广东省中山市第一中学2018-2019学年高一下学期第一次段考(4月)数学试卷(含解析)

2018-2019学年广东省中山市第一中学高一下学期第一次段考
（4月）
数学
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、单选题
1．如果点 位于第三象限，那么角 所在象限是 （ ） A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
2．已知()()4,56,1A B ---、，则以线段AB 为直径的圆的方程是( ) A ．()()2
2
1329x y ++-= B ．()()2
2
13116x y ++-= C ．()()2
2
1329x y -++= D ．()()2
2
13116x y -++= 3．已知
，
，则 的值为 （ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
4．若圆 与圆 相内切，则 ＝（ ） A ．1
B ．-1
C ．
D ．
5．已知点 ，点 与点 关于 轴对称，点 与点 关于平面 对称，则线段 的长为（ ） A ．
B ．4
C ．
D ．
6．设sin 33,cos55,tan 35,a b c =︒=︒=︒则
A ．a b c >>
B ．b c a >>
C ．c b a >>
D ．c a b >> 7．函数
的图象为 ，则下列结论正确的是（ ） A ．函数 在区间
内是增函数
B ．图象 关于直线
对称
C ．图象 关于点
对称
D ．将 的图象向右平移
个单位长度可以得到图象
8．函数 （其中
）的图象如图所示，为了得到 的图象，则只要将 的图象（ ）
A ．向右平移
B ．向右平移
C ．向左平移
D ．向左平移
9．若直线()24y k x =-+与曲线y =有两个交点，则k 的取值范围是（ ）
A ．[)1,+∞
B ．31,4⎡
⎫--
⎪⎢⎣⎭ C ．3,14⎛⎤ ⎥⎝⎦
D ．(],1-∞- 10．函数 为奇函数，该函数的部分图像如图所示， 、 分别为最高点与最低点，并且 ，则该函数图象的一条对称轴为( )
A ．
B ．
C ．
D ．
11．设扇形的周长为4cm ，面积为21cm ，则扇形的圆心角的弧度数是________．
12．若直线 与圆 有两个不同的交点，则 的取值范围是_____________. 13．不等式：
的解集为_______________. 14．将函数
图象上各点的横坐标变为原来的2倍，再将所得函数的图象向右平移 个单位，所得函数的图象的解析式为______________________.
15．函数
的最大值与最小值之和是_________________.
16．已知 ，函数
在
上单调递减，则 的取值范围是__．
三、解答题 17．已知
．
（1）化简 ；
（2） 若 是第三象限角，且
，求 的值. 18．已知
，
（1）求 的值；
（2）求
的值．
19．已知圆C 的圆心在直线10x y ++=，半径为5，且圆C 经过点()2,0P -和点()5,1Q ．
（1）求圆C 的标准方程；
（2）求过点()3,0A -且与圆C 相切的切线方程．
20．已知函数
，定义域为 ，若当
时， 的最大值为2.
（1）求 的值，并写出该函数的对称中心的坐标. （2）用五点法作出函数在 上的图象.
21．已知某海滨浴场海浪的高度 （米）是时间 的（ ，单位：小时）函数，记作 ，下表是某日各时的浪高数据：
经长期观察， 的曲线，可以近似地看成函 的图象． （1）根据以上数据，求出函数 近似表达式；
（2）依据规定，当海浪高度高于 米时才对冲浪爱好者开放，请依据（1）的结论，判断一天内的上午 时至晚上 时之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？
22．已知过原点的动直线与圆相交于不同的两点，．
（1）求线段的中点的轨迹的方程；
（2）是否存在实数，使得直线与曲线只有一个交点？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．
2018-2019学年广东省中山市第一中学高一下学期第一次段考
（4月）
数学 答 案
1．B 【解析】
解：因为点在第三象限，因此则有 利用三角函数的符号可知，角 所在的象限是第二象限 2．C
【解析】因()()4,56,1A B ---、的中点为()1,3C -，半径r ==，故应选答案C 。

3．B 【解析】 【分析】
先求出
，再根据
得到 ，进而可得所求值． 【详解】
由题意得
，
∵
， ∴ ， ∴
． 故选B ． 【点睛】
本题考查同角三角函数关系式，解题时注意已知 中的一个可以求出其他两个，其中关键是根据 的范围得到这三个值的符号，属于基础题． 4．C 【解析】 【分析】
根据两圆的圆心距等于两圆的半径之差求解即可得到所求值． 【详解】
圆 的圆心为 ，半径为 ；
圆方程即为，圆心为，半径为．
