直线与椭圆的位置关系(高中数学课件)

2
两边同除(x1-x2 )得
x1 x2 4
y y
1
2
y y
1
2 0
x2 x2
-4
M(2,1)
4
0
x
即4+8k=0 ∴k= 1
-2
.
∴弦所在的直线方程为y-1=
12(x-2)
2
即x+2y-4=0
评：※.本解法设了两个端点的坐标，而我们并没
有真的求出它们，而是通过适当变形，得到了 x1 x2 4
y 1
y 2
y y
1
2
x2 x2
0
从而揭示了弦所在的直线斜率k与弦中点坐标(x0,y0)之间在椭圆标准方 程的前提下的关系：mx0+ny0k=0 . 显得很简便. ※.但在解题过程中应注意考虑x1≠x2的条件！如果有这种可能性，可采 用讨论的方法，先给以解决. 如果不可能有这种情况，则应先说明
练习：在椭圆 x2 4 y 2 16中，求通过点M
4、过椭圆 x2+2y2=4 的左焦点作倾斜角为300的直线，
则弦长 |AB|= _______ ,
5、求椭圆 x2 y2 1 被过右焦点且垂直于x轴 4
的直线所截得的弦长。
6这、弦如所果在椭直圆线被方3程x62 为 y（92 1
的弦被（4，2）平分，那么 ）
A、x-2y=0 B、x+2y- 4=0
的弦被（4，2）平分，那么 ）
A、x-2y=0 B、x+2y- 4=0
C、2x+3y-12=0 D、x+2y-8=0
7、中心在原点，一个焦点为F（0， 50）的椭圆被
直线 y=3x-2所截得弦的中点横坐标是1/2，求椭圆
方程。
8.已知 A(2, 3), F是 x2 y 2 1的右焦点，点 M 为椭圆的 16 12
3 的动点，求:（1）|PA | + 2 | PF1 | 的最小值；
（2）|PA | +| PF1 |的最大值和最小值．
（2）设右焦点为 F2 , 欲求 PA PF1 的最大
值．怎样使它与 PF1 PF2 联系在一起呢？
PA PF1 2a PF2 PA 2a PA PF2
6 AF2 6 2 数形结合 简便直观
m 1,n 3
2. 3
所求的椭圆方程为
x2 3
2y2 1 3
（四）.椭圆中的最值问题
1.过椭圆 x2 y的2 右1 焦点与x轴垂直的直线与椭圆 13 12
交于A,B两点，求弦长|AB|
2.已知椭圆 x2 y2 1，直线l：4x - 5y 40 0.椭圆上 25 9
是否存在一点，它到直线l的距离最小？
AB 1 k 2 x1 x2
解：由方程组
mx2 ny 2 1
x y 1
消去 y 整理得： (m n)x2 2nx n 1 0
设A(x1, y1)、B(x2 , y2 )、C(x3 , y3 )
则x1
x2
2n mn
, x1 x2
n 1 , mn
y1
y2
2 ( x1
x小？
最小距离是多少？
y
解得k1=25，k2 =-25
由图可知k 25，
x
直线m与椭圆的交点到直线l的距离最近。 o
且d 40 25 15 41 42 52 41
思考：最大的距离是多少？
3.如果点Ａ的坐标为（１，１），F1是椭圆
5x2 9 y2 45 的左焦点，点Ｐ是椭圆上
最小距离是多少？
y
解：
设直线m平行于l，
x
则l可写成：4x 5y k 0
o
4x 5y k 0
由方程组
x2
y2
25 9 1
消去y，得25x2 8kx k 2 - 225 0
由 0，得64k2 - 4 2（5 k2 - 225） 0
2.已知椭圆 x2 y2 1，直线l：4x - 5y 40 0.椭圆上 25 9
作业
1.K为何值时,直线y=kx+2和曲线2x2+3y2=6有两个 公共点?有一个公共点?没有公共点?
2.无论k为何值,直线y=kx+2和曲线
x2 9
y2 4
1
交点情况满足( )
A.没有公共点 B.一个公共点
C.两个公共点 D.有公共点
3、y=kx+1与椭圆 x2 y2 1 恰有公共点，则m的范围
2n mn
2m mn
x0
x1 x2 2
n m n , y0
y1 y2 2
m, mn
则由题设得:m 2 ①
n2
又 AB 1 k 2 x1 x2 (1 k 2 ) (x1 x2 )2 4x1x2
2
(
2n m
n
)2
4(n 1) m n
2
2
即： m n mn 1 ②
mn
解①②得
（三）.中点弦问题
例1.椭圆 x2 y2 1,设直线y 1 x 1与椭圆交于
16 4
2
A、B两点，求线段AB的中点坐标。
总结:
弦中点问题的两种处理方法： （1）联立方程组，消去一个未知数， 利用韦达定理； （2）设两端点坐标，代入曲线方程相 减可求出弦的斜率。
练习:中心在原点一个焦点为F1(0, 50 )的
即得(1+4k2)x2-(16k2-8k)x+16k2-16k-12=0
∵直线与椭圆有两个交点,
故 △=16(k2+4k+3)>0①
又
M(2,1) 0
4
x
-2
x1
2
x2
16k 2 8k 1 4k2
2
②
两式联立解得k= 1 2
，∴直线方程为x+2y-4=0.
