2015-2016学年山东省临沂市高二(下)期末数学试卷(理科)(解析版)

2015-2016学年山东省临沂市高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）
1．（5分）复数z＝的虚部为（）
A．1B．﹣1C．i D．﹣i
2．（5分）设全集U＝R，M＝{x|x（x+3）＜0}，N＝{x|x＜﹣1}，则图中阴影部分表示的集合为（）
A．{x|x≥﹣1}B．{x|﹣3＜x＜0}C．{x|x≤﹣3|D．{x|﹣1≤x＜0} 3．（5分）有关下列命题，其中说法错误的是（）
A．命题“若x2﹣3x﹣4＝0，则x＝4”的逆否命题为“若x≠4，则x2﹣3x﹣4≠0”
B．“x2﹣3x﹣4＝0”是“x＝4”的必要不充分条件
C．若p∧q是假命题，则p，q都是假命题
D．命题p：∃x∈R，使得x2+x+1＜0，则￢p：∀x∈R，都有x2+x+1≥0
4．（5分）设X～N（μ1，σ12），Y～N（μ2，σ22），这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（）
A．P（Y≥μ2）≥P（Y≥μ1）
B．P（X≤σ2）≤P（X≤σ1）
C．对任意正数t，P（X≤t）≥P（Y≤t）
D．对任意正数t，P（X≥t）≥P（Y≥t）
5．（5分）函数f（x）＝的图象与x轴围成的封闭图形的面积为（）
A．+1B．C．D．π+1
6．（5分）下面给出了四个类比推理：
（1）由“若a，b，c∈R则（ab）c＝a（bc）”类比推出“若，，为三个向量则（•）•＝•（•）”
（2）“在平面内，三角形的两边之和大于第三边”类比推出“在空间中，四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积”
（3）“a，b为实数，若a2+b2＝0则a＝b＝0”类比推出“z1，z2为复数，若+＝0则z1＝z2＝0”；
（4）“在平面内，过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆”类比推出“在空间中，过不在同一个平面上的四个点有且只有一个球”
上述四个推理中，结论正确的序号是（）
A．（2）（4）B．（1）（2）（4）C．（2）（3）D．（2）（3）（4）7．（5分）函数y＝﹣x3+2ax+a在（﹣1，0）内有极小值，则实数a的取值范围为（）A．（0，）B．（0，3）C．（﹣∞，3）D．（0，+∞）8．（5分）甲同学练习投篮，每次投篮命中的概率为，如果甲投篮3次，则甲至多有1次投篮命中的概率为（）
A．B．C．D．
9．（5分）把6名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排2名学生，那么不同的分派方案共有多少种（）
A．252B．70C．50D．56
10．（5分）定义在R上的函数f（x）满足f′（x）＞1﹣f（x），其中f′（x）是f（x）的导函数，e为自然对数的底数，则下列正确的是（）
A．ef（1）﹣e＞e2f（2）﹣e2
B．e2015f（2015）﹣e2015＞e2016f（2016）﹣e2016
C．e2f（2）+e2＞ef（1）+e
D．e2016f（2016）+e2016＜e2015f（2015）+e2015
二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）
11．（5分）已知（1+ax）（1+x）5的展开式中x2的系数为5，则a＝．
12．（5分）有一排标号为A、B、C、D、E、F的6个座位，请2个家庭共6人入座，要求每个家庭的任何两个人不坐在一起，则不同的入座方法的总数为．
13．（5分）登山族为了了解某山高y（km）与气温x（℃）之间的关系，随机统计了4次山高与相应的气温，并制作了对照表：
由表中数据，得到线性回归方程＝﹣2+（∈R），则此估计山高为72（km）处的气温为．
14．（5分）从1，2，3，4，5，6，7中任取两个不同的数，事件A为“取到的两个数的和为偶数”，事件B为“取到的两个数均为偶数“，则P（B|A）＝．
