积化和差和和差化积公式(教师版)

积化和差与和差化积公式、和角、倍半角公式复习课
一、基本公式复习
1、两角和与差公式及规律
sin()sin cos cos sin .cos()cos cos sin sin .tan tan tan().
1tan tan αβαβαβαβαβαβαβ
αβαβ
±=±±=±±=
2二倍角公式及规律
3、积化和差与和差化积公式
1
sin cos [sin()sin()].2αβαβαβ=++-
1
cos sin [sin()sin()].2
αβαβαβ=+--
222221cos cos .222cos .1cos 21cos sin .222sin .1cos 2
tan .21cos αααααααααα+⎧=⎪⎧⎪⎪-⎪⎪⇒±==⎨⎨⎪⎪⎪-⎪⎩=⎪+⎩222221cos cos .22
2cos .1cos 2
1cos sin .222sin .1cos 2tan .21cos αα
ααα
ααααα+⎧=⎪⎧⎪
⎪-⎪⎪⇒±==⎨
⎨⎪⎪
⎪-⎪⎩=⎪+⎩
2sin 2sin 2cos ,sin .1sin (sin cos ).2cos 2cos 22
ααααααααα⇒==±=±
sin 22sin cos .ααα= 2222cos 2cos sin 2cos 112sin .
ααααα=-=-=- 2
2tan tan 2.1tan α
αα
=
-
1
cos cos [cos()cos()].2αβαβαβ=++-
1
sin sin [cos()cos()].2αβαβαβ=-+--
sin sin 2sin
cos
.22αβαβ
αβ+-+=
和差化积公式是积化和差公式的逆用形式，要注意的是：
①其中前两个公式可合并为一个：sin θ+sin φ=2sin cos
②积化和差公式的推导用了“解方程组”的思想，和差化积公式的推导用了“换元”思想。

③只有系数绝对值相同的同名函数的和与差，才能直接运用公式化成积的形式，如果一个正弦与一个余弦的和或差，则要先用诱导公式化成同名函数后再运用公式化积。

④合一变形也是一种和差化积。

⑤三角函数的和差化积，可以理解为代数中的因式分解，因此，因式分解在代数中起什么作用，和差化积公式在三角中就起什么作用。

cos cos 2cos cos .22
αβαβ
αβ+-+= sin sin 2cos sin .
22
αβαβ
αβ+--= cos cos 2sin sin .22
αβαβ
αβ+--=-
3、积化和差与积差化积是一种孪生兄弟，不可分离，在解题过程中，要切实注意两者的交替使用。

如在一般情况下，遇有正、余弦函数的平方，要先考虑降幂公式，然后应用和差化积、积化和差公式交替使用进行化简或计算。

和积互化公式其基本功能在于：当和、积互化时，角度要重新组合，因此有可能产生特殊角；结构将变化，因此有可能产生互消项或互约因式，从而利于化简求值。

正因为如此“和、积互化”是三角恒等变形的一种基本手段。

sin α+sin β=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]的证明过程因为
sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β，
sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β，
将以上两式的左右两边分别相加，得
sin(α+β)+sin(α-β)=2sin αcos β，
设α+β=θ，α-β=φ
那么
α=(θ+φ)/2, β=（θ-φ）/2
把α，β的值代入，即得
sin θ+sin φ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ）/2]
cos(α-β)-cos(α+β)
=[(cosαcosβ+sinαsinβ)-(cosαcosβ-sinαsinβ)]
=2sinαsinβ
sin αsin β=-1/2[-2sin αsin β]
=-1/2[(cos αcos β-sin αsin β)-(cos αcos β+sin αsin β)] =-1/2[cos(α+β)-cos(α-β)] 其他的3个式子也是相同的证明方法。

