北师大版高一数学试卷(含答案)(必修一、五)

一、单选题
1.设集合,则（）
A ．B．C．D．
【答案】B
2.已知，则向量在方向上的投影为（）A．B．C．D．
【答案】B
由题意得：
向量在方向上的投影为：
本题正确选项：
3．已知，，则a，b，c的大小关系为（）
A．B．C．D．
【答案】D
，，因为，所以，
，故,
故选：D.
4.已知为等差数列，其前项和为，若，，则公差等于（）A．B．C．D．
【答案】C
由题意可得，又，
所以,故选C.
5．若，则（）
A．B．C．1D．
【答案】C
【详解】
∵,
∴,
故选:C.
6．已知等差数列的前项和为，，，则数列的前2020项和为（）
A．B．C．D．
【答案】A
因为数列是等差数列，所以.
设公差为，因为，
所以解方程组得
所以数列的通项公式为，
所以.设为数列的前项和，
则
∴
7．如图是函数的部分图象２，则该解析式为
（）
A．B．
C．D．
根据图象可得：，最小正周期，
，经过，，
，，
，
所以，
所以函数解析式为：.
故选：D
8．已知函数在闭区间有最大值3，最小值2，则m的取值范围为()
A．B．C．D．
【答案】D
解：
，作出函数的图象，如图所示，
当时，取得最小值，，且
因为函数在闭区间上有最大值，最小值，
则实数的取值范围是．
故选：．
9.已知O，N，P在所在平面内，且，，且，则点O，N，P依次是的（）
A．重心外心垂心B．重心外心内心
C．外心重心垂心D．外心重心内心
【答案】C
由题：，所以O是外接圆的圆心，
取中点，，，即所在直线经过中点，与中线共线，同理可得分别与边的中线共线，即N 是三角形三条中线交点，即重心，
，，，
，即，同理可得，即P是三角形的垂心.故选：C
10．已知函数在上为减函数，则的取值范围是（）A．B．C．D．
【答案】B
由
可知为单调递减函数
由复合函数单调性性质可知,当为减函数时
对数部分为增函数,即
由对数定义域的要求可知,在时恒成立
所以当时,满足
解得
综上可知,,即
11.已知函数在其定义域内单调递减，若不等式恒成立，则的取值范围（）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】
函数在其定义域内单调递减，
且，
，
令，
则恒成立，
由，
可得，
所以，
12．已知定义在R上的奇函数，满足，当时，
，若函数，在区间上有2020个零点，则m的取值范围是()
A．B．C．D．
【答案】A
由题意，函数为R上奇函数，所以，且，
又，可得，可得函数的图象关于点
对称，
联立可得，所以是以2为周期的周期函数，
又由函数的周期为2，且关于点对称，
因为当时，，
由图象可知，
函数和的图象在上存在
四个零点，即一个周期内有4个零点，
要使得函数，在区间上有2020个零点，
其中都是函数的零点，
可得实数满足，即.
故选A.
13．已知向量，，若，则实数x的值是________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据向量垂直的条件，利用向量的数量积的运算公式，准确运算，即可求解，得到答案.【详解】
由题意，向量，，
因为，即，解得.
故答案为：.
14．已知数列的首项，，则的通项______.【答案】
【解析】
【分析】
由已知条件可得，再利用等差数列通项公式的求法求解即可.
【详解】
解：由两边同除以可得，，即，
所以数列以1为首项，1为公差的等差数列，
所以，
所以.
15．已知，，若数列单调递减，则的最
小值为__________．
【答案】
解：，分段数列在每一段上都单调递减，所以单调递减，等价于
当时，成立，
当时，成立
所以的最小值为
16．若存在实数，使得时，函数的值域也为，其中且，则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【详解】
为增函数，
且时，函数的值域也为，
，
相当于方程有两不同实数根,
有两不同实根，
即有两解，
整理得：，
令，
有两个不同的正数根，
只需即可，
解得，
故答案为：
三、解答题
17．已知.
(1)求函数的最小正周期及单调递减区间;
(2)求函数在区间的取值范围.
【答案】(1),,;(2).
【详解】
(1)由题意，化简得
所以函数的最小正周期
∵的减区间为，
由，得．
所以函数的单调递减区间为，．
(2)因为∵，所以，即有．所以，函数在区间上的取值范围是．
18.已知向量，.
（1）若，求的值；
（2）若，求实数的值；
（3）若与的夹角是钝角，求实数的取值范围.
【答案】（1）（2）（3）且.
【详解】
（1）因为向量，，且，
所以，解得，
所以；
（2）因为，且，
所以，解得；
（3）因为与的夹角是钝角，则且与不共线.
即且，所以且.
【点睛】
本题考查平面向量坐标运算的加减、数乘，平行、垂直的坐标表示，还考查了两向量夹角为钝角，转化为数量积小于零且不共线的问题，属于中档题.
19．数列满足，且，
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【详解】
（1）∵，∴，∴
∵，∴，
∴数列是以1为首项，以1为公差的等差数列
∴，∴
（2）∵，∴
∴
∴
20．已知数列为公差的等差数列，数列为公比的等比数列，数列满足，且有，
（1）求和的通项公式；
（2）求数列的前项和.
【答案】（1），；（2）
【详解】
（1）由题意可得,,可令,
可得,即有,
解得（舍去）,
即
则由等差数列通项公式可得,
由等比数列通项公式可得；
（2）,
前n项和
21．已知函数（，）的图象的相邻两条对称轴之间的距离为4，且有一个零点为.
（1）求函数的解析式；
（2）若，且，求的值；
（3）若在上恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）；（3）【详解】
（1）因为函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为4，所以函数的最小正周期是8.
所以，解得.
所以.
因为函数有一个零点，
所以，
得（）.
解得（）.由知，，
所以；
（2）由，得，
即，
由，得，
所以.
所以
（3）由，得，
所以当时，，
若在上恒成立，
则在上恒成立，
则，即，
解得.
故的取值范围为.
22．已知函数是奇函数．
（1）求实数的值；
（2）若，对任意有恒成立，求实数取值范围；
（3）设,若，问是否存在实数使函数在上的最大值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
【答案】（1）（2）（3）不存在,理由见解析.
【详解】
（1）函数的定义域为R,且为奇函数
所以,即
解得
（2）由（1）可知当时,
因为,即
解不等式可得
所以在R上单调递减,且
所以不等式可转化为根据函数在R上单调递减
所不等式可化为
即不等式在恒成立所以恒成立
化简可得
由打勾函数的图像可知,当时,
所以
（3）不存在实数.理由如下:
因为
代入可得,解得或(舍)
则,
令,易知在R上为单调递增函数
所以当时,,
则
根据对数定义域的要求,所以满足在上恒成立
即在上恒成立
令,
所以,即
又因为
所以
对于二次函数,开口向上,对称轴为
因为
所以
所以对称轴一直位于的左侧,即二次函数在内单调递增
所以,
假设存在满足条件的实数,则:
当时,由复合函数单调性的判断方法，可知为减函数,所以根据可知,即
解得,所以舍去
当时,复合函数单调性的判断方法可知为增函数,所以根据可知,即
解得,所以舍去
综上所述,不存在实数满足条件成立.。