15．（5分）下列说法中正确的是．
①设随机变量X服从二项分布B（6，），则P（X＝3）＝
②对任意实数x，有f（﹣x）＝﹣f（x），g（﹣x）＝g（x），且x＞0时，f′（x）＞0，g′
（x）＞0，则x＜0时，f′（x）＞g′（x）
③若f′（x 0）＝﹣3，则＝﹣12
④E（2X+3）＝2E（X）+3，D（2X+3）＝2D（X）+3．
三、解答题（共6小题，满分75分）
16．（12分）已知命题p：（x﹣3）（x+1）＜0，命题q：＜0，命题r：a＜x＜2a，其中a＞0．若p∧q是r的充分条件，求a的取值范围．
17．（12分）已知在（﹣）n的展开式中，第6项为常数项．
（1）求n；
（2）求含x2项的系数；
（3）求展开式中所有的有理项．
18．（12分）已知当n∈N*时，T n＝+++…+，S n＝1﹣+﹣+…+
﹣．
（1）求S1，S2，T1，T2．
（2）猜想S n与T n的大小关系，并用数学归纳法证明．
19．（12分）某媒体对“男女同龄退休”这一公众关注的问题进行了民意调査，右表是在某单位得到的数据（人数）：
（1 ）能否有90%以上的把握认为对这一问题的看法与性别有关？
（2）进一步调查：（ⅰ）从赞同“男女同龄退休”16人中选出3人进行陈述发言，求事件“男士和女士各至少有1人发言”的概率；
（ⅱ）从反对“男女同龄退休”的9人中选出3人进行座谈，设参加调査的女士人数为X，求X的分布列和期望．
附表：
．
20．（13分）某次飞镖比赛中，规定每人最多发射3镖．在M处每射中一镖得3分，在N 处每射中一镖得2分，如果前两次得分之和超过3分即停止发射，否则发射第三镖．某选手在M处的命中率q1为0.25，在N处的命中率为q2，该选手选择先在M处发射第一镖，以后都在N处发射．用X表示该选手比赛结束后所得的总分，其分布列为：
（Ⅰ）求随机变量X的数学期望E（X）；
（Ⅱ）试比较该选手选择上述方式发射飞镖得分超过3分与选择都在N处发射飞镖得分超过3分的概率的大小．
21．（14分）已知函数f（x）＝ax2﹣（a+2）x+lnx．
（Ⅰ）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）当a＞0时，若f（x）在区间[1，e]上的最小值为﹣2，求a的取值范围；
（Ⅲ）若对任意x1，x2∈（0，+∞），当x1≠x2时有＞0恒成立，求a的取值范围．
2015-2016学年山东省临沂市高二（下）期末数学试卷（理
科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）
1．【解答】解：由复数z＝＝，
则复数z＝的虚部为：﹣1．
故选：B．
2．【解答】解：M＝{x|x（x+3）＜0}＝{x|﹣3＜x＜0}
由图象知，图中阴影部分所表示的集合是M∩（∁U N）
又N＝{x|x＜﹣1}，
∴∁U N＝{x|x≥﹣1}
∴M∩（∁U N）＝[﹣1，0）
故选：D．
3．【解答】解：在A中：否定命题“若x2﹣3x﹣4＝0，则x＝4”的条件作结论，
否定命题“若x2﹣3x﹣4＝0，则x＝4”的结论作条件，
得到命题“若x2﹣3x﹣4＝0，则x＝4”的逆否命题为“若x≠4，则x2﹣3x﹣4≠0”，
故A正确；
在B中：∵“x2﹣3x﹣4＝0”⇒“x＝4，或x＝﹣1”，“x＝4”⇒“x2﹣3x﹣4＝0”，
∴“x2﹣3x﹣4＝0”是“x＝4”的必要不充分条件，故B正确；
在C中：若p∧q是假命题，则p，q至少有一个是假命题，
故C错误；
在D中：∵命题p：∃x∈R，使得x2+x+1＜0是特称命题，
∴￢p：∀x∈R，都有x2+x+1≥0，故D正确．
故选：C．
4．【解答】解：正态分布密度曲线图象关于x＝μ对称，所以μ1＜μ2，从图中容易得到P（X ≤t）≥P（Y≤t）．
故选：C．
5．【解答】解：作出对应的图象如图：
则对应的区域面积S＝π+cos xdx＝π+sin x|＝π+1，
故选：A．
6．【解答】解：（1）左边与共线，右边与共线，结论不成立；
（2）在四面体ABCD中，设点A在底面上的射影为O，则三个侧面的面积都大于在底面上的投影的面积，故三个侧面的面积之和一定大于底面的面积，故正确；
