导数解决生活中的优化问题，关键是要建立恰当的数学模型，把问题中所涉及的几个变量转化为函数关系式，这需要通过分析、联想、抽象和转化完成。

函数的最值要由极值和端点的函数值确定。

当函数定义域是开区间且在区间上只有一个极值时，这个极值就是它的最值。