四川省乐山市沙湾区沫若中学高一上期中数学试卷

2016-2017学年四川省乐山市沙湾区沫若中学高一（上）期中数
学试卷
一、选择题：共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知U={1，2，3，4}，A={1，3，4}，B={2，3，4}，那么∁U（A∩B）=（）A．{1，2}B．{1，2，3，4} C．∅D．{∅}
2．如果A={x|x＞﹣1}，那么下列表示正确的是（）
A．0⊆A B．{0}∈A C．∅∈A D．{0}⊆A
3．给出下列四个对应：如图，其构成映射的是（）
A．只有①②B．只有①④C．只有①③④ D．只有③④
4．函数f（x）=的定义域为（）
A．[2，3）B．（2，3）C．[2，+∞）D．（﹣∞，3]
5．已知函数f（x）=，则f（f（））=（）
A．B．C．D．
6．若奇函数f（x）在[3，7]上是增函数，且最小值是1，则它在[﹣7，﹣3]上是（）A．增函数且最小值是﹣1 B．增函数且最大值是﹣1
C．减函数且最大值是﹣1 D．减函数且最小值是﹣1
7．函数y=f（x）是R上的偶函数，且在（﹣∞，0]上是增函数，若f（a）≤f（2），则实数a的取值范围是（）
A．a≤2 B．a≥﹣2 C．a≤﹣2或a≥2 D．﹣2≤a≤2
8．函数y=a x﹣（a＞0，a≠1）的图象可能是（）
A． B． C．D．
9．设a=log32，b=log5，c=log23，则（）
A．a＞c＞b B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．c＞a＞b
10．已知函数f（x）=﹣x2+4x+a，x∈[0，1]，若f（x）有最小值﹣2，则f（x）的最大值为（）
A．1 B．0 C．﹣1 D．2
11．已知奇函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，且f（2）=0，则不等式xf（x﹣1）＞0的解集是（）
A．（﹣3，﹣1）B．（﹣3，1）∪（2，+∞）C．（﹣3，0）∪（3，+∞）D．（﹣1，0）∪（1，3）
12．已知函数f（x）=|log4x|，正实数m，n满足m＜n，且f（m）=f（n），若f（x）在区间[m2，n]上的最大值为2，则m，n的值分别为（）
A．，2 B．，4 C．，2 D．，4
二、填空题：共4小题，把答案填在题中横线上．
13．有15人进了家电超市，其中有9人买了电视机，有7人买了电脑，两种均买了的有3人，则这两种均没买的有人．
14．已知函数f（x）=a﹣，若f（x）为奇函数，则a=．
15．若3x=4y=36，则=．
16．下列各式：
（1）已知log a＜1，则a＞；
（2）函数y=2x的图象与函数y=2﹣x的图象关于y轴对称；
（3）函数f（x）=lg（mx2+mx+1）的定义域是R，则m的取值范围是0≤m＜4；
（4）函数y=ln（﹣x2+x）的递增区间为（﹣∞，]
正确的有．（把你认为正确的序号全部写上）
三、解答题（本大题共6个小题，共70分，）
17．计算：（1）0.25×（）﹣4﹣4÷（﹣1）0﹣（）；
（2）lg25+lg2•lg50+（lg2）2．
18．已知函数f（x）=x2﹣2|x|﹣1．
（1）证明函数f（x）是偶函数；
（2）在如图所示的平面直角坐标系中作出函数f（x）的图象．并根据图象写出函数f（x）的单调区间；
（3）求函数f（x）当x∈[﹣2，4]时的最大值与最小值．
19．为减少空气污染，某市鼓励居民用电（减少燃气或燃煤），采用分段计费的方法计算电费．每月用电不超过100度时，按每度0.57元计算，每月用电量超过100度时，其中的100度仍按原标准收费，超过的部分每度按0.5元计算．
（1）设月用电x度时，应交电费y元，写出y关于x的函数关系式；
（2）小明家第一季度缴纳电费情况如下：问小明家第一季度共用电多少度？
月份一月二月三月合计
交费金额76元63元45.6元184.6元
20．已知A={x|＜3x＜9}，B={x|log2x＞0}．
（Ⅰ）求A∩B和A∪B；
