山东省武城县第二中学高二数学下学期第一次月考试题 理

高二年级第二学期第一次月考数学试题（理）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1. 下列求导运算正确的是 A ．21
1)1(x
x x +='+
B ．x x x x sin 2)cos (2-='
C ．e x
x 3log 3)3(='
D ．2
ln 1
)(log 2x x =
2. 一点沿直线运动，如果由起点起经过t 秒后距离32
112132s t t t =--+，那么速度为零的时
刻是
A ．1秒末
B ．2秒末
C ．3秒末
D ．4秒末
3. 用反证法证明“若3<++c b a ，则a ，b ，c 中至少有一个小于1”时，“假设”应为（ ）
A ．假设a ，b ，c 至少有一个大于1
B ．假设a ，b ，c 都大于1
C ．假设a ，b ，c 至少有两个大于1
D ．假设a ，b ，c 都不小于1
4.
1
1
()e
x dx x
+⎰
=
A ．2
e
B ．212e +
C ．212e -
D ．232
e +
5. 函数14ln )(+-=x x x f 的递减区间为
A ．（0，
4
1
） B ．（0，4） C ．（﹣∞，
41） D ．（4
1
，+∞） 6. 设函数()f x 的导函数为()f x '，且()()221f x x x f '=+⋅，则()0f '等于
A ．0
B ．4-
C ．2-
D ．2
7. 已知3
2
()(6)1f x x ax a x =++++有极大值和极小值，则a 的取值范围为
A ．12a -<<
B ．36a -<<
C ．12a a <->或
D ．36a a <->或 8. 函数x x x f cos )(+=在],0[π上的
A ．最小值为0，最大值为
2
π
B ．最小值为0，最大值为12+π
C ．最小值为1，最大值为
2
π
D ．最小值为1，最大值为1-π
9.若函数a x x x f +-=3)(3
有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是
A ．（﹣2，2）
B ．[﹣2，2]
C ．（﹣∞，﹣1）
D ．（1，+∞）
10. 设函数)(x f 在R 上可导，其导函数为)(x f '，且函数)(x f 在2-=x 处取得极小值，
则
函数)(x f x y '=的图象可能是（ ）
A. B . C.
D.
11. 设函数3
2
2
()3(1)1f x kx k x k =+--+在区间(0,4)上是减函数，则k 的取值范围是 A ．13
k <
B ．103
k <≤
C ．103
k ≤≤
D ．13
k ≤
12. 设函数)(x f '是奇函数))((R x x f ∈f （x ）的导函数，0)2(=-f ，当0>x 时，
0)()(<-'x f x f x ，则使得0)(>x f 成立的x 的取值范围是
A ．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）
B ．（﹣2，0）∪（2，+∞）
C ．（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，0）
D ．（0，2）∪（2，+∞）
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．） 13. 曲线x
e x y +=sin 在点（0，1）处的切线方程是 ． 14. 曲线2
x y =与直线x y =所围成图形的面积为 ．
15. 一个正整数数表如表所示（表中下一行中数的个数是上一行中数的个数的2倍），则第8行中的第3个数是________．
16. 已知函数x
e ，现给出下列结论：
①f（x ）有极小值，但无最小值 ②f（x ）有极大值，但无最大值 ③若方程f （x ）=b 恰有一个实数根，则b ＞6e ﹣3 ④若方程f （x ）=b 恰有三个不同实数根，则0＜b ＜6e ﹣3 其中所有正确结论的序号为 .
三、解答题（本大题共6个小题，满分70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）
17.（本小题10分）求过点(1，－1)的曲线3()2f x x x =-的切线方程．
18.（本小题12分）已知函数)()(2
2
3
R b a a bx ax x x f ∈+++=、
（1）若函数)(x f 在1=x 处有极值为10，求b 的值；
（2）若)(,4x f a -=在]2,0[∈x 上单调递增，求b 的最小值．
19.（本小题12分）已知函数a x x x x f -+-
=62
9)(2
3． （1）对任意实数x ，m x f ≥')(恒成立，求m 的最大值； （2）若函数)(x f 恰有一个零点，求a 的取值范围．
20.（本小题12分）统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y （升）关于行驶速度x （千米/小时）的函数解析式可以表示为：
已知甲、乙两地相距100千米.
