八年级初二数学第二学期平行四边形单元提高题学能测试试卷

八年级初二数学第二学期平行四边形单元提高题学能测试试卷
一、解答题
1．如图，在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，AB AD =，对角线AC ，BD 交于点O ，AC 平分BAD ∠，过点C 作CE AB ⊥交AB 的延长线于点E ，连接OE ．
（1）求证：四边形ABCD 是菱形；
（2）若5AE =，3OE =，求线段CE 的长．
2．如图，在ABC ∆中，BD 平分ABC ∠交AC 于点D ，EF 垂直平分BD ，分别交AB ，BC ，BD 于点E ，F ，G ，连接DE ，DF ．
（1）求证：四边形BEDF 是菱形；
（2）若15BDE ∠=︒，45C ∠=︒，2DE =，求CF 的长；
（3）在（2）的条件下，求四边形BEDF 的面积．
3．如图，在正方形ABCD 中，E 是边AB 上的一动点（不与点A 、B 重合），连接DE ，点A 关于直线DE 的对称点为F ，连接EF 并延长交BC 于点G ，连接DG ，过点E 作EH DE ⊥交DG 的延长线于点H ，连接BH ．
（1）求证：GF GC =；
（2）用等式表示线段BH 与AE 的数量关系，并证明．
4．如图，在长方形ABCD 中，8,6AB AD ==． 动点P Q 、分别从点、D A 同时出发向点C B 、运动，点P 的运动速度为每秒2个单位，点Q 的运动速度为每秒1个单位，当点P 运动到点C 时，两个点都停止运动，设运动的时间为()t s ．
（1）请用含t 的式子表示线段PC BQ 、的长，则PC ________，BQ =________． （2）在运动过程中，若存在某时刻使得BPQ ∆是等腰三角形，求相应t 的值．
5．社团活动课上，数学兴趣小组的同学探索了这样的一个问题：
如图1，90MON ∠=，点A 为边OM 上一定点，点B 为边ON 上一动点，以AB 为一边在∠MON 的内部作正方形ABCD ，过点C 作CF OM ⊥，垂足为点F （在点O 、A 之间），交BD 与点E ，试探究AEF ∆的周长与OA 的长度之间的等量关系该兴趣小组进行了如下探索：
（动手操作，归纳发现）
（1）通过测量图1、2、3中线段AE 、AF 、EF 和OA 的长，他们猜想AEF ∆的周长是OA 长的_____倍．请你完善这个猜想
（推理探索，尝试证明）
为了探索这个猜想是否成立，他们作了如下思考，请你完成后续探索过程：
（2）如图4，过点C 作CG ON ⊥，垂足为点G
则90CGB ∠=
90GCB CBG ∴∠+∠= 又四边形ABCD 正方形，
AB BC =，90ABC ∠=
则90CBG ABO ∠+∠=
GCB ABO ∴∠=∠
在CBE ∆与ABE ∆中，
（类比探究，拓展延伸）
（3）如图5，当点F 在线段OA 的延长线上时，直接写出线段AE 、EF 、AF 与OA 长度之间的等量关系为 ．
6．如图1，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O作直线EF⊥BD，且交AC于点E，交BC于点F，连接BE、DF，且BE平分∠ABD.
（1）①求证：四边形BFDE是菱形；②求∠EBF的度数．
（2）把（1）中菱形BFDE进行分离研究，如图2，G，I分别在BF，BE边上，且BG=BI，连接GD，H为GD的中点，连接FH，并延长FH交ED于点J，连接IJ，IH，IF，IG．试探究线段IH与FH之间满足的数量关系，并说明理由；
（3）把（1）中矩形ABCD进行特殊化探究，如图3，矩形ABCD满足AB=AD时，点E是对角线AC上一点，连接DE，作EF⊥DE，垂足为点E，交AB于点F，连接DF，交AC于点G．请直接写出线段AG，GE，EC三者之间满足的数量关系．
7．（问题情境）
在△ABC中，AB=AC，点P为BC所在直线上的任一点，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，过点C作CF⊥AB，垂足为F．当P在BC边上时（如图1），求证：
PD+PE=CF．
图① 图② 图③
证明思路是：如图2，连接AP，由△ABP与△ACP面积之和等于△ABC的面积可以证得：PD+PE=CF．（不要证明）
（变式探究）
当点P 在CB 延长线上时，其余条件不变（如图3）.试探索PD 、PE 、CF 之间的数量关系并说明理由.