4、万能公式
2tan 12tan
2tan ,2tan 12tan 1cos ,2
tan 12tan
2sin 2
2
2
2α
-α
=αα+α-=αα
+α
=
α 证：2tan 12tan
22cos 2sin 2cos 2sin 21
sin sin 2
22α+α=α+ααα=
α=α 2tan 12tan 12cos 2sin 2sin 2cos 1
cos cos 2
2
2222α+α-=α+αα-α=
α=α 2
tan 12tan
22sin 2cos 2cos 2sin 2cos sin tan 2
22α-α=α-ααα=
α
α=α 注意：
1、上述三个公式统称为万能公式。

2、 这个公式的本质是用半角的正切表示正弦、余弦、正切，即：所以利用它对三角式进行化简、求值、证明，可以使解题过程简洁
3、上述公式左右两边定义域发生了变化，由左向右定义域缩小。

二、应注意的问题
1、两角差的余弦公式是本章中其余公式的基础，应记准该公式的形式.
2、倍角公式
ααα22sin 211cos 22cos -=-=有升、降幂的功能，如果升幂，
则角减半，如果降幂，则角加倍，根据条件灵活选用.
3、公式的“三用”（顺用、逆用、变用）是熟练进行三角变形的前提. 3、整体原则-------从角度关系、函数名称差异、式子结构特征分析入手，寻求三角变形的思维指向；
4、角度配凑方法 ，其中,αβ是任意角。

=--+=-+
+=
--=-+=2
22
2
)()(α
ββ
αβ
αβ
ααββββαα
2()()()()2(
)2(
)2
2
2
2
αβαβ
βα
βα
ααβαββαβα+-+-=++-=+--=+
=-
=
三、例题讲解
例1 已知α，β均为锐角， sin α=5510
10
，sin β=，求α+β的值。

解析：由已知条件有cos α=
2553
10
10，cos β=，且0＜α+β＜π。

又cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β
=
-=+=
255310105510102
2
04
××＞，
所以αβπ 例2已知sin(3)cos()tan()cot(
)2(),()cos()
n x x x x f x n Z n x πππππ---+=
∈-
（１）求52(
);3
f π
（２）若34
cos(),25πα-=求()f α的值．
解当2()n k n Z =∈时，
sin cos tan cot ()sin ;
cos x x x x
f x x x
-=
=- 当21()n k k Z =+∈时，2sin cos tan (tan )
()sin tan .cos x x x x f x x x x
--==-
34
cos()sin ,sin .25
πααα-=-∴=-
故当n 为偶数时，
52524(
)sin sin 33324
()sin ;
5f f πππαα=-=-==-=
当n 为奇数时，
2222
2
52525244()sin tan .sin tan 333332sin 9()sin tan sin .cos 16f f πππππαααααα=-=-==-=-⋅=
例3已知21
sin(),sin().35
αβαβ+=-=
（１）求tan cot αβ的值； （２） 当(,),(,)2222
ππ
ππ
αβαβ+∈-
-∈-时，求sin 2β的值．
解（１）
［方法１］2sin cos cos sin ,31
sin cos cos sin ,5137
sin cos ,cos sin .
3030αβαβαβαβαβαβ⎧
+=⎪⎪⎨
⎪-=⎪⎩
⇒==
从而，sin cos 13tan cot .cos sin 7
αβαβαβ=
=
［方法２］设sin cos tan cot ,cos sin x αβ
αβαβ
==
sin()10
,sin()3
sin()
sin()tan tan cos cos sin()sin()tan tan cos cos tan 1
1tan ,tan 11tan x x αβαβα
βαβαβ
αβαβαβαβ
αβα
β
α
β
+=-+++==---++==--且
11013
,tan cot .137
x x x αβ+∴
=⇒==- （２）由已知可得
sin 2sin[()()]sin()cos()cos()sin()15
βαβαβαβαβαβαβ=+--=+--+-=
例4已知11
cos(),cos(),22αβαβ+=-=求tan tan αβ的值.
解
1cos cos sin sin ,21cos cos sin sin ,351
cos cos ,sin sin .
1212
αβαβαβαβαβαβ⎧
-=⎪⎪⎨
⎪+=⎪⎩
⇒==- sin sin 1
tan tan .cos cos 5
αβαβαβ∴=
=-
例5已知11
sin cos ,cos sin ,23αβαβ-=-=求sin()αβ+的值.
解 将两条件式分别平方，得
22221
sin 2sin cos cos ,
4
1
cos 2cos sin sin .
9
ααββααββ-+=-+=
将上面两式相加，得
1322sin(),36
59
sin().
72αβαβ-+=
⇒+= 例6
sin 7cos15sin 8
cos 7sin15sin 8
+-的值等于 （ ）
A
．2+ B
．2 C
．
22+ D
．22
- 解
0000
0000
000000
000000
00
000
00
sin(158)cos15sin8
cos(158)sin15sin8
sin15cos8cos15sin8cos15sin8
cos15cos8sin15sin8sin15sin8
tan45tan30
tan15tan(4530)
1tan45tan30
2
-+
=
--
-+
=
+-
-
==-=
+
=
原式
故选B.
例7 已知cos(α－β)= β
α
=
α、
，
，2
3
1
2
sin
2
1
都是锐角，求cos(α+β)的值。