（3）在复数集C中，若z1，z2∈C，z12+z22＝0，则可能z1＝1且z2＝i．故错误；
（4）由圆的性质类比推理到球的性质由已知“平面内不共线的3个点确定一个圆”，我们可类比推理出空间不共面4个点确定一个球，故正确．
故选：A．
7．【解答】解：对于函数y＝﹣x3+2ax+a求导可得y′＝﹣3x2+2a，
∵函数y＝﹣x3+2ax+a在（﹣1，0）内有极小值，
∴y′＝﹣3x2+2a＝0，则有一根在（﹣1，0）内，
a＞0时，两根为±，
若有一根在（﹣1，0）内，则﹣1＜﹣＜0
即0＜a＜．
a＝0时，两根相等，均为0，f（x）在（﹣1，0）内无极小值．
a＜0时，无实根，f（x）在（﹣1，0）内无极小值，
综合可得，0＜a＜，
故选：A．
8．【解答】解：∵甲同学练习投篮，每次投篮命中的概率为，甲投篮3次，
甲至多有1次投篮命中包含甲3次投篮都没命中或甲三次中恰有一次命中，
∴甲至多有1次投篮命中的概率为：
p＝+＝+＝．
故选：A．
9．【解答】解：由题意知将6名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排2名学生包括甲、乙每屋住4人、2人或3人、3人，
∵当甲和乙两个屋子住4人、2人，共有C62A22
当甲和乙两个屋子住3人、3人，共有C63
∴根据分类计数原理得到共有C62A22+C63＝15×2+20＝50（种）．
故选：C．
10．【解答】解：设g（x）＝e x f（x）﹣e x，g′（x）＝e x f（x）+e x f′（x）﹣e x＝e x[f（x）+f′（x）﹣1]；
∵f′（x）＞1﹣f（x）；
∴f（x）+f′（x）﹣1＞0；
∴g′（x）＞0；
∴g（x）在R上是增函数；
∴g（1）＜g（2），即ef（1）﹣e＜e2f（2）﹣e2，∴A错误；
g（2015）＜g（2016），∴B错误；
同理，设h（x）＝e x f（x）+e x，由g′（x）＞0得，h′（x）＝e x f（x）+e x f′（x）+e x＞0；∴h（x）在R上单调递增；
∴h（2）＞h（1），h（2016）＞h（2015），∴C正确．
故选：C．
二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）
11．【解答】解：因为（1+ax）（1+x）5的展开式中x2的系数为5，则＝5，即10+5a ＝5，解得a＝﹣1；
故答案为：﹣1．
12．【解答】解：A、B、C、D、E、F共有6个座位，一个家庭的入座方法A33种，另一个家庭的入座方法2A33种，因而不同的入座方法总数为2A33•A33＝72．
故答案为72．
13．【解答】解：由题意，＝＝10，＝＝40．
代入到线性回归方程＝﹣2+，可得＝60，
∴＝﹣2x+60，
由﹣2x+60＝72，可得x＝﹣6．
故答案为：﹣6．
14．【解答】解：事件A＝“取到的两个数之和为偶数”所包含的基本事件有：（1，3）、（1，5）、（1，7），（3，5）、（3，7），（5，7），（2，4），（2，6），（4，6）
∴p（A）＝＝，
事件B＝“取到的两个数均为偶数”所包含的基本事件有（2，4），（2，6），（4，6）
∴P（AB）＝＝
由条件概率公式，可得P（B|A）＝＝．
故答案为：
15．【解答】解：①∵随机变量X服从二项分布B（6，），∴P（X＝3）＝C36（）3×（1﹣）3＝．故①正确，
②∵对任意实数x，有f（﹣x）＝﹣f（x），g（﹣x）＝g（x），∴函数f（x）是奇函数，g
（x）是偶函数．
又∵当x＞0时，f′（x）＞0，g′（x）＞0，∴f（x）为增函数，g（x）为增函数，
则当x＜0时，f（x）为增函数，g（x）为减函数，则f′（x）＞0，g′（x）＜0．则f′（x）
＞g′（x）成立，故②正确，
③若f′（x 0）＝﹣3，则＝4＝4f′
（x0）＝4×（﹣3）＝﹣12，故③正确，
④由期望公式和方差公式得E（2X+3）＝2E（X）+3，D（2X+3）＝4D（X）．故④错误，故答案为：①②③．
三、解答题（共6小题，满分75分）