请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下列两题：
（结论运用）
如图4，将长方形ABCD 沿EF 折叠，使点D 落在点B 上，点C 落在点C′处，点P 为折痕EF 上的任一点，过点P 作PG ⊥BE 、PH ⊥BC ，垂足分别为G 、H ，若AD=8，CF=3，求PG+PH 的值；
（迁移拓展）
在直角坐标系中.直线l 1：y=443
x -
+与直线l 2：y=2x+4相交于点A ，直线l 1、l 2与x 轴分别交于点B 、点C ．点P 是直线l 2上一个动点,若点P 到直线l 1的距离为1.求点P 的坐标.
8．阅读下列材料，并解决问题：
如图1，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，8AC =，6BC =，点D 为AC 边上的动点（不与A 、C 重合），以AD ，BD 为边构造ADBE ，求对角线DE 的最小值及此时AD AC
的值是多少．
在解决这个问题时，小红画出了一个以AD ，BD 为边的ADBE （如图2），设平行四
边形对角线的交点为O ，则有AO BO =．于是得出当OD AC ⊥时，OD 最短，此时DE 取最小值，得出DE 的最小值为6．
参考小红的做法，解决以下问题：
（1）继续完成阅读材料中的问题：当DE 的长度最小时，AD AC =_______； （2）如图3，延长DA 到点F ，使AF DA =．以DF ，DB 为边作FDBE ，求对角线DE 的最小值及此时AD AC
的值．
9．如图①，在等腰Rt ABC 中，90BAC ∠=，点E 在AC 上(且不与点A 、C 重合)，在ABC 的外部作等腰Rt CED ，使90CED ∠=，连接AD ，分别以AB ，AD 为邻边作平行四边形ABFD ，连接AF ．
()1请直接写出线段AF ，AE 的数量关系；
()2①将CED 绕点C 逆时针旋转，当点E 在线段BC 上时，如图②，连接AE ，请判断线段AF ，AE 的数量关系，并证明你的结论；
②若25AB =2CE =，在图②的基础上将CED 绕点C 继续逆时针旋转一周的过程中，当平行四边形ABFD 为菱形时，直接写出线段AE 的长度．
10．如图，已知正方形ABCD与正方形CEFG如图放置，连接AG，AE．
（1）求证：AG AE
=
（2）过点F作FP AE
⊥于P，交AB、AD于M、N，交AE、AG于P、Q，交BC于H，．求证：NH=FM
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、解答题
1．（1）见解析；（211
【分析】
（1）根据题意先证明四边形ABCD是平行四边形，再由AB=AD可得平行四边形ABCD是菱形；
（2）根据菱形的性质得出OA的长，根据直角三角形斜边中线定理得出OE=1
2
AC，在
Rt ACE
∆应用勾股定理即可解答．
【详解】
（1）证明：∵AB CD ∥，
∴OAB DCA ∠=∠，
∵AC 为DAB ∠的平分线，
∴OAB DAC ∠=∠，
∴DCA DAC ∠=∠，
∴CD AD AB ==，
∵AB CD ∥，
∴四边形ABCD 是平行四边形，
∵AD AB =，
∴ABCD 是菱形；
（2）
∵四边形ABCD 是菱形
∴AO CO =
∵CE AB ⊥
∴90AEC ∠=︒
∴26AC OE ==
在Rt ACE ∆中，2211CE AC AE -故答案为（211．
【点睛】
本题主要考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，角平分线的定义，勾股定理，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
2．（1）见解析；（23；（3）2
【分析】
（1）由线段垂直平分线的性质可得BE=DE ，BF=DF ，可得∠EBD=∠EDB ，∠FBD=∠FDB ，由角平分线的性质可得∠EBD=∠BDF=∠EDB=∠DBF ，可证BE ∥DF ，DE ∥BF ，可得四边形DEBF 是平行四边形，即可得结论；
