物理竞赛-力学_舒幼生_第五章质心刚体

4
质点系的质心 (center of mass)
质心速度
vc
drc dt
rc
mi ri
i
m
质心加速度
ac
dvc dt
质心动量等于质点系的总动量
质心动能
Ekc
1 2
mvc2
质心角动量
Lc rc mvc
mvc mivi
i
5
质心运动定理
F合外 mac
质点系的质心加速度由合外力确定，与内力无关。
其中G*为假想的引力常量，r 为两质点的间距。不考虑碰撞的 可能性，试导出多质点引力系统各质点的运动轨道和周期。
质心系是惯性系，以质心为坐标原点。
第 i 个质点
(m1
,
ri
,
ri )
质心
质点系总质量 m
动力学方程组miri
G *mimj (rj ri )
ji
22
miri
G * mim j (rj ri )
牛顿定律的独特性质：如果它在某一小尺度范围内是正确的， 那么在大尺度范围内也将是正确的。
特殊的质点系——刚体
6
质心的性质
①质心在整个物体的包络内
②物体若有某种对称性，质心就位于对称的位置。
③几个物体的质心满足质心组合关系
rc
i
mi ri
mArA
mB
rB
mC
rC
m
m
7
例 由两个质点构成的质点系的质心
子完全伸直？（提示：可在质心系中分析） 在质心系中，B端相对质心速度不变
A l/2
B端的速度 vB gl
质心速度
vC
1 4
gl
质心离A点的位置
rA
7 16
l
B端相对质心的距离
rBC
1l 16
B l/4
绳子伸直所用时间 t 7 l 12 g
25
力学期中考试
时间：4月24日上午10：10 - 12：00 地点：理教113 考试时间：1：50
i
I y mi (zi2 xi2 )
i
I z mi (xi2 yi2 )
i
z zi
xi x
mi
yi y
I x I y I z 2 mi (xi2 yi2 zi2 ) 2mR 2
i
Ix Iy Iz I
I 2 mR2 3
匀质球体 I 2 mR2 5
38
*** 动力学规律
动力学方程可分解为： xi G * mxi , yi G * myi
每个方程的解都是简谐运动，角频率都是 G * m
合成的轨道是一个以质心为中心的椭圆，运动周期为
T 2
G*m
24
例 长l、质量线密度为λ的匀质软绳，开始时两端A和B一起悬挂 在固定点上。使B端脱离悬挂点自由下落，当如图所示，B端 下落高度为 l/2 时，使A脱离悬挂点，问此后经过多长时间绳
质心的运动 代表了质点系整体的运动 质点系所受合力确定质心的运动：质心运动定理
相对质心的运动 质心系中质点系动能定理 质心系中质点系角动量定理
17
例 带电q的小球A从静止开始在匀强电场E中运动，与前方相距l
的不带电小球B发生弹性碰撞。求从开始到发生k次碰撞电场对
小球A所做的功。
m, q>0
m
A
B
分析碰撞过程 第一次碰撞用时
15
质心系中质点系角动量定理
质心系中质点系角动量定理
M外
M惯
dL dt
M惯 ri (miac ) miri (ac ) rc (mac )
i
i
选质心为参考点 rc 0 M惯 0
质心系中质点系角动量定理
M外
dL dt
与惯性系完全相同
16
小结
质点系的运动 = 质心的运动 + 相对质心的运动 质点系的动能、角动量可分解成质心的与相对质心的两部分之和
量纲分析 IO 1ma 2 2mab 3mb 2
其中的系数待定
边长a和b互换，转动惯量不变
b/2 b/2
a
O1 O O2
IO 1mb 2 2mab 3ma 2
1(a2 b2 ) 3(a2 b2 )
1 3
36
IO 1m a2 b2 2mab
b/2 b/2
IO1
IO2
1
任意56在每一个点部位对应的运动平面上瞬心是一条线瞬时转动轴某时刻刚体上速度为零的一点即为该时刻刚体的瞬心由两点速度确定瞬心的位置57例半径为r的圆环a沿着半径为r的固定圆环b的外侧作纯滚动a的环心绕着b的环心做圆周运动的角速度为1a环绕着环心o转动的角速度2a环瞬心m的加速度58瞬心位于接触点瞬心的加速度可分解为o点的加速度与m相对o点的加速度o点的加速度m相对o点的加速度方向向右方向向下方向向左方向向上59532动力学规律刚体的平面平行运动质心的平动过质心的定轴转动惯性系动能定理
