高考数学一轮复习 第八章 平面解析几何 第五节 椭圆学案 文-人教版高三全册数学学案

第五节椭圆
1.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质． 2．了解圆锥曲线的简单应用． 3．理解数形结合的思想．
知识点一 椭圆的定义
平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于______________的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
答案
常数(大于|F 1F 2|)
1．判断正误
(1)平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．( )
(2)动点P 到两定点A (0，－2)，B (0,2)的距离之和为4，则点P 的轨迹是椭圆．( ) 答案：(1)× (2)×
2．已知椭圆x 225＋y 2
16＝1上一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则P 到另一个焦点的距离
为________．
解析：⎩⎪⎨
⎪⎧
|PF 1|＝3，|PF 1|＋|PF 2|＝10
⇒|PF 2|＝7.
答案：7
知识点二 椭圆的标准方程和几何性质 标准方程
x 2a 2＋y 2
b 2＝1 y 2a 2＋x 2
b 2
＝1
(a >b >0) (a >b >0)
图形
性质
范围
－a ≤x ≤a
－b ≤y ≤b
－b ≤x ≤b
－a ≤y ≤a
对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A 1(－a,0)，A 2(a,0)
B 1(0，－b )，B 2(0，b )
A 1(0，－a )，A 2(0，a )
B 1(－b,0)，B 2(b,0)
轴 长轴A 1A 2的长为____；短轴B 1B 2的长为____
焦距 |F 1F 2|＝____
离心率
e ＝c
a ∈______ a ，
b ，c
的关系
c 2＝______
答案
2a 2b 2c (0,1) a 2－b 2
3．(选修1－1P42第2(1)题改编)已知椭圆x 2
m －2＋
y 2
10－m
＝1的焦点在x 轴上，焦距为4，
则m 等于( )
A ．8
B ．7
C ．6
D ．5
解析：因为椭圆x 2
m －2＋y
2
10－m
＝1的焦点在x 轴上．所以⎩⎪⎨⎪⎧
10－m >0，m －2>0，
m －2>10－m ，解得6<m <10.
因为焦距为4，所以c 2
＝m －2－10＋m ＝4，解得m ＝8.
答案：A
4．(选修1－1P42第5(3)题改编)已知椭圆的一个焦点为F (1,0)，离心率为1
2，则椭圆的
标准方程为________．
解析：设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)．因为椭圆的一个焦点为F (1,0)，离心率e
＝1
2
，所以⎩⎪⎨⎪⎧
c ＝1，c a ＝12，
a 2
＝b 2
＋c 2
，
解得⎩
⎪⎨⎪⎧
a ＝2c ＝2，
b 2
＝3，故椭圆的标准方程为x 24＋y 2
3
＝1.
答案：x 24＋y 2
3
＝1
5．(2016·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的右焦点，
直线y ＝b
2
与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是________．
解析：由题意可得B (－32a ，b 2)，C (32a ，b
2)，F (c,0)，则由∠BFC ＝90°得BF →·CF →
＝(c
＋
32a ，－b 2)·(c －32a ，－b 2)＝c 2－34a 2＋14b 2＝0，化简得3c ＝2a ，则离心率e ＝c a ＝2
3
＝63
. 答案：
63
热点一 椭圆的定义及标准方程
【例1】 (1)过椭圆4x 2
＋y 2
＝1的一个焦点F 1的直线与椭圆交于A ，B 两点，则A 与B
和椭圆的另一个焦点F 2构成的△ABF 2的周长为( )
A ．2
B ．4
C ．8
D ．2 2
(2)一个椭圆的中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，P (2，3)是椭圆上一点，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则椭圆的方程为( )
A.x 28＋y 26＝1 B ．x 216＋y 2
6＝1 C.x 24＋y 2
2
＝1 D ．x 28＋y 2
4
＝1
【解析】 (1)因为椭圆方程为4x 2
＋y 2
＝1，所以a ＝1.根据椭圆的定义，知△ABF 2的周长为|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝|AF 1|＋|BF 1|＋|AF 2|＋|BF 2|＝(|AF 1|＋|AF 2|)＋(|BF 1|＋|BF 2|)＝4a ＝4.
(2)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．由点P (2，3)在椭圆上知4a 2＋3
b 2＝1.又|PF 1|，
|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|，即2a ＝2×2c ，c a ＝12，又c 2＝a 2－b 2
，联
立⎩⎪⎨⎪⎧
4
a 2＋3
b 2＝1，
c 2
＝a 2
－b 2
，c a ＝12
得a 2＝8，b 2
＝6，故椭圆方程为x 28＋y 2
6
＝1.
【答案】 (1)B (2)A 【总结反思】
(1)椭圆定义的应用主要有两个方面：一是确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆；二是当P 在椭圆上时，与椭圆的两焦点F 1，F 2组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长；利用定义和余弦定理可求|PF 1|·|PF 2|；通过整体代入可求其面积等． (2)求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a ，b 的方程组．如果焦点位置不确定，可把椭圆方程设为mx 2
＋ny 2
＝1(m >0，n >0，m ≠n )的形式.