（2）由菱形的性质和外角性质可得∠DFC=30°，由直角三角形的性质可求CF 的长；
（3）过点D 作BC 的垂线，垂足为H ，根据菱形的性质得出∠DFH=∠ABC=30°，从而得到DH 的长度，再利用底乘高得出结果．
【详解】
解：证明：（1）∵BD 平分∠ABC ，
∴∠ABD=∠DBC ，
∵EF 垂直平分BD ，
∴BE=DE，BF=DF，
∵∠EBD=∠EDB，∠FBD=∠FDB，
∴∠EBD=∠BDF，∠EDB=∠DBF，
∴BE∥DF，DE∥BF，
∴四边形DEBF是平行四边形，且BE=DE，∴四边形BEDF是菱形；
（2）过点D作DH⊥BC于点H，
∵四边形BEDF是菱形，
∴BF=DF=DE=2，
∴∠FBD=∠FDB=∠BDE=15°，
∴∠DFH=30°，且DH⊥BC，
∴DH=1
2
DF=1，FH=3DH=3，
∵∠C=45°，DH⊥BC，
∴∠C=∠CDH=45°，
∴DH=CH=1，
∴FC=FH+CH=3+1；
（3）过点D作BC的垂线，垂足为H，
∵四边形BEDF是菱形，∠BDE=15°，
∴∠DBF=∠BDF=∠ABD=15°，
∴∠DFH=∠ABC=30°，
∵DE=DF=2，
∴DH=1，
∴菱形BEDF的面积=BF×DH=2×1=2．
【点睛】
本题考查了菱形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质等知识，掌握菱形的判定方法是本题的关键．
3．（1）详见解析；（2）2
BH AE，理由详见解析
【分析】
1）如图1，连接DF ，根据对称得：△ADE ≌△FDE ，再由HL 证明Rt △DFG ≌Rt △DCG ，可得结论；
（2）如图2，作辅助线，构建AM=AE ，先证明∠EDG=45°，得DE=EH ，证明
△DME ≌△EBH ，则EM=BH ，根据等腰直角△AEM 得：2EM AE =
，得结论；
【详解】
证明：（1）如图1，连接DF ，
∵四边形ABCD 是正方形，
∴DA DC =，90A C ∠=∠=︒，
∵点A 关于直线DE 的对称点为F ，
∴ADE ∆≌FDE ∆，
∴DA DF DC ==，90DFE A ∠=∠=︒，
∴90DFG ∠=︒，
在Rt DFG ∆和Rt DCG ∆中，
∵DF DC DG DG =⎧⎨=⎩
∴Rt DFG ∆≌Rt DCG ∆（HL ），
∴GF GC =；
（2）2BH AE =，理由是：
如图2，在线段AD 上截取AM ，使AM AE =，
∵AD AB =，
∴DM BE =，
由（1）知：12∠=∠，34∠=∠，
∵90ADC ∠=︒，
∴123490∠+∠+∠+∠=︒，
∴222390∠+∠=︒，
∴2345∠+∠=︒，
即45EDG ∠=︒，
∵EH DE ⊥，
∴90DEH ∠=︒，DEH ∆是等腰直角三角形，
∴190AED BEH AED ∠+∠=∠+∠=︒，DE EH =，
∴1BEH ∠=∠，
在DME ∆和EBH ∆中，
1DM BE BEH DE EH =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴DME ∆≌EBH ∆
∴EM BH =，
Rt AEM ∆中，90A ∠=︒，AM AE =，
∴EM =
，
∴BH ； 【点睛】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定定理和性质定理，对称的性质，等腰直角三角形的性质等知识，解决本题的关键是利用正方形的性质得到相等的边和相等的角，证明三角形全等，作出辅助线也是解决本题的关键．
4．（1）8-2t ，8-t ；（2）
83或74 【分析】
（1）根据P 、Q 的运动速度以及AB 和CD 的长即可表示；
（2）分PQ=PB 、BP=BQ 和QP=QB 三种情况进行分析即可．
【详解】
解：（1）由题意可得：
DP=2t ，AQ=t ，
