27已知三角函数值求角
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2 A =cotA-cosA+1, 2.已知 Rt△ABC 的锐角 A 满足 2cos 已知 △ -
2
求∠A.
A 由已知, 解: 由已知 2 -1=cotA-cosA. ∴2cosA=cotA. 2cos2 的锐角, ∵∠A 是 Rt△ABC 的锐角 △ 1 . ∴cosA≠0. ∴2= sinA ≠ 1. ∴sinA= 2 ∴∠A= π . 6
()∪(∴实数 a 的取值范围是 (-2, - 3 )∪(- 3, 2). (2)函数 y=-2sin(x+ π ) 的图象在 [0, 2π] 上有两条对称轴 上有两条对称轴: 函数 3 7π 直线 x= π 与直线 x= 6 . 6 π π 由题设及图象的对称性知, 由题设及图象的对称性知 α, β∈[0, 3 ] 或 α, β∈[ 3 , 2π]. 6 3 当 α, β∈[0, π ]时, α+β=2 π = π ; 3 时 当 α, β∈[ π , 2π]时, α+β=2 7π = 7π . 时 3 6 3 7π π 故 α+β 的值为 3 或 3 .
π π ∴0<α< 2 , 2 <β<π. ∴-π<α-β<0. π. 又 tan(α-β)>0, ∴-π<α-β<- 2 ∴-π<2α-β<0. 3π ∴由 tan(2α-β)=1 知 2α-β=- 4 . -
0<α< π . 4
π
∴0<2α< 2 . ∴-π<2α-β<0.
π
4.已知 sinx+ 3 cosx+a=0 在 [0, 2π] 上有两相异实数解 α,β. 已知 (1)求实数 a 的取值范围 (2)求 α+β 的值 的值. 求实数 的取值范围; 求 解: (1)由已知 a=-2sin(x+ π ). 由已知 3 ∵0≤x≤2π, ∴ π ≤x+ π ≤2π+ π . ∴-2≤-2sin(x+ π )≤2. 3 3 3 3 上只有一解; 又由函数图象知当 a=±2 时, 方程在 [0, 2π] 上只有一解 ± 当 a=- 3 时, 方程在 [0, 2π] 上有三解 0, π , 2π. 3
∴π-α=arctan(-m)=-arctanm. ∴α=π+arctanm. arctanm, m≥0, ∴α= π+arctanm, m<0.
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课后练习
1.若 cos(πcosx)= 1 , x∈[0, π], 求 x. 若 2 ∈ 解: ∵x∈[0, π], ∴-π≤πcosx≤π. ∈ ± 又 cos(πcosx)= 1 , ∴πcosx=± π . ∴cosx=± 1 . ± 2 3 3 1 ∴x=arccos 3 , 或 x=arccos(- 1 ). -3 解: 设另一根为 x0, 则 (2- 3 )x0=1, (2- 3 )+x0=2(tan2θ+cot2θ), 故有 tan2θ+cot2θ-2=0. 即 tan4θ-2tan2θ+1=0. ∴tan2θ=1, 即 tanθ=±1. ±
3.在开区间 (- π , π ) 上, 符合条件 tanx=a(a∈R)的角 x, 叫 在开区间 ∈ 的角 2 2 反正切, 记作: 做实数 a 的反正切 记作 x=arctana; 显然有: 显然有 sin(arcsina)=a; cos(arccosa)=a(-1≤a≤1); tan(arctana)=a(a∈R). ∈
5.是否存在锐角α 和β, 使得 (1)α+2β= 2 π; (2)tanα tanβ=2- 3 是否存在锐角 使得: 3 2 同时成立? 若存在, 的值, 若不存在, 说明理由. 同时成立 若存在 求出 α 和 β 的值 若不存在 说明理由 tanα +tanβ α +β = π . 2 解: 由 (1) 得 2 ∴tan(α +β)= α tanβ = 3 . 3 2 1-tan 2 将 (2) 代入上式得 tanα +tanβ=3- 3 . 2 解得二根为 1 和 2- 3 . -