解析：由已知条件有。

3
2
2
)
3
1
(
1
2
sin
1
2
cos
,
3
1
2
sin
2
2
2
2
=
-
=
α
-
=
α
=
α
π
α
则
，又
＜
＜
因为0＜sin2α=
1
3
1
2
＜，所以0＜2α＜
π
6
，所以0＜α＜
π
12。

①
又因为0＜β＜
π
2
，所以-
π
2
＜-β＜0 。

②由①、②得-
π
2
＜α-β＜
π
12。

又因为cos（α-β）=
1
2
，所以--
π
αβ
2
＜＜。

)
(
cos
1
)
sin(2β
-
α
-
-
=
β
-
α
所以
=
2
3
-。

从而cos(α+β)=cos[2α-(α-β)]
=cos2αcos(α-β)+sin2αsin(α-β)。

6
3
2
2
2
3
3
1
2
1
3
2
2
-
=
-
+
=）
（
×
×
评析：本例通过0＜sin2α=
1
3
1
2
＜，发现了隐含条件：0＜α＜
π
12
，将α-β的范围缩小为--
π
αβ
π
212
＜＜，进而由cos(α-β)=
1
2
,将α-β的范围确定
为-
-π
αβ2
0＜＜，从而避免了增解。

例8 已知-
-
π
απ
π
βπ
2222
＜＜
，＜＜
，且tan α,tna β是一元二次方程
x x 23340++=的两个根，求α+β的值。

解析：由已知条件得tan α+tan β= -330＜，tan αtan β=4＞0， 所以tan α＜0，tan β＜0。

又因为 -
-
π
απ
π
βπ
2
2
2
2
＜＜
，＜＜
，
所以,0＜＜2
，0＜＜2
βπ-απ-所以-π＜α+β＜0。

又因为tan(α+β)=
tan tan tan tan αβ
αβ
+-1 =
--=33143 所以α+β= -2
3
π。

评析：本例根据韦达定理tan α+tan β= -33，tan αtan β=4，挖掘出了隐含条件tan α＜0,tan β＜0，知02＜＜απ
-，0＜＜2
βπ-，得出了α+β的确切范围，从而顺利求解。