（Ⅰ）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？ （Ⅱ）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？
21.（本小题12分）设函数2)(--=ax e x f x
.
（Ⅰ）求)(x f 的单调区间；
（Ⅱ）若1=a ，k 为整数，且当0>x 时，01)()(>++'-x x f k x ，求k 的最大值．
22.（本小题12分）已知x
x
x g e x x ax x f ln )(],,0(,ln )(=
∈-=，其中e 是自然常数，.a R ∈ （1）讨论1=a 时, ()f x 的单调性、极值；
（2）求证：在（Ⅰ）的条件下，1()()2
f x
g x >+
; （3）是否存在实数a ，使()f x 的最小值是3，若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由.
高二数学月考试题答案（理科）
一．选择题：1.D 2.B 3.D 4.B 5.C 6.A 7.D 8.D 9.A 10.C 11.D 12.A
二．填空题：13.2x ﹣y+1=0 14. 15.130 16.②④ 三．解答题：
17．解： 设P (x 0，y 0)为切点，则切线的斜率为f ′(x 0)＝3x 2
0－2.------2分 故切线方程为y －y 0＝(3x 2
0－2)(x －x 0)，--------4分
即y －(x 30－2x 0)＝(3x 2
0－2)(x －x 0)，又知切线过点(1，－1)，代入上述方程， 得－1－(x 3
0－2x 0)＝(3x 2
0－2)(1－x 0)-------6分 解得x 0＝1或x 0＝－1
2
，------8分
故所求的切线方程为y ＋1＝x －1或y ＋1＝－5
4(x －1)．
即x －y －2＝0或5x ＋4y －1＝0. ----------------10分
18.解：（1）由题f （x ）=ax 3
+bx+c ，可得f′（x ）=3ax 2
+b ，------1分 又函数在点x=2处取得极值c ﹣16
∴，即，-----3分
化简得解得a=1，b=﹣12------4分
（2）由（I ）知f （x ）=x 3﹣12x+c ，f′（x ）=3x 2﹣12=3（x+2）（x ﹣2） 令f′（x ）=3x 2﹣12=3（x+2）（x ﹣2）=0，解得x 1=﹣2， x 2=2------5分
当x∈（﹣∞，﹣2）时，f′（x ）＞0，故f （x ）在∈（﹣∞，﹣2）上为增函数； 当x∈（﹣2，2）时，f′（x ）＜0，故f （x ）在（﹣2，2）上为减函数；
当x∈（2，+∞）时，f′（x ）＞0，故f （x ）在（2，+∞）上为增函数；-----7分 由此可知f （x ）在x 1=﹣2处取得极大值f （﹣2）=16+c ，f （x ）在x 2=2处取得极小值 f （2）=c ﹣16，------9分
由题设条件知16+c=28得，c=12------10分
此时f （﹣3）=9+c=21，f （3）=﹣9+c=3，f （2）=﹣16+c=﹣4-----11分 因此f （x ）在[﹣3，3]上的最小值f （2）=﹣4 ------12分 19.解：（1）f′（x ）=3x 2
﹣9x+6----------1分
=3（x ﹣）2
﹣≥﹣，----------2分
对任意实数x ，f'（x ）≥m 恒成立，可得m≤f′（x ）的最小值，---------3分
即有m≤﹣，可得m 的最大值为﹣；---------4分 （2）f′（x ）=3x 2
﹣9x+6=3（x ﹣1）（x ﹣2），---------5分 f'（x ）＞0⇒x ＞2或x ＜1；f'（x ）＜0⇒1＜x ＜2，-------7分 ∴f（x ）在（﹣∞，1）和（2，+∞）上单增，在（1，2）上单减，
∴，---------9分
函数f （x ）恰有一个零点，可得﹣a ＜0或2﹣a ＞0，---------10分
解得a ＜2或a ＞．可得a 的取值范围是（﹣∞，2）∪（，+∞）．------12分 20.解：（Ⅰ）当40x =时，汽车从甲地到乙地行驶了分
