高等代数II06-07下期末试卷A

红河学院2006－2007学年下学期期末 《高等代数II》课程考试试卷
A
卷
考试院系： 数学系 考试日期： 题 号 一 二 三 四 总 分 得 分
一、判断题（每题1分，合计8分）
1、奇数次实多项式一定有实根。

（ ）
2、本原多项式的乘积是本原多项式。

（ ）
3、负定二次型的顺序主子式全小于零。

（ ）
4、正定矩阵的行列式大于零。

（ ）
5、可逆线性变换将线性无关向量组变为线性无关向量组。

（ ）
6、阶实对称矩阵一定可以对角化。

（）
n
7、任意两个正交基下之间的过渡矩阵是正交矩阵。

（ ）
8、正交向量组线性无关。

（ ）
二、填空题（每题3分，合计30分）
1、设都是首一多项式且
)
(
),
(x
g
x
f)
(
)
(x
g
x
f，则))
(
),
(
(x
g
x
f。

2、的标准分解式为
3
11
14
6
)
(2
3
4
5−
−
−
−
+
=x
x
x
x
x
x
f。

3、的标准形是
()
4
2
2
3
3
1
2
1
4
3
2
1
4
2
,
,
,x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f+
+
−
=。

得 分
阅卷人
得 分
阅卷人
4、n 阶实二次型AX X T
半正定的充分必要条件是A 与 合同。

5、设)4,3,2(),1,2,1(),1,0,1(),1,0,1(),1,1,1(21321===−==ββααα， )3,4,3(3=β是线性空间3R 的两组基,则由基123,,ααα到基123,,βββ过渡矩阵为 。

⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=−+−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=0222112112221
1211x x x x x x x x W ，则W 的一个基为 6、设 。

7、设线性变换σ在)1,0,0(),0,1,0(),0,0,1(321=ε=ε=ε下的矩阵为
，则⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝
⎛−−111110111=)1,1,1(σ 。

8、在3
P 中定义()(c a b c b a ,,,,)=σ，σ在)1,1,1(1−=α，)0,1,1(2−=α，)0,0,1(3−=α下的矩阵为 。

9、设A 为阶矩阵且n A A =2，则A 的特征根为 。

10、设n εε,,1"是欧氏空间V 的标准正交基，
，则⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=⎟⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎜⎝⎛=11),,(,11),,(11#"#"n n εεβεεα=),(βα 。

得 分
阅卷人 三、计算题（第1、2小题每题12分，第3小题8分，
合计32分）
1、求齐次线性方程组123451235230
x x x x x x x x x 0+−+−=⎧⎨+−+=⎩的解空间(作为5R 的子空间)的一组标准正交基。

2、设，求。

⎟⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=100220321A n A
3、设，][3x F V =)1())((,)(+=∈∀x f x f V x f σ，求σ的核与值域。

得 分
阅卷人 四、证明题（每题10分，合计30分）
1、设σ是维线性空间V 上的线性变换，若)0(>n n σ在V 的任意基下的矩阵都相同，求证：σ是数乘变换。

2、求证：维欧氏空间的任意子空间都有唯一的正交补。

)0(>n n
3、设{R b a b a b a a W ∈−+=,),,(}，证明：
（1）W 是3
R 的子空间。

（2）W 与2R 同构。