∴PC=8-2t ，BQ=8-t ，
故答案为：8-2t ，8-t ；
（2）当PQ=PB 时，
如图①，QH=BH ，
则t+2t=8，
解得，t=83
， 当PQ=BQ 时，
（2t-t ）2+62=（8-t ）2，
解得，t=7
4
，
当BP=BQ时，
（8-2t）2+62=（8-t）2，方程无解；
∴当t=8
3
或
7
4
时，△BPQ为等腰三角形．
【点睛】
本题考查的是矩形的性质、等腰三角形的判定，掌握性质并灵活运用性质是解题的关键，注意分情况讨论思想的应用．
5．（1）2；（2）证明见解析过程；（3）AE+EF-AF=2OA．
【分析】
（1）通过测量可得；
（2）过点C作CG⊥ON，垂足为点G，由AAS可证△ABO≌△BCG，可得BG=AO，
BO=CG，由SAS可证△ABE≌△CBE，可得AE=CE，由线段的和差关系可得结论；
（3）过点C作CG⊥ON，垂足为点G，由AAS可证△ABO≌△BCG，可得BG=AO，
BO=CG，由SAS可证△ABE≌△CBE，可得AE=CE，可得结论．
【详解】
解：（1）△AEF的周长是OA长的2倍，
故答案为：2；
（2）如图4，过点C作CG⊥ON，垂足为点G，
则∠CGB=90°，
∴∠GCB+∠CBG=90°，
又∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，∠DBC=∠DBA=45°，
则∠CBG+∠ABO=90°，
∴∠GCB=∠ABO，
在△BCG与△ABO中，
GCB ABO GCB AOB BC AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△BCG ≌△ABO （AAS ），
∴BG=AO ，CG=BO ，
∵∠AOB=90°=∠CGB=∠CFO ，
∴四边形CGOF 是矩形，
∴CF=GO ，CG=OF=OB ，
在△ABE 和△CBE 中，
BE BE ABE CBE AB BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ABE ≌△CBE （SAS ），
∴AE=CE ，
∴△AEF 的周长=AE+EF+AF=CE+EF+AF=CF+AF=GO+AF=BG+BO+AF=2AO ；
（3）如图5，过点C 作CG ⊥ON 于点G ，
则∠CGB=90°，
∴∠GCB+∠CBG=90°，
又∵四边形ABCD 是正方形，
∴AB=BC ，∠ABC=90°，∠DBC=∠DBA=45°，
则∠CBG+∠ABO=90°，
∴∠GCB=∠ABO ，
在△BCG 与△ABO 中
GCB ABO GCB AOB BC AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△BCG ≌△ABO （AAS ），
∴BG=AO ，BO=CG ，
∵∠AOB=90°=∠CGB=∠CFO ，
∴四边形CGOF 是矩形，
∴CF=GO ，CG=OF=OB ，
在△ABE 和△CBE 中，
BE BE ABE CBE AB BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ABE ≌△CBE （SAS ），
∴AE=CE ，
∴AE+EF-AF=EF+CE-AF=NB+BO-（OF-AO ）=OA+OB-（OB-OA ）=2OA ．
【点睛】
本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，矩形的判定和性质，添加恰当的辅助线构造全等三角形是本题的关键．
6．（1）①证明见解析；②60EBF ∠=︒；（2）3IH
FH =；（3）222EG AG CE =+. 【分析】
（1）①由DOE BOF ∆≅∆，推出EO OF =，
OB OD =，推出四边形EBFD 是平行四边形，再证明EB ED =即可．
②先证明2ABD ADB ∠=∠，推出30ADB ∠=︒，延长即可解决问题．