分
答当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油17.5升……5分
小时，设油耗为()h x 升， 1008)x =（0120x <≤）…7分
（0120x <≤）……………8分 令()0h x '=，解得80x =，列表得
……………10分
所以当80x =时，()h x 有最小值(80)11.25h =．………………11分
答：当汽车以80千米／小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少,最少为11.25升．………12分
21.解：（I ）函数f （x ）=e x ﹣ax ﹣2的定义域是R ，f′（x ）=e x ﹣a ，……1分
若a≤0，则f′（x ）=e x ﹣a≥0，所以函数f （x ）=e x ﹣ax ﹣2在（﹣∞，+∞）上单调递增．…3分
若a ＞0，则当x∈（﹣∞，lna ）时，f′（x ）=e x ﹣a ＜0； 当x∈（lna ，+∞）时，f′（x ）=e x ﹣a ＞0；
所以，f （x ）在（﹣∞，lna ）单调递减，在（lna ，+∞）上单调递增．…5分 （II ）由于a=1，所以，（x ﹣k ） f´（x ）+x+1=（x ﹣k ） （e x ﹣1）+x+1
故当x ＞0时，（x ﹣k ） f´（x ）+x+1＞0等价于k ＜
（x ＞0）①……7分
令g （x ）=，则g′（x ）=……8分
由（I ）知，当a=1时，函数h （x ）=e x ﹣x ﹣2在（0，+∞）上单调递增， 而h （1）＜0，h （2）＞0，……9分
所以h （x ）=e x
﹣x ﹣2在（0，+∞）上存在唯一的零点，
故g′（x ）在（0，+∞）上存在唯一的零点，设此零点为α，则有α∈（1，2） 当x∈（0，α）时，g′（x ）＜0；当x∈（α，+∞）时，g′（x ）＞0； 所以g （x ）在（0，+∞）上的最小值为g （α）．……10分 又由g′（α）=0，可得e α=α+2所以g （α）=α+1∈（2，3） 由于①式等价于k ＜g （α），故整数k 的最大值为2． ……12分 22.解：（Ⅰ） x x x f ln )(-=，x
x x x f 1
11)(-=-
=' ……1分 ∴当10<<x 时，/
()0f x <，此时()f x 单调递减
当e x <<1时，/
()0f x >，此时()f x 单调递增 ……3分 ∴()f x 的极小值为1)1(=f ……4分 （Ⅱ） ()f x 的极小值为1，即()f x 在],0(e 上的最小值为1， ∴ 0)(>x f ，min ()1f x = ……5分 令2
1ln 21)()(+=+
=x x x g x h ，x x
x h ln 1)(-='， ……6分
当e x <<0时，0)(>'x h ，()h x 在],0(e 上单调递增 ……7分 ∴min max |)(|12
1
21211)()(x f e e h x h ==+<+=
= ∴在（1）的条件下，1
()()2
f x
g x >+
……9分 （Ⅲ）假设存在实数a ，使x ax x f ln )(-=（],0(e x ∈）有最小值3，
/1()f x a x =-
x
ax 1-= ……9分
① 当0≤a 时，)(x f 在],0(e 上单调递减，31)()(min =-==ae e f x f ，e
a 4
=（舍去），所以，此时)(x f 无最小值. ……10分 ②当e a
<<
10时，)(x f 在)1,0(a 上单调递减，在],1
(e a 上单调递增
3ln 1)1
()(min =+==a a
f x f ，2e a =，满足条件. ……11分
③ 当
e a ≥1时，)(x
f 在],0(e 上单调递减，31)()(min =-==ae e f x f ，e
a 4
=（舍去），所以，此时)(x f 无最小值.综上，存在实数2
e a =，使得当],0(e x ∈时()
f x 有最小值3. ----------------12分。