Ek
1 2
IMN 2
刚体质心的速度 vc d
质心动能
Ekc
1 2
mvc2
1 2
md 2 2
刚体相对质心的转动角速度为
刚体相对质心的动能
Ek'
1 2
I c
2
柯尼希定理 Ek Ekc Ek
I MN IC md 2
35
例 质量m、边长分别为a和b的匀质长方板，转轴通过中心O且与
板面垂直。应用量纲分析和平行轴定理求板的转动惯量，
m 2
a
2
b2 4
2
mab 22
应用平行轴定理
a
O1 O O2
IO
2 IO1
m 2
b 4
2
1ma 2
1
4
1 16
mb 2
1 2
2
mab
比较系数
1
4
1 16
1
1 2
2
2
1
1 12
2 0
37
例 质量 m、半径为 R的匀质薄球壳，
求其以直径为转轴的转动惯量。
I x mi ( yi2 zi2 )
2
mr2 l
u1 r
待续
2
第五章 质心 刚体
3
*** 质心
*** 质心 质心运动定理
质点系的运动
每个质点的质量、位矢和受力： mi , ri , Fi
质点系的总质量 m mi
i
质点系所受合力
F
i
Fi
i
d2
mi ai
dt 2
i
d 2
mi ri
m
dt
2
miri
i
m
G * mim j (rj ri )
ji
j
G * mi j
m
j
rj
G*
mi
j
m j ri
G * mimrC G * mimri
ri
G
*
mri
方程表明，第 i 个质点所受合引力等效于受系统质心的引力。 方程组可分离变量，多体问题转化为单体问题。
23
第 i 个质点的初始运动状态确定一个平面 第 i 个质点只能在此平面内运动
40
茹可夫斯基凳
41
例 质量 m、长 l 的匀质细杆绕水平轴在竖直平面内自由摆动。
将杆水平静止释放后，当摆角为θ时，求
m1
l
m2
l1
l2
质心位置满足杠杆关系 m1l1 m2l2 , l1 l2 l
l1
m2 m1 m2
l
m1
l,
l2
m1 m1 m2
l
m2
l
8
*** 质点系动力学量的分解
质心参考系：随质心一起运动的平动参考系，简称质心系。
在质心系中质心静止
rc
常矢量
vc 0
质心系中的运动图象
各质点从质心四面散开，或向质心八方汇聚。 质心成为一个运动中心，运动时时刻刻是“各向同性的”。
0
l x2 dx m 1 ml 2 0 l 3
31
例 圆环与匀质圆盘，转轴过圆心且于圆平面垂直，求它们的转
动惯量
圆环
I0 mR 2
匀质圆盘
I0
R r 2dm
0
R 0
r
2
2rdr R 2
m
1 2
mR
2
r
R
r dr
32
关于计算转动惯量的定理
取两个互相平行、间距为 d 的转轴
9
在任一参考系中 质点系的动量、动能和角动量与质心运动的关系
mi
质点系的动量
质点系中各质点
(ri
,
mvii相) 对质心的运动
ri
ri
C rC
质点系的动量等于质心的动量
质点系相对质心的动量总是为零
p
p
pc
O
mivi 0
i
10
质点系的动能
பைடு நூலகம்k
i
12mivi2
i
12mi
vi
vi
vi
推论：刚体沿任何方向转动，绕通过质心的转轴的转动惯量最小
33
对于平板刚体
xi2 yi2 ri2
z
xi
ri yi y
mi
x
I x I y mi yi2 mi xi2 miri2
i
i
i
垂直轴定理 I x I y I z
34
例 由柯尼希定理导出刚体的平行轴定理
绕任意固定轴 MN 转动的刚体的动能 此轴到刚体质心的距离 d
x, I m 都是一维运动
30
例 质量 m、长 l的匀质细杆，转轴垂直细杆(a)位于质心、(b)位
于一端，求细杆的转动惯量。
(a) 转轴位于质心
O
dm dx m l
Ic
2
l/2 0
x2dm
2
l / 2 x2 0
dx l
m
1 12
ml 2
(b) 转轴位于一端
l/2 x
I A
l x2dm
11
核反应中的资用能