(1)已知动圆M 过定点A (－3,0)并且与定圆B ：(x －3)2＋y 2
＝64相切，则动圆圆心M 的轨
迹方程为( )
A.
x 216＋y 27＝1 B.x 27＋y 216＝1 C.
x 2
16－y 2
7
＝1 D.x 2
7－y 2
16
＝1 (2)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1→
⊥PF 2→
.
若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________.
解析：(1)因为点A 在圆B 内，所以过点A 的圆与圆B 只能内切，因为B (3,0)，所以|AB |＝6.所以|BM |＝8－|MA |，即|MB |＋|MA |＝8>|AB |，所以动点M 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭
圆，设其方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，又a ＝4，c ＝3，b 2
＝7，所以方程为x 216＋y 27
＝1.故选A.
(2)由题意知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，PF 1→
⊥PF 2→
，所以|PF 1|2
＋|PF 2|2
＝|F 1F 2|2
＝4c 2
，所以(|PF 1|＋|PF 2|)2
－2|PF 1||PF 2|＝4c 2
，所以2|PF 1||PF 2|＝4a 2
－4c 2
＝4b 2
.所以|PF 1||PF 2|＝2b 2
，所以S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|＝12
×2b 2＝b 2
＝9.所以b ＝3.
答案：(1)A (2)3 热点二 椭圆的几何性质
考向1 求椭圆的离心率(或取值范围)
【例2】 (2016·新课标全国卷Ⅲ)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)
的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( )
A.13
B.12
C.23
D.34
【解析】 设E (0，m )，则直线AE 的方程为－x a ＋y m ＝1，由题意可知M (－c ，m －mc a
)，(0，
m 2)和B (a,0)三点共线，则m －mc a －
m 2－c ＝m 2－a ，化简得a ＝3c ，则C 的离心率e ＝c a ＝1
3
. 【答案】 A
考向2 根据椭圆的性质求值或范围
【例3】 (1)(2017·安庆模拟)P 为椭圆x 216＋y 2
15＝1上任意一点，EF 为圆N ：(x －1)2
＋
y 2＝4的任意一条直径，则PE →·PF →
的取值范围是( )
A ．[0,15]
B ．[5,15]
C ．[5,21]
D ．(5,21)
(2)已知椭圆C ：x 24＋y 2
3
＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，椭圆C 上的点A 满足AF 2⊥F 1F 2，
若点P 是椭圆C 上的动点，则F 1P →
·F 2A →
的最大值为( )
A.32
B.332
C.94
D.154
【解析】 (1)PE →·PF →＝(PN →＋NE →)·(PN →＋NF →)＝(PN →＋NE →)·(PN →－NE →)＝PN →2－NE →2＝|PN →
|2
－4，因为a －c ≤|PN →|≤a ＋c ，即3≤|PN →|≤5，所以PE →·PF →
的范围是[5,21]．
(2)由椭圆方程知c ＝4－3＝1， 所以F 1(－1,0)，F 2(1,0)．
因为椭圆C 上点A 满足AF 2⊥F 1F 2，则可设A (1，y 0)，代入椭圆方程可得y 2
0＝94，所以y 0＝
±32
. 设P (x 1，y 1)，则F 1P →
＝(x 1＋1，y 1)，F 2A →
＝(0，y 0)，
所以F 1P →
·F 2A →
＝y 1y 0.
因为点P 是椭圆C 上的动点，
所以－3≤y 1≤3，F 1P →
·F 2A →
的最大值为33
2.
【答案】 (1)C (2)B
b ≤y ≤b,0<e <1等，在求与椭圆有关的一些量的范围，或者求这些量的最大值或最小值时，
经常用到这些不等关系． (2)求椭圆离心率的方法
①直接求出a ，c 的值，利用离心率公式直接求解．
②列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助于b 2
＝a 2
－c 2
消去b ，转化为含有e 的方程(或不等式)求解.
(1)已知椭圆E ：x 2
a
2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于4
5，则椭圆E 的离
心率的取值范围是( )
A.⎝ ⎛⎦
⎥⎤0，32 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，34 C.⎣⎢
⎡⎭
⎪⎫
32，1 D.⎣⎢⎡⎭
⎪⎫34，1 (2)(2017·安徽淮南一模)椭圆C ：x 24＋y 2
3＝1的左、右顶点分别为A 1、A 2，点P 在椭圆C
上且直线PA 2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA 1斜率的取值范围是( )
A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，34
B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1
C.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤38，34 D.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤34，1 解析：(1)不妨设左焦点为F 2，连接AF 2，BF 2，由椭圆的对称性可知四边形AFBF 2的对角线互相平分，所以四边形AFBF 2为平行四边形，所以|AF |＋|BF |＝|BF 2|＋|BF |＝2a ＝4，所以a ＝2，设M (0，b )，所以d ＝45b ≥4
5⇒b ≥1，所以e ＝
1－b 2a
2＝1－b 2
4
≤
1－14＝3
2
，又e ∈(0,1)，所以e ∈⎝ ⎛⎦
⎥⎤0，
32. (2)由题意，得A 1(－2,0)，A 2(2,0)，设P (x 0，y 0)(x 0≠±2)，则有x 204＋y 203＝1，整理，得y 20
x 2
0－4＝－34.因为k PA 1 ＝y 0x 0＋2，k PA 2 ＝y 0x 0－2，所以k PA 1 ·k PA 2 ＝y 2
0x 20－4＝－3
4，又k PA 2
∈[－2，
－1]，所以k
PA 1 ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤38，34，故选C. 答案：(1)A (2)C
热点三 直线与椭圆的位置关系
【例4】 (2016·四川卷)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的一个焦点与短轴的两个端点
是正三角形的三个顶点，点P (3，1
2
)在椭圆E 上．
(Ⅰ)求椭圆E 的方程；
(Ⅱ)设不过原点O 且斜率为1
2
的直线l 与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为
M ，直线OM 与椭圆E 交于C ，D ，证明：|MA |·|MB |＝|MC |·|MD |.