所以两圆圆心间的距离为，
由两圆相内切得，解得．
故选C．
【点睛】
解题时要分清哪个圆在另一个圆的内部，这是容易出现错误的地方，然后将问题转化为圆心距和两半径之差的问题即可，考查转化思想的运用和计算能力，属于基础题．
5．B
【解析】
【分析】
根据对称得到点的坐标，然后再根据两点间的距离公式求解．
【详解】
由题意得点的坐标为，点的坐标为,
所以，
即线段的长为4．
故选B．
【点睛】
本题考查空间直角坐标系中的对称问题及两点间的距离公式，考查计算能力，属于简单题．
6．C．
【解析】
试题分析：
sin35
sin33,cos55sin35,tan35sin35,,
cos35
a b c c a b
︒
=︒=︒=︒=︒=>︒∴>>
︒
故选C．
考点：1.三角函数基本关系式（商关系）；2. 三角函数的单调性．
7．A
【解析】
【分析】
根据题意对给出的四个选项分别进行分析、判断后可得正确的结论．
【详解】
对于A，由得，故函数单调递增，所以A正确．
对于B，当时，，不是函数的最值，所以B不正确．
对于C，当时，，不是函数的零点，所以C不正确．
对于选项D ，将 的图象向右平移
个单位长度所得图象对应的解析式为
，
所以D 不正确． 故选A ． 【点睛】
本题考查三角函数的性质，解题的关键是注意将 作为一个整体进行研究，另外，还要注意函数图象的对称轴与最值间的关系、对称中心和零点间的关系，属于基础题． 8．D 【解析】 【分析】
根据图象求出函数的解析式，然后再根据图象的变换得到正确的结论． 【详解】
由图象得
，所以 ， ∴ ． 又点
为函数图象上的一个最低点，
∴
，
∴
， 又
， ∴ ，
∴
．
∴为了得到 的图象，则只要将
的图象向左平移
个单位即可．
故选D ． 【点睛】
根据图象求函数 的解析式时，其中 可由图象得到，进而得到 的值，求 时可用代点法或“五点法”求解．在进行函数图象的平移时要注意平移的方向和平移量的大小，属于基础题． 9．C 【解析】
试题分析：曲线y =
可化为422=+y x ，所以图象是以原点为圆心，2为半径的圆，且只包括x 轴上方的
图象，而直线()24y k x =-+经过定点)4,2(，当直线与该半圆相切时刚好有一个交点，可以用圆心到直线的距离
等于半径，求出临界值4
3
=
k ，利用数形结合，慢慢将直线绕定点转动，当直线过圆上的一点)0,2(-时，正好有两个交点，此时的1=k ，再转动时仍只有一个交点，所以取值范围为3,14⎛⎤
⎥⎝⎦
，故选C. 考点：1、直线方程；2、直线与圆的位置关系；3、直线的斜率. 10．D 【解析】
解：函数y=cos （ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）为奇函数，所以φ=π /2 ，该函数的部分图象如图所表示，A 、B 分别为最高点与最低点，并且两点间的距离为 ，所以( )2=
，所以T=4，ω=π/ 2 ，所以函数的表达式为：y=-sinπ/ 2 x ，显然x=1是它的一条对称轴方程．故选D 11．2
【解析】设扇形的半径和弧长分别为,r l ，由题设可得24
1{{121
2
l r r l lr +==⇒==，则扇形圆心角所对的弧度数是
2l
r
α=
=，应填答案2。

12．
【解析】 【分析】
根据圆心到直线的距离小于半径得到关于 的不等式，解不等式可得所求范围． 【详解】
由题意得圆 的圆心为 ，半径为1． ∵直线 与圆有两个不同的交点， ∴圆心到直线的距离
，
整理得 ，解得
， ∴实数 的取值范围是
．
故答案为：
． 【点睛】
解答本题的关键是把直线与圆有两个不同交点的问题转化为圆心到直线的距离小于半径求解，体现了转化思想和代数方法在解答解析几何问题中的应用，属于基础题． 13．
【解析】
【分析】
把作为整体，结合正切函数的单调性和定义域可得不等式的解集．
【详解】
由得,
解得，
所以不等式的解集为．
故答案为：．
【点睛】
解答本题时不要忽视正切函数的定义域，考查三角不等式的解法和计算能力，属于基础题．
14．
【解析】
【分析】
根据三角函数图象变换的步骤逐步求解后可得结果．
【详解】
将函数图象上各点的横坐标变为原来的2倍后，所得图象对应的解析式为
，再把所得图象向右平移个单位，所得函数的图象对应的解析式为
．
故答案为：．
【点睛】
解答三角函数图象的变换问题时，要注意以下两点：一是弄清变换的方向，二是弄清变换量的大小，特别要清楚在横方向上的变换只是对于变量而言的．
15．
【解析】
【分析】
将函数化为，且，然后根据求二次函数在闭区间上最值的方法求解即可．
【详解】
由题意得，
∵，
∴，
∴当，即时，；当，即时，．
∴．
故答案为：．
【点睛】
对于或型的函数求最值时，可把或看作一个整体，转化为求二次函数最值的问题求解，但解题时需要注意或的取值范围的限制．
16．[，]
【解析】
试题分析：本题已知函数的单调区间，求参数的取值范围，难度中等．由
，得，又函数在上单调递增，所以，即，注意到，即，所以取，得．
