通信原理AI第4次课教案(2013)

1.复习：3.3 平稳随机过程(1) 狭义平稳随机过程狭义随机过程的任意有限维概率密度函数满足下列条件： 对于任意的正整数n 和所有实数∆，有()n n n t t t x x x f ,,,;,,,2121 = ()∆+∆+∆+n n n t t t x x x f ,,,;,,,2121 (2) 广义（宽）平稳随机过程 ① 广义平稳随机过程定义若一个随机过程()t ξ的数学期望（及方差）与时间无关，而其自相关函数仅与时间间隔τ有关，则称随机过程()t ξ是广义平稳的。

② 广义平稳性验证(3) 狭义平稳随机过程必定是广义平稳的，反之不一定成立。

因为狭义平稳过程要求对于任意的n 值都成立，而广义平稳过程只需要1,2n =时成立即可。

(4) 平稳随机过程的各态历经性（遍历性）各态历经的平稳随机过程，其“时间平均”可以代替“统计平均”。

(5) 平稳随机过程自相关函数的性质 ① ()t ξ的平均功率：()()[]S t E R ==20ξ② 若()t ξ为实平稳随机过程，则()τR 为偶函数：()()ττ-=R R ③ ()τR 的上界：()()0R R ≤τ④ ()t ξ的直流功率：()∞R = ()[]t E ξ2 ⑤ ()t ξ的交流功率（方差）：()()∞-R R 0 = 2σ2.本次课学习的主要章节：3.3平稳随机过程（续） 3.4 高斯随机过程3.5 窄带随机过程3.3平稳随机过程（续）2.平稳随机过程的功率谱密度功率谱密度表示平稳随机过程的频谱特性，其应用价值包括：由功率谱得到随机信号所包含的频率成分及其分布、确定随机信号带宽和计算功率等。

任意确知功率信号()t f 的功率谱密度()ωf P 可表示成()ωf P = ()TF T T 2limω∞→ （3.3.14）式中，()ωT F 是()t f 的截短函数()tf T 的频谱函数。

图3.3.2 截短函数()t f T对于平稳随机过程()t ξ而言，它的每一个实现也是一个确知信号，因而每一实现的功率谱也可由上式表示。

但是，随机过程中哪一实现出现是不能预知的。

因此，某一实现的功率谱密度不能作为过程的功率谱密度。

过程的功率谱密度应看作是每一可能实现的功率谱的统计平均，即 ()ωξP = ()[]ωf P E = ()TF E T T 2limω∞→ （3.3.15）平稳随机过程的功率谱密度具有如下性质： ⑴ 非负性，既有()0≥ωξP （3.3.16） ⑵ 若()t ξ为实平稳随机过程，则()ωξP 为偶函数，既有()()ωωξξ-=P P （3.3.17） ⑶ ()t ξ的平均功率为()()ωωπξξd P R ⎰∞∞-=210 （3.3.18）或 ()()⎰∞∞-=df f P R ξξ0 （3.3.19）3.功率谱密度与自相关函数的关系（维纳-欣钦关系） ()()j P R ed ωτξωττ∞--∞=⎰ （3.3.20）这说明，平稳随机过程的自相关函数与其功率谱密度之间互为傅立叶变换关系，即()()ωτξP R ⇔。

4. 互相关函数与互功率谱密度的关系()()ωτξηξηP R ⇔（3.3.21） 例3.3.2 求随机相位余弦波)cos()(θωξ+=t A t c 的自相关函数和功率谱密度及功率。

解：在例3.3.1中，我们已经得出ξ()t 是广义平稳的随机过程，并且求出其自相关函数为2()cos 2c A R τωτ=根据维纳-辛钦关系，即()()P R ξωτ⇔，由于()()c o s c c c ωτπδωωδωω⇔-++⎡⎤⎣⎦ 所以，功率谱密度为()()2()2c c A P ξπωδωωδωω=-++⎡⎤⎣⎦ 而平均功率为()210()22A S R P d ξωωπ∞-∞===⎰例3.3.3已知随机过程()t Z = ()()0m t Cos t ωθ+，其中，()t m 是广义平稳随机过程，且其自相关函数()τm R 为()τm R = ⎪⎩⎪⎨⎧-+,0,1,1ττ τττ其它1001<≤<<-随机变量θ在()π2,0上服从均匀分布，它与()t m 彼此统计独立。

⑴ 证明()t Z 是广义平稳的； ⑵ 试画出自相关函数()τZ R 的波形； ⑶ 试求功率谱密度()f P Z 及功率S 。

解：⑴ ()[]t Z E = ()()[]θω+t Cos t m E o = ()[]()[]θω+t Cos E t m E o = 0θ与()t m 彼此统计独立()τ+t t R Z , = ()()[]τ+t Z t Z E= ()()()()()[]θτωτθω+++∙+t Cos t m t Cos t m E o o= ()()[]()()[]{}θτωθωτ+++∙+t Cos t Cos E t m t m E o o= ()()[]⎭⎬⎫⎩⎨⎧+++∙θτωτωτ222121t Cos Cos E R o o m= ()τωτo m Cos R 21= ()τZ R()[]t Z E 为常数、()τ+t t R Z ,仅与时间间隔τ有关，表明()t Z 是广义平稳的。