【解】 (Ⅰ)由已知，a ＝2b .
又椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)过点P (3，12)，故34b 2＋14
b
2＝1，解得b 2
＝1，所以椭圆E 的方程
是x 2
4
＋y 2
＝1.
(Ⅱ)证明：设直线l 的方程为y ＝1
2
x ＋m (m ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由方程组
⎩⎪⎨⎪⎧
x 2
4＋y 2
＝1，y ＝12x ＋m ，
得x 2＋2mx ＋2m 2
－2＝0，①
方程①的判别式为Δ＝4(2－m 2)，由Δ>0，即2－m 2
>0，解得－2<m < 2. 由①得x 1＋x 2＝－2m ，x 1x 2＝2m 2
－2，
所以M 点的坐标为(－m ，m 2)，直线OM 的方程为y ＝－1
2x ，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧
x 2
4＋y 2
＝1，y ＝－1
2x ，
得
C (－2，
22)，D (2，－22)或C (2，－22)，D (－2，2
2
)． 所以|MC |·|MD |＝
52(－m ＋2)·52(2＋m )＝54
(2－m 2
)．
又|MA |·|MB |＝14|AB |2＝14[(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2]＝516[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝516[4m 2－4(2m
2
－2)]＝54(2－m 2
)，所以|MA |·|MB |＝|MC |·|MD |.
【总结反思】
(1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题用“点差法”解决，往往会更简单．
(2)设直线与椭圆的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则|AB |＝1＋k
2
[x 1＋x 2
2
－4x 1x 2]
＝
⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋1k 2[y 1＋y
22
－4y 1y 2](k 为直线斜率).
设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2
a
2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的左、右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直．直线MF 1与C 的另一个交点为N .
(1)若直线MN 的斜率为3
4
，求椭圆C 的离心率；
(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN |＝5|F 1N |，求a ，b .
解：(1)根据a 2－b 2＝c 2及题设知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，b 2
a 2c ＝34，得2
b 2
＝3ac .
将b 2＝a 2－c 2代入2b 2
＝3ac ，解得c a ＝12，c a
＝－2(舍去)．
故椭圆C 的离心率为1
2
.
(2)设直线MN 与y 轴的交点为D ，
由题意，原点O 为F 1F 2的中点，MF 2∥y 轴，
所以直线MF 1与y 轴的交点D (0,2)是线段MF 1的中点，故b 2a
＝4，即b 2
＝4a .①
由|MN |＝5|F 1N |得|DF 1|＝2|F 1N |. 设N (x 1，y 1)，由题意知y 1<0，则
⎩
⎪⎨
⎪⎧
2－c －x 1＝c ，
－2y 1＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧
x 1＝－32c ，
y 1＝－1.
代入C 的方程，得9c 2
4a 2＋1
b 2＝1.②
将①及a 2
－b 2
＝c 2
代入②得
9
a 2－4a 4a 2
＋1
4a
＝1. 解得a ＝7，b 2
＝4a ＝28， 故a ＝7，b ＝27.
1．涉及椭圆定义的题目，要抓住“椭圆上任一点到两焦点距离之和等于2a ”这个特征．充分利用定义．“回到定义中去”是一个很重要的思想方法．
2．求椭圆方程的方法
(1)直接法：根据所给条件判断焦点位置，并确定a ，b 的值，按标准方程写出方程，其中难点为确定a ，b 的值．
(2)待定系数法：先设出字母系数的方程，根据条件建立字母系数的方程并求解，然后代入所设方程而得方程，其中难点是建立字母系数的方程．
3．离心率是椭圆的重要几何性质，是高考重点考查的一个知识点．这类问题一般有两类：一类是根据一定的条件求椭圆的离心率；另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围．无论是哪类问题，其难点都是建立关于a ，b ，c 的关系式(等式或不等式)，并且最后要把其中的b 用a ，c 表达，转化为关于离心率e 的关系式，这是化解有关椭圆的离心率问题难点的根本方法．
4．直线与圆锥曲线的关系问题，一般可以直接联立方程，把方程组转化成关于x 或y 的一元二次方程，利用根与系数的关系及弦长公式求解．。