（Ⅱ）定义A﹣B={x|x∈A且x∉B}，求A﹣B和B﹣A．
21．已知指数函数f（x）=a x（a＞0，a≠1）．
（Ⅰ）若f（x）的图象过点（1，2），求其解析式；
（Ⅱ）若，且不等式g（x2+x）＞g（3﹣x）成立，求实数x的取值范围．
22．已知函数f（x），当x，y∈R时，恒有f（x+y）=f（x）+f（y）．当x＞0时，f（x）＞0 （1）求证：f（x）是奇函数；
（2）若f（1）=，试求f（x）在区间[﹣2，6]上的最值．
2016-2017学年四川省乐山市沙湾区沫若中学高一（上）
期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知U={1，2，3，4}，A={1，3，4}，B={2，3，4}，那么∁U（A∩B）=（）A．{1，2}B．{1，2，3，4} C．∅D．{∅}
【考点】交、并、补集的混合运算．
【分析】根据交集与补集的定义进行计算即可．
【解答】解：U={1，2，3，4}，A={1，3，4}，B={2，3，4}，
所以A∩B={3，4}，
所以∁U（A∩B）={1，2}．
故选：A．
2．如果A={x|x＞﹣1}，那么下列表示正确的是（）
A．0⊆A B．{0}∈A C．∅∈A D．{0}⊆A
【考点】集合的包含关系判断及应用；元素与集合关系的判断；集合的表示法．
【分析】利用元素与集合的关系，集合与集合关系判断选项即可．
【解答】解：A={x|x＞﹣1}，由元素与集合的关系，集合与集合关系可知：{0}⊆A．
故选：D．
3．给出下列四个对应：如图，其构成映射的是（）
A．只有①②B．只有①④C．只有①③④ D．只有③④
【考点】映射．
【分析】直接利用映射的概念逐一核对给出的四个选项即可得到答案．
【解答】解：对于给出的四个对应，其中①，④满足左边的集合中的所有元素、在给出的对应关系的作用下在右边集合中都有唯一确定的元素相对应．而②中左边集合中的2在右边集合中无对应元素，③中左边集合中的元素在右边集合中对应的元素不唯一．
所以能够构成映射的有①④．
故选B．
4．函数f（x）=的定义域为（）
A．[2，3）B．（2，3）C．[2，+∞）D．（﹣∞，3]
【考点】函数的定义域及其求法．
【分析】根据函数成立的条件即可求函数的定义域．
【解答】解：要使函数有意义，则，即，
则，则2＜x＜3，
即不等式的解集为（2，3），
故选：B
5．已知函数f（x）=，则f（f（））=（）
A．B．C．D．
【考点】函数的值．
【分析】利用函数f（x）=，先计算f（）=﹣3，再计算f（﹣3）即可得出．
【解答】解：∵===﹣3．
f（﹣3）=3﹣3=．
∴f（f（））=．
故选：D．
6．若奇函数f（x）在[3，7]上是增函数，且最小值是1，则它在[﹣7，﹣3]上是（）A．增函数且最小值是﹣1 B．增函数且最大值是﹣1
C．减函数且最大值是﹣1 D．减函数且最小值是﹣1
【考点】奇偶性与单调性的综合．
【分析】由奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致及奇函数定义可选出正确答案．【解答】解：因为奇函数f（x）在区间[3，7]上是增函数，
所以f（x）在区间[﹣7，﹣3]上也是增函数，
且奇函数f（x）在区间[3，7]上有f（x）min=f（3）=1，
则f（x）在区间[﹣7，﹣3]上有f（x）max=f（﹣3）=﹣f（3）=﹣1，
故选B．
7．函数y=f（x）是R上的偶函数，且在（﹣∞，0]上是增函数，若f（a）≤f（2），则实数a的取值范围是（）
A．a≤2 B．a≥﹣2 C．a≤﹣2或a≥2 D．﹣2≤a≤2
【考点】奇偶性与单调性的综合．
【分析】由偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反，以及偶函数的定义，将不等式进行等价转化，再求出实数a的取值范围．
【解答】解：∵函数y=f（x）是R上的偶函数，且在（﹣∞，0]上是增函数，
∴函数y=f（x）在[0，+∞上是减函数，
由偶函数将f（a）≤f（2）等价于f（|a|）≤f（2），