（2）3IH FH =．只要证明IJF ∆是等边三角形即可．
（3）结论：222EG AG CE =+．如图3中，将ADG ∆绕点D 逆时针旋转90︒得到DCM ∆，先证明DEG DEM ∆≅∆，再证明ECM ∆是直角三角形即可解决问题．
【详解】
（1）①证明：如图1中，
四边形ABCD 是矩形，
//AD BC ∴，OB OD =，
EDO FBO ∴∠=∠，
在DOE ∆和BOF ∆中，
EDO FBO OD OB
EOD BOF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， DOE BOF ∴∆≅∆，
EO OF ∴=，OB OD =，
∴四边形EBFD 是平行四边形，
EF BD ⊥，OB OD =，
EB ED ∴=，
∴四边形EBFD 是菱形．
②BE 平分ABD ∠，
ABE EBD ∴∠=∠，
EB ED =，
EBD EDB ∴∠=∠，
2ABD ADB ∴∠=∠，
90ABD ADB ∠+∠=︒，
30ADB ∴∠=︒，60ABD ∠=︒，
30ABE EBO OBF ∴∠=∠=∠=︒，
60EBF ∴∠=︒．
（2）结论：
3IH FH =．
理由：如图2中，延长BE 到M ，使得EM EJ =，连接MJ ．
四边形EBFD 是菱形，60B ∠=︒，
EB BF ED ∴==，//DE BF ，
JDH FGH ∴∠=∠，
在DHJ ∆和GHF ∆中，
DHG GHF DH GH
JDH FGH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， DHJ GHF ∴∆≅∆，
DJ FG ∴=，JH HF =，
EJ BG EM BI ∴===，
BE IM BF ∴==，
60MEJ B ∠=∠=︒，
MEJ ∴∆是等边三角形，
MJ EM NI ∴==，60M B ∠=∠=︒
在BIF ∆和MJI ∆中，
BI MJ B M BF IM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
BIF MJI ∴∆≅∆，
IJ IF ∴=，BFI MIJ ∠=∠，HJ HF =，
IH JF ∴⊥，
120BFI BIF ∠+∠=︒，
120MIJ BIF ∴∠+∠=︒，
60JIF ∴∠=︒，
JIF ∴∆是等边三角形，
在Rt IHF ∆中，90IHF ∠=︒，60IFH ∠=︒，
30FIH ∴∠=︒，
3IH FH ∴=．
（3）结论：222EG AG CE =+．
理由：如图3中，将ADG ∆绕点D 逆时针旋转90︒得到DCM ∆，
90FAD DEF ∠+∠=︒，
AFED ∴四点共圆，
45EDF DAE ∴∠=∠=︒，90ADC ∠=︒，
45ADF EDC ∴∠+∠=︒，
ADF CDM ∠=∠，
45CDM CDE EDG ∴∠+∠=︒=∠，
在DEM ∆和DEG ∆中，
DE DE EDG EDM DG DM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
DEG DEM ∴∆≅∆，
GE EM ∴=，
45DCM DAG ACD ∠=∠=∠=︒，AG CM =，
90ECM ∴∠=︒
222EC CM EM ∴+=，
EG EM =，AG CM =，
222GE AG CE ∴=+．
【点睛】
本题考查四边形综合题、矩形的性质、正方形的性质、菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形，学
会转化的思想思考问题，属于中考压轴题．
7．【变式探究】：详见解析；【结论运用】：4；【迁移拓展】：P 1的坐标为（12- ，3）或（
12
，5） 【解析】 试题分析：【变式探究】按照【问题情境】的证明思路即可解决问题．
【结论运用】过E 作EQ BF ⊥，利用问题情境中的结论可得PG PH EQ +=，易证EQ DC BF DF ==，，只需求即可．
【迁移拓展】分成两种情况进行讨论.