典型例题
1.已知 cos(-4π+α)=- 3 . (1)若 0≤α≤2π, 求角 α; (2)若 -4π 已知 - 3 若 若 是第三象限角, ≤α≤-3π, 求角 α; (3)若角 α 是第三象限角 求角 α; (4)若 α∈R, 若 若 求角 α. 3 解: 由已知 cosα=- 3 , 3 3 ∴对于 α∈[0, π], 有 α=arccos(- 3 )=π-arccos 3 . (1)∵ 0≤α≤2π, ∴满足条件的角有两个: ∵ π 满足条件的角有两个 3 π+arccos 3 . α=π-arccos 3 或 3
4.已知 0<α< π , 0<β< π , 且 3sinβ=sin(2α+β), 4tanα =1-tan2 α , 已知 4 4 2 2 的值. 求 α+β 的值 α 2tan 2 = 1, 解: 由已知 tanα= 1-tan2 α 2 2 ∵3sinβ=sin(2α+β), ∴3sin[(α+β)-α]=sin[(α+β)+α]. ∴3sin(α+β)cosα-3cos(α+β)sinα =sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα. 即 sin(α+β)cosα=2cos(α+β)sinα. ∴tan(α+β)=2tanα=1. ∵0<α< π , 0<β< π , ∴0<α+β< π . 2 4 4 ∴ α +β = π . 4
6.已知 0<x<π, 求 sinxcos2x 的最大值及取得最大值时 x 的值 已知 的值. 解法 1 ∵0<x<π, ∴sinx>0, cos2x≥0, ∴y=sinxcos2x≥0. 同时取得最大值. ∴y 与 y2 同时取得最大值 ∵y2=sin2xcos2xcos2x 1 2sin2xcos2xcos2x ≤ 1 ( 2sin2x+cos2x+cos2x )3 = 4 . =2 2 27 3 2 3 2 3 ∴ymax= 9 . 即 sinxcos2x 的最大值为 9 . 2x=cos2x, x=arctan 2 或 π-arctan 2 . 此时, 此时 2sin 2 2 解法 2 令 t=sinx, ∵0<x<π, ∴t∈(0, 1]. ∈ 记 y=sinxcos2x=sinx-sin3x=t-t3, 则 y′=1-3t2. ′ 3 3 ∵当 0<t< 3 时, y′>0, 当 3 ≤t≤1 时, y′≤0, ′ ′ 3 2 3 此时 t=sinx= 3 . ∴当 t= 3 时, ymax= 9 , 此时, 3 2 3 取最大值时, 的值为: 即 sinxcos2x 的最大值为 9 , 取最大值时 x 的值为 3 arcsin 3 或 π-arcsin 3 . 3
∴tan α , tanβ 是方程 x2-(3- 3 )x+2- 3 =0 的两个根 的两个根. 2
为锐角知, 由 β 为锐角知 β= π . ∴α= π . 6 4
α π ∴tanα ≠1. ∴tanβ=1. 锐角, ∵α 为锐角 0< 2 < 4 , 2
同时成立. 故存在锐角 α= π , β= π , 使 (1), (2) 同时成立 6 4
(2)∵-4π≤α≤-3π, ∴满足条件的角只有一个: ∵ 满足条件的角只有一个 3 α=-3π-arccos 3 . (3)∵α 是第三象限的角 ∴满足条件的角有无穷多个: ∵ 是第三象限的角, 满足条件的角有无穷多个 3 ∈ α=2kπ+π+arccos 3 (k∈Z). (4)∵α∈R, ∴满足条件的角有无穷多个: ∵ 满足条件的角有无穷多个 3 3 α=2kπ+π-arccos 3 或 2kπ+π+arccos 3 (k∈Z). ∈ 3 即 α=2kπ+π±arccos 3 (k∈Z). ∈