12
质点系的角动量 L
ri mivi
i
其中
ri
rc
ri,
vi
vc
vi
mi
ri
ri
L
rc
mi
vc
rc
mivi
i
i
C rC
mi ri
vc
ri mivi
O
i
i
L Lc L,
Lc
rc mvc ,
L
ri
mi
vi
i
质点系的角动量 可分解成质心角动量与质点系相对质心的角动量之和
I r 2dm V
V：刚体的质量分布区域 r：质元 dm 到转轴的距离
29
选取转轴上的O点为参考点 刚体定轴转动时的角动量
L ri (mivi )
i
Ri (mivi ) zi (mivi )
i
i
z
Ri
zi
ri
Lz Rimi (Ri ) I
y
i
Lz I
x
刚体的定轴转动与质点的直线运动相似
质点系的动能定理和角动量定理
14
质心系中质点系动能定理
质心系中质点系动能定理的微分形式
dW内 dW外 dW惯 dEk
dW惯
mi ac
dr
i
ac
d
mi
ri
ac
d
mrc
0
i
质心系中质心位置矢量为常量
i drc 0
dW惯 0
质心系中质点系动能定理 dW内 dW外 dEk
与惯性系完全相同，机械能定理也相同
光滑桌面上，受绳中央的恒力F作用。问在两球第一次相碰 前的瞬间，小球在垂直于F的方向上分速度多大？
m
v
v// T
F
F
20
在质心系中，只有力 F 作功 在随小球沿受力方向平行运动的非惯性系中，只有力 F 作功
利用动能定理
Fl
2
1 2
mv2
v
Fl m
21
例 线性引力
假设质点间的万有引力是线性的： F G * m1m2r
f (r) A , 4
r4
Vequ (r)
L2 2mr 2
A 3r 3
Vc (r) Vequ (r)
V (r)
Bertrand定理：只当有心力为平方反比力或Hooke力时， 粒子的所有束缚运动轨道才是闭合的。
1
Bertrand定理的证明
能量 E 守恒 角动量 L 守恒 引入变量
1 m(r2 r22 ) V (r) E
a qE / m t1
2l a
2ml qE
第k次碰撞用时 tk 2kt1 t1
18
{A，B}系统的质心加速度
ac
qE 2m
在tk时间内质心位移
sc
1 2
actk2
A球的位移
sA
sc
1 2
l
电场力对A所做的功 W (qE)sA (2k 2 2k 1)qEl
19
例 质量同为m的两个小球，用长为 2l 的轻绳连接后静放在
其中一个转轴通过刚体质心C
Ri Ri (C) d
M
Ri
d
P mi
Ri (C) C
N Q
IMN mi Ri Ri mi Ri (C) Ri (C) 2 mi Ri (C) d mid d
i
i
i
i
i
mi Ri2 (C) 2 i
mi
Ri
(C
)
d
md
2
平行轴定理 IMN IC md 2
26
*** 刚体定轴转动
*** 运动学描述
刚体的运动总是可以分解为：平动+转动 刚体的转动有三个自由度，最基本的是绕一个固定轴的转动。 刚体的定轴转动只有一个自由度
27
刚体中每一个点部位都在做圆周运动
z
参考点选在转轴上
ri Ri zi
每一个点部位圆运动的角速度和角加速度 是相同的，它们是整个刚体的运动状态量。
vc
vi
Ek
i
1 2
mivc
vc
i
mi
vc
vi
i
1 2
mi
vi
vi
1 2
mvc2
vc
i
mivi
i
1 2
mivi2
Ek Ekc Ek ,
Ekc
1 2
mvc2 ,
资用能 Ek
i
1 2
mi
vi2
质点系的动能可分解成质心动能与质点系相对质心的动能之和
柯尼希(König)定理
同一参考点
质心为参考点
13
*** 质心参考系
质心系一般是非惯性系，引入平移惯性力 miac
质心系中每一个质点受真实力和平移惯性力作用 质心系中，每个质点所受的惯性力只有平移惯性力
平移惯性力与重力相似 大小正比于质点质量，正比于质心加速度大小
方向沿着质心加速度的反向
质心系中质点系的动量恒为零，质点系的动量定理不必考虑。 在质心系中
Ri
zi
ri
y
第 i 个点部位
vi Ri ,
ai心 ai切