试题解析：【变式探究】：连接,AP
∵PD ⊥AB ，PE ⊥AC ，CF ⊥AB ，
ABC ACP ABP S S S ∴=-，
111222
AB CF AC PE AB PD ∴⨯=⨯-⨯， AB AC =，
.CF PE PD ∴=-
【结论运用】过E 作EQ BF ⊥，垂足为Q ，如图④，
∵四边形ABCD 是长方形，90AD BC C ADC ∴=∠=∠=︒，．
835AD CF BF BC CF AD CF ==∴=-=-=，，．
由折叠可得：DF BF BEF DEF =∠=∠，．
590DF C ∴=∠=︒．，
222253 4.DC DF CF ∴=-=-=
90EQ BC C ADC ⊥∠=∠=︒，，
90EQC C ADC ∴∠=︒=∠=∠．
∴四边形EQCD 是长方形．4EQ DC ∴==．
∵AD ∥BC ，DEF EFB ∴∠=∠．
BEF DEF BEF EFB BE BF ∠=∠∴∠=∠∴=，．．
由问题情境中的结论可得：4PG PH EQ PG PH +=∴+=．
． PG PH ∴+的值为4．
【迁移拓展】
由题意得：(04),?(30),(20).A B C -，
，， 2234 5.AB =+=
5.BC = .AB BC ∴=
（1）由结论得：1111 +?4,PD PE OA ==
11111 3.PD PE =∴=，
即点1P 的纵坐标为3，
又点1P 在直线l 2上 ∴24y x =+=3 ,
∴12
x =-. 即点1P 的坐标为1,3.2⎛⎫-
⎪⎝⎭ (2) 由结论得：2222
4,P E P D OA -== 22221 5.P D P E =∴=， 即点2P 的纵坐标为5,
又点2P 在直线l 2上 ∴24y x =+=5.
∴12
x =. 即点2P 的坐标为1,5.2⎛⎫
⎪⎝⎭
8．（1）1
2
；（2）
1
3
AD
AC
=．
【分析】
（1）易证四边形CDEB是矩形，由条件“四边形ADBE是平行四边形可得AD＝EB＝DC，
从而得到AD
AC
的值．
（2）由题可知当DE AC
⊥时，DE最短，可以证到四边形DCBE是矩形．从而可以得到
各边关系从而求出AD
AC
的值．
【详解】
解：（1）∵四边形ADBE是平行四边形，∴AD∥BE，AD＝BE．
∵DE⊥AC，∠ACB＝90°，
∴∠ADE＝∠C＝90°．
∴DE∥BC．
∵DC∥BE，DE∥BC，∠C＝90°，
∴四边形DCBE是矩形．
∴EB＝DC．
∴AD＝DC．
∴AD
AC
=＝
1
2
．
故答案为：1
2
．
（2）如图，由题可知当DE AC
⊥时，DE最短．最小值是6．
∵四边形FDBE 是平行四边形，
∴//DF BE ，DF BE =．
∵DE AC ⊥，90C ∠=︒，
∴90ADE C ∠=∠=︒．
∴//DE BC ．
∴四边形CDEB 是平行四边形，
又∵90C ∠=︒，
∴四边形CDEB 是矩形．
∴BE CD =，6DE BC ==．
∴DF CD =．
∵AF AD =，
∴2DC DF AD ==．
∴3AC AD DC AD =+=． ∴13AD AC =． 【点睛】 本题考查了平行线之间的距离、平行线的判定、矩形的判定与性质、平行四边形的性质等知识，具有一定的综合性；本题还考查了阅读能力，体现了自主探究与合作交流相结合的新课程理念，是一道好题．
9．（1）证明见解析；（2）①AF 2AE =
②42或22.