16．【解答】解：由题可知，命题p：﹣1＜x＜3，
命题q：2＜x＜4，…..（2分）
故p∧q：2＜x＜3．…（4分）
根据a＞0，及p∧q是r的充分条件可知：；…（8分）
解得，
综上可知，a的取值范围是．…（10分）
17．【解答】解：（1）根据题意，可得（﹣）n的展开式的通项为
＝，
又由第6项为常数项，则当r＝5时，，
即＝0，解可得n＝10，
（2）由（1）可得，T r+1＝（﹣）r C10r，
令，可得r＝2，
所以含x2项的系数为，
（3）由（1）可得，T r+1＝（﹣）r C10r，
若T r+1为有理项，则有，且0≤r≤10，
分析可得当r＝2，5，8时，为整数，
则展开式中的有理项分别为．
18．【解答】解：（1）S1＝1﹣＝，S2＝1﹣+﹣＝，T1＝，T2＝+＝；（2）由（1）可以猜想，S n＝T n，n∈N*，
证明如下：①当n＝1时，猜想成立；
②假设n＝k时，猜想成立，则S k＝T k，（k≥1，k∈N*），
那么当n＝k+1时，S k+1＝1﹣+﹣+…+﹣+﹣＝S k+﹣，
T k+1＝++…+++＝T k++﹣＝T k+﹣
，
∴S k+1＝T k+1．
∴当n＝k+1猜想成立，
由①②可知，S n＝T n，n∈N*，
19．【解答】解：（1）K2＝≈2.932＞2.706，
由此可知，有90%的把握认为对这一问题的看法与性别有关．…（3分）
（2）（ⅰ）记题设事件为A，则
所求概率为P（A）＝＝．…（7分）
（ⅱ）根据题意，X服从超几何分布，P（X＝k）＝，k＝0，1，2，3．
X的分布列为
…（10分）
X的期望E（X）＝0×+1×+2×+3×＝1．…（12分）
20．【解答】（1）设该同学在M处命中为事件A，在N处命中为事件B，则事件A，B相互
独立，
且P（A）＝0.25，P（）＝0.75，P（B）＝q2，P（）＝1﹣q2．
根据分布列知：X＝0时，
P（）＝0.75（1﹣q2）2＝0.03，
所以1﹣q2＝0.2，q2＝0.8，
当X＝2时，P1＝P＝（B+A B）＝0.75q2（1﹣q2）×2＝1.5q2（1﹣q2）＝0.24，当X＝3时，P2＝P（A）＝0.25（1﹣q2）2＝0.01，
当X＝4时，P3＝P（BB）＝0.75q22＝0.48，
当X＝5时，P4＝P（A B+AB）＝0.25q2（1﹣q2）+0.25q2＝0.24
随机变量X的数学期望EX＝0×0.03+2×0.24+3×0.01+4×0.48+5×0.24＝3.63．（2）选择上述方式，得分超过3分的概率为：
p＝p3+p4＝0.48+0.24＝0.72；
选择都在N处发射飞镖得分超过3分的概率：
p′＝0.8×0.8+0.8×0.2×0.8+0.2×0.8×0.8＝0.896．
∵p′＞p，
∴选择都在N处发射飞镖得分超过3分的概率大．
21．【解答】解：（Ⅰ）当a＝1时，f（x）＝x2﹣3x+lnx，．
∵f′（1）＝0，f（1）＝﹣2，
∴曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是y＝﹣2；
（Ⅱ）函数f（x）＝ax2﹣（a+2）x+lnx的定义域是（0，+∞）．
当a＞0时，，（x＞0）．
令f′（x）＝0，即．
∴或．
当，即a≥1时，f（x）在[1，e]上单调递增，
所以f（x）在[1，e]上的最小值是f（1）＝﹣2；
当时，f（x）在[1，e]上的最小值是，不合题意；
当时，f（x）在（1，e）上单调递减，
所以f（x）在[1，e]上的最小值是f（e）＜f（1）＝﹣2，不合题意．综上，a≥1；
（Ⅲ）设g（x）＝f（x）+2x，则g（x）＝ax2﹣ax+lnx，
由题意可知只要g（x）在（0，+∞）上单调递增即可．
而．
当a＝0时，，此时g（x）在（0，+∞）上单调递增；当a≠0时，只需g′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，
因为x∈（0，+∞），只要2ax2﹣ax+1≥0，则需要a＞0，
对于函数y＝2ax2﹣ax+1，过定点（0，1），对称轴，
只需△＝a2﹣8a≤0，
即0＜a≤8．
综上0≤a≤8．。