评：※.本例在解题过程中，充分考虑
了椭圆与直线相交有两个交点这一事实，
动点，求 MA 2 MF 的最小值，并求出此时点 M 的坐标。
由此得出△=16(k2+4k+3)>0，又利用了
中点坐标，列出了方程，从而使问题得到
解决.这种方法是常用的方法，大家务必
掌握.
k 2 4k 3
但是，这种解法显得较繁
（特别是方程组 16(
16 k 2 8k 1 4k2
4
)>0显得较繁 ）
例2：在椭圆x2+4y2=16中，求通过点M（2，1） 且被这一点平分的弦所在的直线方程.
解二：设弦的两个端点分别为P(x1,y1) , Q(x2,y2)
则 x1+x2=4, y1+y2=2
∵在P(x1,y1) , Q(x2,y2)椭圆上, 故有x12+4y12=16 x22+4y22=16
两式相减得(x1+x2 )(x1-x2 )+4( y1+y2) ( y1-y2)=0
y
∵点M（2，1）是PQ的中点, 故x1≠x2，
椭圆的截直线 y 3x 2 所得弦的中点横
坐标为 1 ，求椭圆的方程．
2
分析：根据题意可设椭圆的标准方程， 与直线方程连里解方程组，利用中点公式求
得弦的中点的横坐标，最后解关于 a,b 的方
程组即可．
解：设所求椭圆的方程为
x2 a2
y2 b2
1
由 F (0, 50 ) 得 a2 b2 50 ① 把直线方程代入椭圆方程，整理得
2.无论k为何值,直线y=kx+2和曲线
x2 9
y2 4
1
交点情况满足( )
A.没有公共点 B.一个公共点
C.两个公共点 D.有公共点
3、y=kx+1与椭圆 x2 y2 1 恰有公共点，则m的范围
（）
36 9
A、（0，1） B、（0，5 ）
C、[ 1，5）∪（5，+ ∞ ） D、（1，+ ∞ ）
（1，1）且被这一点平分的弦所在的直线方程.
综合：已知椭圆 mx 2 ny2 1 与直线
x y 1 相交于 AB 两点，c是的 AB 中 oc 点．若 AB 2 2 ， 斜率为 2（Ｏ为原点），
2
求椭圆方程． 分析：本例是一道综合c 性比较强的问题，求解 本题要利用中点公式求出点坐标，从而得的斜 率，另外还要用到弦长公式：
4.
5.设AB为过椭圆
x2 y2 1 25 16
的中心的
弦,F1是左焦点,求ABF1 的面积的最大值.
F1 B
A O F2
小 结:
1、直线与椭圆的三种位置关系及等价条件；
2、弦长的计算方法：
（1）垂径定理：|AB|= 2 r 2 d 2 （只适用于圆）
（2）弦长公式：
|AB|= 1 k 2 （x1 x2）2 4x1x2
C、2x+3y-12=0 D、x+2y-8=0
7、中心在原点，一个焦点为F（0， 50）的椭圆被 直线 y=3x-2所截得弦的中点横坐标是1/2，求椭圆 方程。
8.已知 A(2, 3), F是 x2 y2 1的右焦点，点 M 为椭圆的动点， 16 12
求 MA 2 MF 的最小值，并求出此时点 M 的坐标。
(a2 b2 )x2 12b2 x b2 (4 a2 ) 0
设弦的两个端点为 A(x1, y1) ， B(x2, y2 ) ，则由
根与系数的关系得
x1
x2
12b2 a2 9b2
又中点的横坐标为
1 2
．由此得
a2
3b2
解①、②得： a 2 75, b2 25
.故所求的椭圆方程为:
y2 x2 1 75 25
=
1
1 k2
（y1 y2）2 4 y1 y2
（适用于任何曲线）
3、弦中点问题的两种处理方法： （1）联立方程组，消去一个未知数，利用韦达定理； （2）设两端点坐标，代入曲线方程相减可求出弦的斜率。
作业
1.K为何值时,直线y=kx+2和曲线2x2+3y2=6有两个 公共点?有一个公共点?没有公共点?
（）
36 9
A、（0，1） B、（0，5 ）
C、[ 1，5）∪（5，+ ∞ ） D、（1，+ ∞ ）
4、过椭圆 x2+2y2=4 的左焦点作倾斜角为300的直线，
则弦长 |AB|= _______ ,
5、求椭圆 x2 y2 1 被过右焦点且垂直于x轴 4
的直线所截得的弦长。
6这、弦如所果在椭直圆线被方3程x62 为 y（92 1
例2：在椭圆x2+4y2=16中，求通过点M（2，1） 且被这一点平分的弦所在的直线方程.
y
2
解一：（显然，只须求出这条直线的斜率即可）
如果弦所在的直线的斜率不存在，
即直线垂直于x轴，
-4
则点M（2，1）显然不可能是这条弦的中点。
故可设弦所在的直线方程为y=k(x-2)+1，
代入椭圆方程得x2+4[k(x-2)+1]2=16