∴|a|≥2，解得a≤﹣2或a≥2，
故选：C．
8．函数y=a x﹣（a＞0，a≠1）的图象可能是（）
A． B． C．D．
【考点】函数的图象．
【分析】讨论a与1的大小，根据函数的单调性，以及函数恒过的定点进行判定即可．【解答】解：函数y=a x﹣（a＞0，a≠1）的图象可以看成把函数y=a x的图象向下平移个单位得到的．
当a＞1时，函数y=a x﹣在R上是增函数，且图象过点（﹣1，0），故排除A，B．
当1＞a＞0时，函数y=a x﹣在R上是减函数，且图象过点（﹣1，0），故排除C，
故选D．
9．设a=log32，b=log5，c=log23，则（）
A．a＞c＞b B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．c＞a＞b
【考点】对数值大小的比较．
【分析】判断对数值的范围，即可比较大小．
【解答】解：0＜log32＜1，b=log5＜0，c=log23＞1，
∴c＞a＞b，
故选：D
10．已知函数f（x）=﹣x2+4x+a，x∈[0，1]，若f（x）有最小值﹣2，则f（x）的最大值为（）
A．1 B．0 C．﹣1 D．2
【考点】二次函数在闭区间上的最值；二次函数的性质．
【分析】将二次函数配方，确定函数f（x）=﹣x2+4x+a在[0，1]上单调增，进而可求函数的最值．
【解答】解：函数f（x）=﹣x2+4x+a=﹣（x﹣2）2+a+4
∵x∈[0，1]，
∴函数f（x）=﹣x2+4x+a在[0，1]上单调增
∴当x=0时，f（x）有最小值f（0）=a=﹣2
当x=1时，f（x）有最大值f（1）=3+a=3﹣2=1
故选A．
11．已知奇函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，且f（2）=0，则不等式xf（x﹣1）＞0的解集是（）
A．（﹣3，﹣1）B．（﹣3，1）∪（2，+∞）C．（﹣3，0）∪（3，+∞）D．（﹣1，0）∪（1，3）
【考点】函数单调性的性质．
【分析】本题考查函数的单调性与奇偶性的综合试题．求不等式xf（x﹣1）＞0的解集实质上求分段函数为或的x取值范围．又利用奇函数的性质得出f（﹣2）=0，从而得出和．
【解答】解：∵函数f（x）为奇函数，且在（﹣∞，0）上单调递减
∴f（x）在（0，+∞）上单调递减；
∵xf（x﹣1）＞0 可变形为（1）或（2）
又∵函数f（x）为奇函数，且f（2）=0∴f（﹣2）=﹣f（2）=0；
∴不等式组（1）的解为⇒1＜x＜3
不等式组（2）的解为⇒﹣1＜x＜0
∴不等式xf（x﹣1）＞0的解集是{x|﹣＜x＜0或1＜x＜3}
因此答案为：D
12．已知函数f（x）=|log4x|，正实数m，n满足m＜n，且f（m）=f（n），若f（x）在区间[m2，n]上的最大值为2，则m，n的值分别为（）
A．，2 B．，4 C．，2 D．，4
【考点】对数函数的图象与性质．
【分析】由题意和对数函数的性质得m＜1＜n、log4m＜0、log4n＞0，代入已知的等式由对数的运算性质化简，由
f（x）的最大值和对数函数的性质列出方程，求出m、n的值．
【解答】解：∵函数f（x）=|log4x|，正实数m，n满足m＜n，且f（m）=f（n），
∴m＜1＜n，log4m＜0，log4n＞0，则﹣log4m=log4n，
∴，得mn=1，
∵f（x）在区间[m2，n]上的最大值为2，
∴f（x）在区间上的最大值为2，
∴，则log4m=﹣1，解得，
故选B．
二、填空题：共4小题，把答案填在题中横线上．
13．有15人进了家电超市，其中有9人买了电视机，有7人买了电脑，两种均买了的有3人，则这两种均没买的有2人．
【考点】Venn图表达集合的关系及运算．
【分析】分别求出只买电脑和电视机的人数，然后进行计算即可．
【解答】解：有9人买了电视，两种都买的有3人，则只买电视的有9﹣3=6人，只买电脑的有7﹣3=4人，
则两种都没有买的有15﹣6﹣4﹣3=2，
故答案为：2．
14．已知函数f（x）=a﹣，若f（x）为奇函数，则a=．
【考点】函数奇偶性的性质．