【分析】 ()1如图①中，结论：AF 2AE =，只要证明AEF 是等腰直角三角形即可； ()2①如图②中，结论：AF 2AE =，连接EF ，DF 交BC 于K ，先证明
EKF ≌EDA 再证明AEF 是等腰直角三角形即可；
②分两种情形a 、如图③中，当AD AC =时，四边形ABFD 是菱形.b 、如图④中当AD AC =时，四边形ABFD 是菱形.分别求解即可.
【详解】
()1如图①中，结论：AF 2AE =．
理由：四边形ABFD 是平行四边形，
AB DF ∴=，
AB AC =，
AC DF ∴=，
DE EC =，
AE EF ∴=，
DEC AEF 90∠∠==，
AEF ∴是等腰直角三角形， AF 2AE ∴=
．
故答案为AF 2AE =．
()2①如图②中，结论：AF 2AE =
．
理由：连接EF ，DF 交BC 于K ． 四边形ABFD 是平行四边形， AB//DF ∴，
DKE ABC 45∠∠∴==， EKF 180DKE 135∠∠∴=-=，EK ED =， ADE 180EDC 18045135∠∠=-=-=， EKF ADE ∠∠∴=， DKC C ∠∠=，
DK DC ∴=，
DF AB AC ==，
KF AD ∴=，
在EKF 和EDA 中，
EK ED EKF ADE KF AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， EKF ∴≌EDA ，
EF EA ∴=，KEF AED ∠∠=， FEA BED 90∠∠∴==， AEF ∴是等腰直角三角形，
AF 2AE ∴=． ②如图③中，当AD AC =时，四边形ABFD 是菱形，设AE 交CD 于H ，易知EH DH CH 2===，22AH (25)(2)32=-=，AE AH EH 42=+=，
如图④中当AD AC =时，四边形ABFD 是菱形，易知
AE AH EH 32222=-=-=，
综上所述，满足条件的AE 的长为4222
【点睛】
本题考查四边形综合题、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、平行四边形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，寻找全等的条件是解题的难点，属于中考常考题型．
10．（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【分析】
（1）根据正方形的性质证得BG=DE ，利用SAS 可证明ABG ≌ADE ，再利用全等的性质即可得到结论；
（2）过M 作MK ⊥BC 于K ，延长EF 交AB 于T ，根据ASA 可证明MHK △≌AED ，得到AE=MH ，再利用AAS 证明TNF △≌DAE △，得到NF=AE ，从而证得MH=NF ，即可得
到结论．
【详解】
证明：（1）∵四边形ABCD 与四边形CEFG 均为正方形， ∴AB=AD=BC=CD ，CG=CE ，∠ABG=∠ADE=90°， ∴BC －GC=CD －EC ，即BG=DE ，
∴ABG ≌ADE ，
∴AG=AE ；
（2）过M 作MK ⊥BC 于K ，则四边形MKCD 为矩形， ∴∠MKH=∠ADE=90°，MK=CD ，∠AMK=90°， ∴MK=AD ，∠AMP+∠HMK=90°，
又∵FP AE ，
∴∠EAD+∠AMP=90°，
∴∠HMK=∠EAD ，
∴MHK △≌AED ，
∴MH=AE ，
延长EF 交AB 于T ，则四边形TBGF 为矩形，
∴FT=BG ，∠FTN=∠ADE=90°，
∵ABG ≌ADE ，
∴DE=BG ，
∴FT=DE ，
∵FP ⊥AE ，∠DAB=90°，
∴∠N+∠NAP=∠DAE+∠NAP=90°，
∴∠N=∠DAE ，
∴TNF △≌DAE △，
∴FN=AE ，
∴FN=MH ，
∴FN －FH=MH －FH ，
∴NH=FM ．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，及全等三角形的判定与性质，熟练掌握各
性质、判定定理是解题的关键．。