自动控制原理 孟华 第4章习题解答

4-1如果单位反馈控制系统的开环传递函数
1
)(+=
s K s G 试用解析法绘出K 从零向无穷大变化时的闭环根轨迹图，并判断下列点是否在根轨迹上： (-2，j 0)，(0+j 1)，( -3+j 2)。

解：根轨迹如习题4-1答案图所示。

（-2，+j 0）在根轨迹上；(0,+j 1), (-3, +j 2) 不在根轨迹上。

习题4-1答案图
4-2设单位反馈控制系统的开环传递函数。

)12()
13()(++=s s s K s G
试用解析法给出开环增益K 从零增加到无穷时的闭环根轨迹图。

解： 解析法：K =0时：s =-1/2，0；K =1：s =-12；K =-∞：s =-∞，-1/3。

根轨迹如习题4-2答案图所示。

习题4-2答案图
4-3 已知系统的开环传递函数)
1()
1()()(-+=
s s s K s H s G ，试按根轨迹规则画出该系统的根轨
迹图，并确定使系统处于稳定时的K 值范围。

解：分离点：0.414；会合点：-2.414 ；与虚轴交点：±j 。

稳定的K 值范围：K >1。

根轨迹如习题4-3答案图所示。

习题4-3答案图
4-4已知一单位反馈系统的开环传递函数为
2
*
)
4)(1)(1()(+-+=s s s K s G （1）试粗略画出K *由0到∞的根轨迹图；（2）分析该系统的稳定性。

解：稳定性分析：系统不稳定。

根轨迹如习题4-4答案图所示。

Root Locus
Real Axis
I m a g i n a r y A x i s
习题4-4答案图
4-5 设控制系统的开环传递函数为)
164)(1()
1()()(2
*++-+=s s s s s K s H s G ，试绘制系统根轨
迹图，并确定使系统稳定的开环增益范围。

解：渐近线：θ =±60°，180°；σ =-2/3；复数极点出射角 55°；分离会合点0.46和-2.22；与虚轴交点1.57和2.56；使系统稳定的开环增益为1.46 ＜K ＜2.23 (即23.4 ＜K *＜35.7)。

习题4-5答案图
4-6 已知系统的特征方程为
0)4()3)(1)(3)(1(2=++--++s K s s s s
试概略绘出K 由0→∞时的根轨迹（计算出必要的特征参数）。

解：渐近线：θ =±90°，σ =0；分离点±2，相应K =1.88；会合点±j 3.46，相应K =34.14；复数零点入射角 90°；无论K 为何值系统均不稳定。

习题4-6答案图
4-7反馈系统的特征方程为
0)160(123234=+-+++K s K s s s
作出0< K <∞的根轨迹，并求出系统稳定时所对应的K 值范围。

解：渐近线：θ =±60°，180°；σ =-2/3；复数极点出射角 63°；分离点：1.6 ，会合点：-3.43。

由图可知系统在任何K 值下都是不稳定的。

习题4-7答案图
4-8 已知闭环系统的特征方程为0)1()(2=+++s K a s s 。

(1)画出a =10时的根轨迹，并说明系统的过渡过程为单调变化和阻尼振荡时K 的取值范围；
(2)确定根轨迹具有一个非零分离点的a 值，并画出相应的根轨迹；
(3)在(2)中确定的a 值下，求闭环传递函数具有二重极点时所对应的K 值；
(4)画出a =5时的根轨迹。

当K =12时，已知一个闭环极点为-s 1= -2，问该系统能否等效为一个二阶系统？
解：（1）渐近线：θ =±90°，σ =-4.5；会合点：-2.5，分离点：-4。

阻尼振荡时K 的取值范围为（0，31.3）（32，∞），呈单调变化时K 的取值范围为（31.3，32）。

习题4-8（1）答案图
（2）具有一个非零分离点的a=9。

习题4-8（2）答案图
（3）a =9时，闭环二重极点s 1,2=-3对应的K =27。

（4）渐近线：θ =±90°，σ =-2；不能等效。

画出a =5时的根轨迹。

Root Locus
Real Axis
I m a g i n a r y A x i s
习题4-8（4）答案图
4-9设单位反馈系统的开环传递函数为
)
()(a s s K
s G +=
试绘出K 和a 从零变到无穷大时的根轨迹簇；当K = 4时，绘出以a 为参变量的根轨迹。

解：令a =0 绘制K 为参变量的根轨迹如习题4-9答案图之一所示。

习题4-9答案图之一
当K 取不同值时，绘出a 变化的根轨迹簇如习题4-9答案图之二所示。

当K = 4时，画a 从零到无穷大时的根轨迹如图中粗线示。

习题4-9答案图之二
4-10设单位反馈系统的开环传递函数为
)
1)(1()(++=
s T s s K
s G α
其中开环增益K 可自行选定，试分析时间常数T a 对系统性能的影响。

解：重做该题。

等效开环传递函数
[]2'
2
(1)
()T s s G s s s K α+=++
当K ≤0.25时，[ G (s )] ’具有实数极点。

取任何正实数T a 系统都是稳定的。

选择K =0.1画根轨迹如习题4-10答案图之一所示。

Root Locus
Real Axis
I m a g i n a r y A x i s
习题4-10答案图之一
当K >0.25时，[ G (s )] ’具有复数极点。

