九节二次曲面-PPT课件

单叶双曲面图形
z
o x
y
x y z 2 2 1 2 a b c
2
2
2
双叶双曲面
o x
y
实轴与 x 轴相合， 虚轴与 z轴相合.
与平面 y y y b )的交线为双曲线. 1( 1
2 x2 z2 y1 2 2 1 2 b 双曲线的中心都在 y a c 轴上. y y 1
2 2 实轴与 x 轴平行, ( 1 ) y b , 1
虚轴与 z 轴平行.
x2 y2 2 1 2 a 2 b 2 2 2 ( c k ) 2 (c k ) 2 c c z k | k |c 当k由0变到c时,椭圆由大变小, 最后缩成一点。
同理与平面 x=k 和 y=k 的交线也是椭圆. 椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化.
椭球面的几种特殊情况：
虚轴与 x 轴平行.
2 2 ( 2 ) y b , 实轴与 z 轴平行, 1
,b ,0 ) 的直线. ( 3 ) y b , 截痕为一对相交于点 (0 1
x z 0 , a c y b ( 4 ) y b , 1
x z 0 . a c y b
( x 0 ) （3）用坐标面 yoz ，x=k 与曲面相截
均可得抛物线. 同理当 p 时可类似讨论. 0 ,q 0
椭圆抛物面的图形如下：
z o x y z
x
o
y
p 0 , q 0
p 0 , q 0
q 特殊地：当 p 时，方程变为
x y z 2p 2p
旋转而成的）
第九节 二次曲面 一、基本内容
二次曲面的定义： 三元二次方程所表示的曲面. 相应地平面被称为一次曲面． 讨论二次曲面性状的截痕法： 用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面 相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后 加以综合，从而了解曲面的全貌．
以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面．
（一）椭球面
2 x y2 z2 2 2 1 2 a b c
2
2
(p0 ) 旋转抛物面
2 xoz x （由 面上的抛物线 2pz绕它的轴
与平面 z=k (k>0) 的交线为圆.
x2 y2 2 pk z k
当k变动时，这种圆的 中心都在 z 轴上.
x y z（ p与 q同号） 2 p 2q
双曲抛物面（马鞍面） 用截痕法讨论：
与平面 z=k (k<0) 不相交. （2）用坐标面 xoz 与曲面相截 ( y 0 )
x 2 pz 截得抛物线 y 0
2
与平面 y=k的交线为抛物线.
2 k2 z x 2 p 2 q y k
它的轴平行于 z轴
2 k 顶点 0 , k , 2 q
图形有界，并且关于坐标面对称。
椭球面与 三个坐标面 的交线：
2 z2 x2 2 1 , a c y 0
2 x2 a z 0
y 2 b
2
1
z
,
2 y2 2 z2 1 . b c x 0
o
x
y

椭球面与平面 z k的交线为椭圆
椭圆抛物面
图形位于xoy平面的上方，并关于yoz及zox坐标面对称。
2
2
用截痕法讨论： 设 p 0 ,q 0
（1）用坐标面 xoy 与曲面相截 ( z 0 )
截得一点，即坐标原点 O ( 0 , 0 , 0 )
原点也叫椭圆抛物面的顶点.
) 的交线为椭圆. 与平面 z k (k0 x2 y2 1 当 k 变动时，这种椭 2 pk 2 qk z k 圆的中心都在 z轴上.
与平面 z z1 的交线为椭圆.
2 x2 y2 z1 2 2 1 2 当 z 1 变动时，这种椭 b c a 圆的中心都在 z 轴上. z z 1 （2）用坐标面 xoz 与曲面相截 ( y 0 )
截得中心在原点的双曲线.
x2 z2 2 21 a c y 0
0 , b , 0 )的直线. 截痕为一对相交于点 (
x z x z 0 0 , . a c a c y b y b （3）用坐标面 yoz ， x x 与曲面相截 ( x 0 ) 1
均可得双曲线.
a 平面 x 的截痕是两对相交直线.
x y z ( 1 ) a b , 2 2 1 旋转椭球面 2 a a c 2 2 x z 由椭圆 2 2 1 绕 z 轴旋转而成． a c 2 x y2 z2 2 1 方程可写为 2 a c
旋转椭球面与椭球面的区别： 与平面 z k (|k|c ) 的交线为圆.
2
2
0 ,q 0 设p
图形如下：
z o x
y
（三）双曲面
2 x y2 z2 2 2 1 单叶双曲面 2 a b c
（1）用坐标面 xoy 与曲面相截 ( z 0 )
截得中心在原点 O ( 0 , 0 , 0 )的椭圆.
2 x2 a z 0
y 2 b
2
1
2
2
2
2 2 a 2 2 2 x y ( c k ) 2 . 截面上圆的方程 c z k
2 x y2 z2 ( 2 )a b c , 2 2 1 球面 2 a a a
2 2 2 2 方程可写为 x y z a .
（二）抛物面
x y z （ p与 q同号） 2 p 2q