模糊聚类分析模板

模糊聚类分析
1.1 模糊聚类分析法的基本原理
模糊聚类分析是根据事物间的不同特征、亲疏程度和相似性等关系，通过建立模糊相似关系对客观事物进行分类的一种数学方法。

用模糊聚类分析方法处理带有模糊性的聚类问题更为客观、灵活、直观，计算也更加简捷。

1.2 模糊聚类分析的简要流程
1.3 模糊聚类分析的一般步骤
Step1：数据标准化
（1） 获取数据
设论域12{,,,}n X x x x =为被分类对象，每个对象又有m 个指标表示其性状，即：12{,,,}(1,2,,)i i i im x x x x i n ==。

于是，得到原始数据矩阵为：
111212122212
()m m ij n m n n nm x x x x x x A x x x x ⨯⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭ 其中，nm x 表示第n 个分类对象的第m 个指标的原始数据。

（2）数据的标准化处理
在实际问题中，不同的数据一般有不同的量纲，为了使不同的量纲也能进行比较，通常需要对数据做适当的变换。

但是，即使这样，得到的数据也不一定在区间[0,1]上。

因此，这里说的数据标准化，就是要根据模糊矩阵的要求，将数据压缩到区间[0,1]上。

通常有以下几种变换：标准差变换与极差变换，本文采用极差变换对原始数据标准化处理，其数学模型模型为：
'111min{}max{}min{}ik ik i n ik ik ik i n
i n x x x x x ≤≤≤≤≤≤-=-，(1,2,,)k m =
显然有01ik
x ''≤≤，且消除了量纲的影响，从而可以得到模糊矩阵： ''()ij n m R x ⨯=
Step2：建立模糊相似矩阵
设论域12{,,,}n X x x x =，12{,,(1,2,..,,)}.i i i im x x x x i n ==，即数据矩阵()ij n m A x ⨯=。

如果i x 与j x 的相似程度(,)ij i j r R x x =，则称之为相似系数。

确定相似系数ij r 值的方法很多，主要有欧式距离法、余弦夹角法、相关系数法、最大最小法、最小算术平均法、最小几何平均法等。

以上方法究竟选用哪种，不能一概而论，要视问题的实际情况而定，本文采用最大最小法，其数学模型为：
11()(,1,2,...,)()m ik jk k ij m ik
jk k x
x r i j n x
x ==∧==∨∑∑
Step3：建立模糊等价矩阵
一般情形下，上面所求得的矩阵，只是一个模糊相似关系矩阵，仅满足自反性与对称性，不一定具有传递性，然而要进行聚类，矩阵R 必须是模糊等价关系才行，即要满足传递性。

为了进行分类，所以需要将其改造成为模糊等价矩阵*R 。

本文采用平方法计算传递闭包，即将R 自乘：242......,k R R R R →→→→，如此下去，直至某一步出现2k k R R =，一般经过有限次运算后存在k 使2k k R R =，于是*2k R R =，*R 即为模糊等价矩阵。

Step4：聚类分析
在建立模糊相似矩阵之后，可直接从相似矩阵出发求聚类图，其步骤如下：
（1）取11λ=(最大值)，对每个i x 做相似类[]i r x ，且{}[]1i r ij x r ==，即将满足1ij r =的i x 和j x 放在一类，以构成相似类。

（2）取2λ为次大值，从R 中直接找出相似程度为2λ的元素对(,)i j x x (即2ij r λ=)，将对应于11λ=的等价分类中i x 所在的类与j x 所在的类合并，合并后，即得到对应于2λ的等价分类。

（3）取3λ为第三大值，从R 中直接找出相似程度为3λ的元素对(,)i j x x (即3ij r λ=)，类似地，将对应于2λ的等价分类中i x 所在类与j x 所在类合并，将所有这些情况合并后，得到对应3λ的等价分类。

（4）依次类推，直到合并到X 成为一类为止。