例9 已知tan 3α=，求①
sin 2cos 5cos sin αααα
+-；②2
sin 2cos αα+．
解：①
sin 2cos 5cos sin αααα+-=tan 25tan αα+-5
2
=；
②2
2
2
222
sin 22sin cos 2tan 17
sin 2110
1cos cos cos sin cos tan ααααααααααα+⋅+++====++．
例10 已知1
sin cos 3
αα+=，0απ∈（，）
，sin cos αα-求的值． 解：1sin cos 3αα+=112sin cos 9αα⇒+⋅=82sin cos 09αα⇒⋅=-<∆（）252sin cos 9αα⇒⋅=1- 225
9
(sin cos )αα=⇒-，
又因为（∆）及0απ∈（，）
，所以π
απ∈（，）2
，即sin cos 0αα->，
所以5sin cos 3
αα-=．
注：“已知sin cos αα+”与 “未知sin cos αα-”的联系是“2(sin cos )αα+
=24sin cos (sin cos )αααα+⋅-”，从而目标是求出sin cos αα⋅的值．
例11 已知4sin ()1,5
tan θθϕ=+=，且θ是第二象限的角，求tan ϕ． 解：∵θ是第二象限的角，4sin 5
θ=， ∴3cos 5θ=-，即4tan 3
θ=-， ∴tan ϕ=tan[()]θϕθ+-=tan()tan 71tan()tan θϕθθϕθ
+-=-++⋅．
注：“未知ϕ”与“已知θ”和“已知θϕ+”的联系显然是“()ϕθϕθ=+-”．
例12 已知12cos(),13αβ-=4cos(),5αβ+=-3,4
ππαβ<<<且2sin 2α求． 解：∵3,4ππαβ<<<2∴,44ππαβ-<-<3,2
ππαβ<+< 又12cos(),13αβ-=4cos(),5
αβ+=- 所以可知αβ-是第一象限的角，αβ+是第三象限的角．
∴5sin(),13
αβ-==3sin(),5αβ+==- ∴sin 2αsin[()()]αβαβ=++-sin()cos()cos()sin()αβαβαβαβ=+⋅-++⋅-， 31245()513513=-⋅+-⋅5665
=-． 注：“未知2α”与“已知αβ+”和“已知αβ-”的联系显然是
“2()()ααβαβ=++-”．
例13 已知1sin sin 4αβ+=，1cos cos 3
αβ+=，求（１）cos()αβ-，（２）αβ+cos()． 解：解法一：
1sin sin 4αβ+=⇒2212sin sin 16
sin sin ααββ+⋅+=……① 1cos cos 3αβ+=⇒2212cos cos 9
cos cos ααββ+⋅+=……② ①＋②得：cos()αβ-＝263288
-； ②－①得：11cos 2cos 22cos()916
αβαβ+++=-， 即72cos()cos()2cos()144
αβαβαβ+⋅-++=，
所以αβ+cos()＝77288[cos()1]
25
αβ=-+． 解法二：把已知和差化积得：
1sin sin 4αβ+=⇒12sin cos 224
αβαβ+-=……③ 1cos cos 3αβ+=⇒12cos cos 223
αβαβ+-=……④ ③２＋④２得：22542144
cos αβ-=， 即252[1cos()144
αβ+-=， ∴αβ-263cos()=-288
． ③÷④得：3tan 24
αβ+= ∴αβ+cos()＝221722512
tan tan αβαβ+-=++． 注：求cos()αβ-利用方法一简单，求αβ+cos()利用方法二简单．一般地，
已知两角的正余弦的和与差，求两角和与差的正余弦，往往采用和差化积或者平
方后求和与差． 【 课堂练习1】
1．cos105°的值为 （ ）
A ． 6 ＋ 2 4
B ． 6 － 2 4
C ． 2 － 6 4
D ． － 6 － 2 4
2．对于任何α、β∈（0，π2
），sin(α+β)与sin α+sin β的大小关系是 （ ） A ．sin(α+β)＞sin α+sin β B ．sin(α+β)＜sin α+sin β
C ．sin(α+β)=sin α+sin β
D ．要以α、β的具体值而定
3．已知π＜θ＜3π2
，sin2θ=a ，则sin θ+cos θ等于 （ ） A ． a+1 B ．－ a+1 C ． a 2+1 D ．±a 2+1