【分析】因为f（x）为奇函数，而在x=0时，f（x）有意义，利用f（0）=0建立方程，求出参数a的值．
【解答】解：函数．若f（x）为奇函数，
则f（0）=0，
即，a=．
故答案为
15．若3x=4y=36，则=1．
【考点】指数式与对数式的互化；对数的运算性质；换底公式的应用．
【分析】由指数式和对数式的关系可得x=log336，y=log436，∴+=2×log363+log364，再利
用对数的运算
性质化简求值．
【解答】解：∵3x=4y=36，
∴x=log336，y=log436，
∴+=2×log363+log364=log369+log364=log3636=1，
故答案为1．
16．下列各式：
（1）已知log a＜1，则a＞；
（2）函数y=2x的图象与函数y=2﹣x的图象关于y轴对称；
（3）函数f（x）=lg（mx2+mx+1）的定义域是R，则m的取值范围是0≤m＜4；
（4）函数y=ln（﹣x2+x）的递增区间为（﹣∞，]
正确的有（2）（3）．（把你认为正确的序号全部写上）
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】已知log a＜1，对底数a分类讨论：当a＞1时，恒成立，当0＜a＜1时，已知log a
＜log a a，可得a＜，可判断（1）；根据指数函数的图象和性质，可判断（2）；要使函数f
（x）=lg（mx2+mx+1）的定义域是R，可转化成mx2+mx+1＞0在R上恒成立，讨论二次项系数是否为0，建立关系式，解之即可求出答案，可判断（3）；函数y=ln（﹣x2+x）的定义域为（0，1），单调区间应在定义域内，将原函数分解成两个简单函数y=lnz，z=﹣x2+x，再根据复合函数同增异减的性质即可求出，可判断（4）．
【解答】解：（1）已知log a＜1，当a＞1时，恒成立，当0＜a＜1时，已知log a＜log a a，可得a＜，故（1）错误；
（2）y=2x与y==2﹣x的图象关于y轴对称，故（2）正确；
（3）∵函数f（x）=lg（mx2+mx+1）的定义域是R，
∴mx2+mx+1＞0在R上恒成立，
①当m=0时，有1＞0在R上恒成立，故符合条件；
②当m≠0时，由，解得0＜m＜4，综上，实数m的取值范围是0≤m
＜4，故（3）正确；
（4）∵函数y=ln（﹣x2+x）的定义域为（0，1），
令z=﹣x2+x，则原函数可以写为y=lnz，
∵y=lnz为增函数，
∴原函数的增区间即是函数z=﹣x2+x，x∈（0，1）的增区间．
∴x∈（0，]．
∴函数y=ln（﹣x2+x）的递增区间为（0，]，故（4）错误．
∴正确的有：（2）（3）．
故答案为：（2）（3）．
三、解答题（本大题共6个小题，共70分，）
17．计算：（1）0.25×（）﹣4﹣4÷（﹣1）0﹣（）；
（2）lg25+lg2•lg50+（lg2）2．
【考点】对数的运算性质；有理数指数幂的化简求值．
【分析】（1）利用指数幂的运算法则即可得出；
（2）利用对数的运算法则、lg2+lg5=1即可得出．
【解答】解：（1）原式=﹣4﹣=4﹣4﹣4=﹣4．
（2）原式=2lg5+lg2（lg5+1）+（lg2）2
=2lg5+lg2（lg5+lg2）+lg2
=2（lg5+lg2）
=2．
18．已知函数f（x）=x2﹣2|x|﹣1．
（1）证明函数f（x）是偶函数；
（2）在如图所示的平面直角坐标系中作出函数f（x）的图象．并根据图象写出函数f（x）的单调区间；
（3）求函数f（x）当x∈[﹣2，4]时的最大值与最小值．
【考点】二次函数的性质．
【分析】（1）根据偶函数的定义即可证明，
（2）去绝对值，化为分段函数，画图即可，
（3）由图象可求出f（x）当x∈[﹣2，4]时的最大值与最小值．
【解答】解（1）∵x∈R，f（﹣x）=（﹣x）2﹣2|﹣x|﹣1=x2﹣2|x|+1=f（x），
∴f（x）是偶函数．
（2）∵当x≥0时，f（x）=x2﹣2x﹣1，当x＜0时，f（x）=x2+2x﹣1，
则函数f（x）图象如图所示．
（3）由图知当x=﹣1和1时有最小值为﹣2．当x=4时有最大值7