⑵⑶()τm R ⇔()f P m = ()f Sa π2由调制定理易得()τz R ⇔()f P Z = ()()220014Sa f f Sa f f ππ⎡⎤++-⎣⎦ 利用自相关函数的性质，()t Z 的功率为 ()210==Z R S3.4 高斯随机过程通信系统中的噪声，通常认为是一种高斯过程。

3.4.1高斯随机过程与高斯随机变量1. 高斯随机过程的定义若随机过程()t ξ的任意n 维（n = 1，2，…）分布服从正态分布（高斯分布），则称此随机过程为高斯随机过程，其n 维正态概率密度函数表示如下 ()n n n t t t x x x f ,,,;,,,2121 =()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⨯∑∑==nj nk k k k j jj jk n n a x a x B BB 112/1212/21exp 21σσσσσπ （3.4.1） 式中，()[]k k t E a ξ=；()[]22k k k a t E -=ξσ，B 为归一化协方差矩阵的行列式，即11121221112n n nnb b b b b b B =（3.4.2）其中，jk b 为归一化协方差函数：()[]()[]{}kj k k j j jk a t a t E b σσξξ--=（3.4.3）而jk B 为行列式B 中元素jk b 的代数余子式。

2. 高斯随机变量高斯过程在任一时刻上的取值是一个高斯随机变量，它服从正态分布，其一维概率密度函数为()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=222exp 21σσπa x x f （3.4.4） 式中，a 和2σ分别为高斯随机变量的均值和方差；()x f 曲线如图3.4.1所示。

由图可见，()x f 对称于均值a ，其波形宽度随标准差σ的减小而变高和变窄（因为方差2σ反映了随机变量集中于均值a 的程度）。

图3.4.1 正态分布的概率密度3.4.2高斯过程的性质由式（3.4.1）可以看出，高斯随机过程()t ξ的n 维分布只依赖于其随机变量()()n t t ξξ 1的数学期望k a 、方差2k σ和()j t ξ与()k t ξ两两之间的归一化协方差函数jk b ，因此，对于高斯过程，只需要研究它的数字特征就可以了，并可以得出许多重要性质。

⑴ 如果高斯过程是广义平稳过程，则也是狭义平稳的。

因为广义平稳高斯过程()t ξ的数学期望()[]k t E ξ，方差()[]k t D ξ与时刻k t 无关，为常数；协方差函数()k j jk t t b ,仅与时间间隔k j t t -有关，而与时间起点无关，则由高斯过程定义可知，此时它的n 维分布也与时间起点无关，故它也是狭义平稳的。

⑵ 若高斯过程中的各随机变量两两之间互不相关，则它们也是统计独立的。

如果()j t ξ和()k t ξ两两不相关，即⎩⎨⎧=01jk b k j k j ≠=则有1=B和⎩⎨⎧=01jkBk j k j ≠= 式（3.4.1）变为()n n n t t t x x x f ,,,;,,,2121 =()()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--⨯∑∏==n j j j j n j jn a x 12212exp 21σσπ= ()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--∏=2212exp 21j j j n j j a x σσπ = ()111,t x f () 221,t x f ()n n t x f ,1 （3.4.5） 即随机变量()1t ξ…()n t ξ两两统计独立。

⑶ 高斯过程经线性变换后的过程仍为高斯过程。

注意，对于其他随机过程上述结论不一定成立。

3.4.3 与高斯分布有关的重要函数Q 函数、误差函数和互补误差函数常被用来表示通信系统的误码率，它们的定义为2()exp()2x Q dx αα∞=- （3.4.6）20()e x p ()e r fx d x αα=- （3.4.7）()αerfc 2exp()x dx α∞=- （3.4.8）三个函数之间的关系为())()()1()221Q erfc erfc Q erf erfc αααα⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎪⎩（3.4.9）3.5 窄带随机过程在通信系统中，许多实际的信号（如频带信号）和某些噪声（如信道噪声通过系统接收端带通滤波器的输出噪声）都属于窄带随机过程。

因此，窄带随机过程是通信原理研究的重要的随机过程之一，需要掌握其统计特性。

3.5.1 窄带随机过程的定义令()t ξ为平稳随机过程，其功率谱密度()f P ξ形状如图3.5.1（a ）所示，若中心频率c f 远大于带宽f ∆即c f f ∆<<时，则称()t ξ为窄带随机过程。

图3.5.1（a ） 窄带随机过程的频谱密度图3.5.1（b ） 窄带随机过程的波形示意图3.5.2 窄带随机过程的表示式图3.5.1（b ）给出的波形是窄带随机过程的一个样本函数(一个实现)，这是一个频率为f c 且幅度和相位都做缓慢变化的正弦波。

因此，窄带随机过程可用下式表示成[])()()(t t Cos t a t c ξξϕωξ+= ()0≥t a ξ)()()()(t t S i n S i n t a t t C o s C o s t a c c ξξξξϕωϕω-= （3.5.1） 令 )()()(t C o s t a t c ξξϕξ= （3.5.2） )()()(t S i n t a t s ξξϕξ= （3.5.3）则有 t Sin t t Cos t t c s c c ωξωξξ)()()(-= （3.5.4）式中，()t a ξ称为()t ξ的随机包络；()t ξϕ称为()t ξ的随机相位；()t c ξ及()t s ξ分别称为()t ξ的同相分量及正交分量。