6.已知直线的斜率为 m, 求直线的倾斜角 α. 已知直线的斜率为 解: 由已知 tanα=m, 则 α=kπ+arctanm, k∈Z. ∈ 解法1 解法 ∵α∈[0, π), ∴当 m≥0 时, α∈[0, π ); 当 m<0 时, α∈( π , π). 2 2 故当 m≥0 时, 令 k=0 得 α=arctanm; 当 m<0 时, 令 k=1 得 α=π+arctanm. arctanm, m≥0, ∴α= π+arctanm, m<0. 解法2 解法 当 α∈[0, π ) 时; 由 tanα=m 得 α=arctanm; 2 π 当 α∈( 2 , π) 时, tan(π-α)=-tanα=-m, -
2.若方程 2.若方程 x2-2(tan2θ+cot2θ)x+1=0 有一根是 2- 3 , ∈ 4
3.用反余弦表示下列各式中的 x: (1)cosx=- 13 , x∈[0, π]; 用反余弦表示下列各式中的 - 5 ∈ 3π 15 (2)cosx= 4 , x∈[π, 2π]; (3)sinx=- 17 , x∈[π, 2 ]. ∈ ∈ 5 5 - 5 解: (1)∵cosx=- 5 , x∈[0, π], ∴x=arccos(- 13 ) =π-arccos 13 . ∵ ∈ 13 (2)∵cosx= 4 , ∴cos(2π-x)= 4 . ∵x∈[π, 2π], ∴0≤2π-x≤π. ∵ ∈ 5 5 ∴2π-x=arccos 4 . ∴x=2π-arccos 4 . 5 5 15 π )=cos( π -x)=sinx=- 15 . (3)∵sinx=- 17 . ∴cos(x- 2 ∵ - 17 2 ∵x∈[π, 3π ], ∴ π ≤x- π ≤π. ∈ 2 2 - 2 π =arccos(- 15 )=π-arccos 15 . ∴x- 2 - 17 17 15 3π ∴x= 2 -arccos 17 .
3.已知 tan(α-β)= 1 , tanβ=- 1 , 且 α, β∈(0, π), 求 2α-β 的值 已知 的值. -7 2 1 1 2- 7 =1. 解: 由已知 tanα=tan[(α-β)+β] = 1+ 1× 1 3 2 7 1+1 2 3 =1. ∴tan(2α-β)=tan[(α-β)+α] = 1- 1× 1 -2 3 ∵tanα>0, tanβ<0, α, β∈(0, π), 注 亦可由 tanα<1 得
5.设方程 x2+3 3 x+4=0 的两根分别为 x1, x2, 记 α=arctanx1, 设方程 β=arctanx2, 求 α+β. 解: 由已知 x1+x2=-3 3 <0, x1x2=4>0, ∴x1<0, x2<0 且 x1=tanα, x2=tanβ. x1+x2 tanα+tanβ = 则 tan(α+β)= = 3. 1-tanαtanβ 1-x1x2 又由 x1<0, x2<0 知, α, β∈(- π , 0), -2 ∴α+β∈(-π, 0). 2π ∴α+β=- 3 . -
三,知识要点
1.在闭区间 [- π , π ] 上, 符合条件 sinx=a(-1≤a≤1)的角 x, 在闭区间 的角 2 2 反正弦, 记作 叫做实数 a 的反正弦 记作: x=arcsina;
2.在闭区间 [0, π] 上, 符合条件 cosx=a(-1≤a≤1)的角 x, 叫 在闭区间 的角 反余弦, 记作: 做实数 a 的反余弦 记作 x=arccosa;
一,高考要求
会由已知三角函数值求角, 会由已知三角函数值求角 并会用符号 arcsinx, arccosx, arctanx.
二,重点解析
根据角 x 的三角函数值求角, 通常有以下步骤: 的三角函数值求角 通常有以下步骤 1.判断角 x 所在的象限 判断角 所在的象限; 2.根据角 x 所在象限 求得 [0, 2π] 范围内的角 范围内的角; 根据角 所在象限, 3.用终边相同的角的表达式写出适合条件的角 用终边相同的角的表达式写出适合条件的角. 用终边相同的角的表达式写出适合条件的角