4．已知tan α=13，tan β=13
，则cot(α+2β)= ． 5．已知tanx=12
，则cos2x= ． 【 课堂练习2】
求下列各式的值
1．cos200°cos80°+cos110°cos10°= ．
2．12
（cos15°+ 3 sin15°）= ． 3．化简1+2cos 2θ－cos2θ= ．
4．cos(20°+x)cos(25°－x)－cos(70°－x)sin(25°－x)= ．
5．11－tan θ－ 11＋tan θ= ．
【课后反馈1】
1．已知0＜α＜
π2＜β＜π，sin α=35，cos(α+β)=－45
，则sin β等于 （ ）
A ．0
B ．0或2425
C ． 2425
D ．0或－2425 2． sin7°+cos15°sin8° cos7°－sin15°sin8°
的值等于 （ ） A ．2+ 3 B ． 2+ 3 2 C ．2－ 3 D ． 2－ 3 2
3． △ABC 中，3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1，则∠C 的大小为 （ ）
A．π
6
B．
5π
6
C．
π
6
或
5π
6
D．
π
3
或
2π
3
4．若α是锐角，且sin(α－π
6
)=
1
3
，则cosα的值是．
5．cos π
7
cos
2π
7
cos
3π
7
= ．
6．已知tanθ=1
2
，tanφ=
1
3
，且θ、φ都是锐角．求证：θ+φ=45°．
7．已知cos(α－β)=－4
5
，cos(α+β)=
4
5
，且（α－β）∈（
π
2
，π），α+β
∈（3π
2
，2π），求cos2α、cos2β的值．
8．已知sin(α+β)= 1
2
，且sin(π+α－β)=
1
3
，求
tanα
tanβ
．
【课后反馈2】
1．cos75°+cos15°的值等于（）
A．6
2
B －
6
2
C．－
2
2
D．
2
2
2．a=2
2
（sin17°+cos17°），b=2cos213°－1，c=
2
2
，则（）
A．c＜a＜b B． b＜c＜a C． a＜b＜c D． b＜a＜c
3．化简1+sin2θ-cos2θ
1+sin2θ+cos2θ
= ．
4．化简sin(2α+β)－2sinαcos(α+β)= ．
5．在△ABC中，已知A、B、C成等差数列，则tan A
2
+tan
C
2
+ 3 tan
A
2
tan
C
2
的值
为．
6．化简sin2A+sin2B+2sinAsinBcos(A+B)．
7 化简sin50°(1+ 3 tan10°)．
8 已知sin(α+β)=1，求证：sin(2α+β)+sin(2α+3β)=0．
参考答案：
【课堂练习1】
1．C 2． B 3． B 4．1
2
5．
3
5
【课堂练习2】
1．－ 12 2． 2 2 3． 2 4． 2 2
5．tan2θ
【课后反馈1】
1． C 2． C 3． A 4．2 6 －16 5． 18
6．略 7． cos2α=－725，cos2β=－1 8． 15
【课后反馈2】
1． A 2． A 3． tan θ 4． sin β 5． 3 6． sin 2（A ＋B ）． 7. 1 8 .略．
例14 已知5cos 3sin cos sin 2-=θ-θθ+θ，求3cos 2θ + 4sin 2θ 的值。

解：∵
5cos 3sin cos sin 2-=θ
-θθ+θ ∴cos θ ≠ 0 (否则 2 = - 5 ) ∴53tan 1tan 2-=-θ+θ 解之得：tan θ = 2 ∴原式572122421)21(3tan 1tan 24tan 1)tan 1(32
22222=+⨯⨯++-=θ+θ⨯+θ+θ-= 【 课堂练习1】
1. ．已知sin x =
5
4，且x 是锐角，求2cos 2sin x x ±的值。

2. 下列函数何时取得最值？最值是多少？
① x x y 2cos 2sin =
② x x y 2cos sin 2-=
③ )7
cos(2)722cos(π+-π+
=x x y
【课后反馈1】
1. 求函数x x x f sin cos )(2+=在]4
,4[ππ-上的最小值。

参考答案：
【 课堂练习1】
1、)5
5,553(- 2、)21,21(min max -==y y 、)21,23(min max -==y y 、)2
3,3(min max -==y y 【课后反馈1】
1．)2
21(-。