取K =0.5，1，2，画根轨迹如习题4-10答案图之二所示。

当0<K ≤ 1时，取任何正实数T a 都是稳定的；当T a ≥ 1时，K <2，否则系统不稳定。

Root Locus
Real Axis
I m a g i n a r y A x i s
Root Locus
Real Axis
I m a g i n a r y A x i s
Root Locus
Real Axis
I m a g i n a r y A x i s
习题4-10答案图之二
4-11设控制系统中)
1()(2+=
s s K
s G ，1)(=s H 。

该系统在增益K 为任何正值时，均不稳
定。

试画出该系统的根轨迹图。

利用作出的根轨迹图，说明在负实轴上加一个零点，将G (s )改变为G 1(s )，即
)10()
1()
()(21≤≤++=a s s a s K s G
可以使系统稳定下来。

解：（1）渐近线：θ =±60°，180°；σ =-1/3。

画出根轨迹如习题4-11答案图之一所示。

（2）取a =0.5，渐近线：θ =±90°，σ =(a -1)/2。

画出根轨迹如习题4-11答案图之二所示。

从图中可以看出 增加开环零点后使得根轨迹向s 左半平面弯曲，从而使得闭环系统的稳定
性得到提高。

习题4-11答案图之一 习题4-11答案图之二
4-12 设控制系统开环传递函数为)
4)(2()
1()(2
+++=
s s s s K s G ，试分别画出正反馈系统和负反馈系统的根轨迹图，并指出它们的稳定情况有何不同。

解：负反馈系统：渐近线：θ =±60°，180°；σ =-5/3；与虚轴交点s =±1.414，K =12。

根轨迹如习题4-12答案图之一所示。

正反馈系统：渐近线：θ =0°，±120°；σ =-5/3；根轨迹如习题4-12答案图之二所示。

稳定情况的不同：正反馈系统恒不稳定，负反馈系统条件稳定，稳定范围0<K <12。

习题4-12答案图之一 习题4-12答案图之二
4-13已知系统如图4.23所示。

画出其根轨迹，并求出当闭环共轭复数极点呈现阻尼比ζ=0.707时，系统的单位阶跃响应。

图4.23 习题4-13图
解：ζ =0.707时系统的闭环极点为s 1,2 =-2±j 2，s 3 =-2。

此时，K =2。

根轨迹如习题4-13答案图所示。

当闭环共轭复数极点呈现阻尼比为0.707时系统的单位阶跃响应为
-2-2()12e cos(245)t t c t t =-+
习题4-13答案图
画一张响应曲线图：求c (t )。

已知16
()(2)(22)(22)
C s s s s j s j =
++++-
4-14系统的开环传递函数为)
5.0)(2()
52()()(2-++-=s s s s K S H s G 。

(1)绘制系统的根轨迹图；
(2)确定系统稳定时K 的取值范围；
(3)若要求系统单位阶跃响应的超调量为16.3％，确定相应的K 值。

解：(1)分离点：-0.41，K =0.24；复数零点入射角±200°；与虚轴交点±j 1.25。

根轨迹如习题4-14答案图所示。

(2)稳定时的k 的范围是：0.2<K <0.75。

(3)单位阶跃响应的超调量为16.3%时K 的值为0.311。

习题4-14答案图
4-15已知系统的信号流图如图4.24所示。

且可变系数α ≥０ (1)证明该系统实轴以外部分的参数根轨迹为半圆周。

(2)完整准确地画出系统的参数根轨迹。

(3)以根轨迹为依据，求出满足系统阻尼比ζ =0.5时的α 值。

图4.24 习题4-15图
解：（1）证明略。

（2）会合点s =-1；复数极点出射角±180°；根轨迹如习题4-15答案图所示。

（3）ζ =0.5时的α =0.999。

习题4-15答案图
4-16设控制系统如图4.25所示，试概略绘出K t =0，0<K t <1，K t >1时的根轨迹和单位阶跃响应曲线。

若取K t =0.5，试求出K =∞时的闭环零极点，并估算出系统的动态性能。

图4.25 习题4-16图
解：（1）K t =0时的根轨迹和单位阶跃响应曲线如习题4-16答案图之一所示。

习题4-16答案图之一 响应曲线不对
已知2
()()
K
C s s s s K =
++，请选K =0.5做响应曲线。

此时ζ =0.707。

（2）0<K t <1，取K t =0.5时，根轨迹和单位阶跃响应曲线如习题4-16答案图之二所示。

习题4-16答案图之二 响应曲线不对
已知2
()(05)
K
C s s s s K +.Ks =
++，请选K =1做响应曲线。

（3）K t >1，取K t =2时，根轨迹和单位阶跃响应曲线如习题4-16答案图之三所示。

习题4-16答案图之三 响应曲线重画
已知2
()(2)
K
C s s s s K +Ks =
++，请选K =1做响应曲线。

（4）闭环极点：-2；闭环零点：无；可等效为一阶系统，时间常数T =0.5。

估算系统性能：σ %≈0% t s ≈3T =1.5s
4-17系统结构如图4.26所示。

(1)试求当K 从0～∞时系统C (s )／N (s )的根轨迹图。

(2)若N (s )=1／s ，讨论K 值大小对输出响应的影响。

图4.26 习题4-17图
解：（1）复数零点的入射角为0°。

K >0特征根为一对共轭复数，系统稳定。

根轨迹曲线如习题4-17答案图所示。

Real Axis
I m a g i n a r y A x i s
习题4-17答案图
（2）K 值大小对输出响应的影响：K 值小时，σ %大，t s 长。