19．为减少空气污染，某市鼓励居民用电（减少燃气或燃煤），采用分段计费的方法计算电费．每月用电不超过100度时，按每度0.57元计算，每月用电量超过100度时，其中的100度仍按原标准收费，超过的部分每度按0.5元计算．
（1）设月用电x度时，应交电费y元，写出y关于x的函数关系式；
（2）小明家第一季度缴纳电费情况如下：问小明家第一季度共用电多少度？
月份一月二月三月合计
交费金额76元63元45.6元184.6元
【考点】函数模型的选择与应用．
【分析】（1）根据应交电费=月用电度数×每度电费建立函数关系，因为每度电费标准不一样，需要分类讨论；
（2）分别根据每月所交电费，求出每月所用电的度数，最后相交即可求出所求．
【解答】解：（1）由题可得=
（2）一月用电x+7=76
x=138
二月用电x+7=63
x=112
三月用电0.57x=45.6
x=80
∴第一季度共用138+112+80=330度．
20．已知A={x|＜3x＜9}，B={x|log2x＞0}．
（Ⅰ）求A∩B和A∪B；
（Ⅱ）定义A﹣B={x|x∈A且x∉B}，求A﹣B和B﹣A．
【考点】交集及其运算．
【分析】（Ⅰ）求出A与B中其他不等式的解集确定出A与B，找出两集合的交集，并集即可；
（Ⅱ）根据A﹣B的定义，求出A﹣B与B﹣A即可．
【解答】解：（Ⅰ）由A中的不等式变形得：3﹣1＜3x＜32，
解得：﹣1＜x＜2，即A=（﹣1，2），
由B中的不等式变形得：log2x＞0=log21，得到x＞1，
∴B=（1，+∞），
则A∩B=（1，2）；A∪B=（﹣1，+∞）；
（Ⅱ）∵A=（﹣1，2），B=（1，+∞），A﹣B={x|x∈A且x∉B}，
∴A﹣B=（﹣1，1]；B﹣A=[2，+∞）．
21．已知指数函数f（x）=a x（a＞0，a≠1）．
（Ⅰ）若f（x）的图象过点（1，2），求其解析式；
（Ⅱ）若，且不等式g（x2+x）＞g（3﹣x）成立，求实数x的取值范围．
【考点】指数函数综合题．
【分析】（Ⅰ）由f（x）=a x（a＞0，a≠1）的图象过点（1，2），求得a=2，可得f（x）的解析式．
（Ⅱ）由以上可得g（x）的解析式，由解析式可得函数g（x）在定义域上单调递增，故由不等式g（x2+x）＞g（3﹣x）成立，可得x2+x＞3﹣x，由此解得x的范围
【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=a x（a＞0，a≠1）的图象过点（1，2），∴a=2，∴f（x）=2x．（Ⅱ）由以上可得，∵g（x）在定义域上单调递增，
∴由不等式g（x2+x）＞g（3﹣x）成立，可得x2+x＞3﹣x，即x2+2x﹣3＞0，解得x∈（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）．
22．已知函数f（x），当x，y∈R时，恒有f（x+y）=f（x）+f（y）．当x＞0时，f（x）＞0 （1）求证：f（x）是奇函数；
（2）若f（1）=，试求f（x）在区间[﹣2，6]上的最值．
【考点】函数奇偶性的性质；函数的最值及其几何意义．
【分析】（1）在给出的等式中取x=y=0，求得f（0）=0，再取y=﹣x可证明f（x）是奇函数；
（2）利用函数单调性的定义，借助于已知等式证明函数f（x）为增函数，从而求出函数在给定区间上的最值．
【解答】解：（1）令x=0，y=0，则f（0）=2f（0），
∴f（0）=0．令y=﹣x，则f（0）=f（x）+f（﹣x），
∴f（x）=f（﹣x），即f（x）为奇函数；
（2）任取x1，x2∈R，且x1＜x2
∵f（x+y）=f（x）+f（y），
∴f（x2）﹣f（x1）=f（x2﹣x1），
∵当x＞0时，f（x）＞0，且x1＜x2，
∴f（x2﹣x1）＞0，
即f（x2）＞f（x1），
∴f（x）为增函数，
∴当x=﹣2时，函数有最小值，f（x）min=f（﹣2）=﹣f（2）=﹣2f（1）=﹣1．
当x=6时，函数有最大值，f（x）max=f（6）=6f（1）=3；
2016年11月28日。