考点：函数的图象与性质．
【方法点晴】已知函数为单调递增函数，可得变量的取值范围，其必包含区间，从而可得参数的取值范围，本题还需挖掘参数的隐含范围，即函数在上单调递增，可知，因此，综合题设所有条件，便可得到参数的精确范围．
17．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据诱导公式进行化简即可得到结果．（2）由求得，再结合（1）中的结论可得所求．
【详解】
（1）由题意得
．
（2）∵，
∴．
又为第三象限角，
∴，
∴．
【点睛】
应用诱导公式解题时，容易出现的错误是三角函数名是否改变和结果的符号问题，解题时一定要强化对公式的理解，正确掌握“奇变偶不变，符号看象限”的含义，并熟练地应用到解题中，考查变换能力和对公式的掌握情况，属于基础题．
18．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）将题中条件转化为关于的一元二次方程，然后根据的范围得到的值；（2）将所求的齐次式用表示，然后利用（1）的结果求解即可．
【详解】
（1）由，得，
解得或，
由，得，
∴．
（2）
．
【点睛】
解答第一问时容易出现的错误是忽视 的范围，从而得到两个答案．对于含有 的齐次式的求值问题，一般运用同角关系中的商数关系化为只含有 的形式后再求进行求值． 19．（1）()()2
2
2325x y -++=；（2）切线方程是3x =-或()8
315
y x =
+. 【解析】【试题分析】（1）依据题设运用圆心在直线上及与两已知点的距离相等建立方程组求解；（2）借助题设条件运用圆心与直线等于半径建立方程求解。

（1）设圆C ： ()()2
2
25x a y b -+-=，点C 在直线10x y ++=上，则有10a b ++=，圆C 经过点()
2,0P -和点()5,1Q ，即： 051((25{((25
-+=+=，解得： 2a =， 3b =-．
所以，圆C ： ()()2
2
2325x y -++=．
（2）①若直线l 的斜率不存在，即直线是3x =-，与圆相切，符合题意．
②若直线l 斜率存在，设直线l 为()3y k x =+，即30kx y k -+=． 由题意知，圆心()2,3C -到直线l 的距离等于半径5
5
解得815k =
，切线方程是()8315
y x =+． 所求切线方程是3x =-或()8
315
y x =+．
20．（1） ，对称中心坐标为
；（2）详见解析. 【解析】 【分析】
（）先确定出
的取值范围，进而得到函数的最大值，然后根据题意得到 ，于是可得函数的解析式，由此可得对称中心的坐标．（2）由 得
，然后根据“列表、描点、连线”的步骤画出函数的图象．
【详解】 （1）由
，得
，
∴当
时，即
时， 有最大值
．
又 的最大值为2， ∴
，解得 ． ∴
．
令，，解得，，
∴函数图象的对称中心的坐标为．
（2）∵，
∴．
列表如下：
画出图象如图所示．
【点睛】
解答有关函数性质的有关问题时，常用的方法是把作为一个整体，然后结合正弦函数的性质进行求解，解题时要注意的符号对结果的影响．画函数图象时，可用“五点法”画图，解题时需要先求出的范围，然后在此范围内选取“五点”中的点，进而得到相应的的值，在坐标系内描点、连线后可得图象．
21．（1）；（2）从8点到16点共8小时.
【解析】
【分析】
（1）分析表中的数据，确定出最高点、最低点，由此可得周期、的值，再通过代点法求出后即可得到函数的解析式．（2）根据函数的解析式得到关于的不等式，解三角不等式并结合题中要求可得所求的时间范围．
【详解】
（1）设函数，
∵同一周期内，当时，当时，
∴函数的周期，得，
且，
∴，
又由题意得点是函数图象上的一个最低点，
∴，
∴，
∴函数近似表达式为．
（2）由题意得，即，
解得，即，
∵在规定时间上午8∶00时至晚上20∶00时之间，
∴令，得，
∴在规定时间上午8∶00时至晚上20∶00时之间，从8点到16点共8小时的时间可供冲浪者进行运动．
【点睛】
用三角函数模型解决实际问题主要有两种情形：一种是用已知的模型去分析解决实际问题；另一种是需要建立精确的或者数据拟合的模型去解决问题，尤其是利用数据建立拟合函数解决实际问题，此类问题体现了新课标中“数学建模”的本质，考查应用意识．
22．（1）（2）
【解析】
试题分析：（Ⅰ）利用圆的几何性质，总有，根据斜率公式得到轨迹方程；（Ⅱ）做出曲线的图象，恒过点，利用数形结合，可知斜率的变化范围．
试题解析：（Ⅰ）设，则，
当直线的斜率不为0时，由得，即
当直线的斜率为0时，也适合上述方程
∴线段的中点的轨迹的方程为；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知点的轨迹是以为圆心为半径的部分圆弧（如下图所示，不包括两端点），且，，又直线：过定点，当直线与圆相切时，由
得，又，结合上图可知当时，直线：曲线只有一个交点．
考点：1、直线与圆的位置关系；2、中点轨迹方程；3、数形结合．。