黑龙江省大庆实验中学第一学期高三期中考试数学试卷(理)

2013届黑龙江省大庆实验中学第一学期高三期中考试
数学试卷（理）
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1．已知集合2{|3},{|log 1}M x x N x x =<=>,则M N =
A ．φ
B ．{|03}x x <<
C ．{|13}x x <<
D ．{|23}x x <<
2．若复数()
()2321a a a i -++-是纯虚数，则实数a 的值为
A ．1
B ．2
C ．1或2
D ．-1
3．若函数f （x ）是幂函数，且满足
()
()
1654f f =，则14f ⎛⎫
⎪⎝⎭
的值为 A ．
15
B ．15
-
C ．5
D ．5-
4．函数)112
lg()(--=x
x f 的图象关于 A ．y 轴对称
B ．直线1=x 对称
C ．点（1，0）对称
D ．原点对称
5．函数3
()31f x x x =+-在以下哪个区间内一定有零点
A ．(1,0)-
B ．(0,1)
C ．(1,2)
D ．(2,3)
6．已知向量(2,3),(cos ,sin )a b θθ==,且//a b ,则tan θ=
A ．
32 B ．2
3
- C ．
23 D ．3
2
- 7．由直线x ＝－π
3，x ＝0，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为
A ．
3
2
B ．1
2
C ． 3
D ．1
8．当()3,4x ∈时，不等式()()2
log 230a x x -+-<恒成立，则实数a 的取值范围是
A ．[)2,+∞
B ．．(]1,2
C ．1,12
⎡⎫
⎪⎢⎣⎭ D ．10,2⎛
⎤ ⎥⎝
⎦
9．若ABC ∆ 内接于以O 为圆心，1为半径的圆，且 3450OA OB OC ++=，则 OC AB
⋅的值为
A ．
65
-
B ．15
-
C ．
1
5
D ．
65
10．函数()sin x
y e x ππ=-≤≤的大致图像为
11．已知函数321,,11
2()111,0,3
62x x x f x x x ⎧⎛⎤
∈ ⎪⎥+⎪⎝⎦
=⎨⎡⎤
⎪-+∈⎢⎥⎪⎣⎦⎩，函数()()sin 2206x g x a a a π=-+>，若存
在[]12,0,1x x ∈，使得()12()f x g x =成立，则实数a 的取值范围是
A ．24,33
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B ．33,42
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
C ．14,23
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
D ．13,24
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
12．已知函数⎩⎨⎧≥+-<-=,
0,46,0|,)lg(|)(3x x x x x x f 若关于x 的函数1)()(2
+-=x bf x f y 有8个不同
的零点，则实数b 的取值范围是
A ．),2(+∞
B ．),2[+∞
C ．)4
17,
2( D ．]4
17,
2( 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．
13．函数()()()[]2 )0( 20x
8
)(-⎪⎩⎪⎨⎧<-≥=f f x x x x x f 则＝ ．
14．若实数x ，y 满足不等式组330
230210x y x y x my +-≥⎧⎪
--≤⎨⎪-+≥⎩
且x y +的最大值为9，则实数m =
15．若直线y x =是曲线3
2
31y x x ax =-+-的切线，则a 的值为 ．
16．给出下列四个命题：
①如果命题“p ⌝”与命题“p 或q ”都是真命题，那么命题q 一定是真命题； ②已知向量a ，b 满足1,4a b ==，且2a b ⋅=，则a 与b 的夹角为
6
π； ③若函数()1f x +是奇函数，()1f x -是偶函数，且()02f =，则()2012f =2； ④已知函数
4()log (41)()x f x kx k R =++∈是偶函数，函数
44
()log (2)3
x g x a a =⋅-，若函数()f x 的图象与函数()g x 的图象有且只有一个公共点，则实数a 的取值范围是()1,+∞．
其中正确命题的序号为 ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本题满分10分）二次函数()f x 满足()()12f x f x x +-=，且()01f =．
（Ⅰ）求()f x 的解析式；
（Ⅱ）若在区间[]1,1-上，()y f x =的图像恒在2y x m =+的图像上方，求实数m 的
取值范围．
18．（本题满分12分）已知函数()01)(2
≠++=
a b
x ax x f 是奇函数，并且函数()x f 的图象经过点()3,1．
（Ⅰ）求实数b a ,的值； （Ⅱ）求函数()x f 的值域．
19．（本题满分12分）已知函数2()(21)(R x
f x ax x e a -=-+⋅∈，e 为自然对数的底数).
（Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 的极值；
（Ⅱ）若函数()f x 在[]1,1-上单调递减，求a 的取值范围．
20．（本题满分12分）设函数()()221f x x bx c c b =++<<，()10f =，方程()10
f x +=有实根．
（Ⅰ）证明：13-≤<-c ，且0≥b ；
（Ⅱ）若m 是方程()01=+x f 的一个实根，判断()4-m f 的正负并加以证明． 21．（本题满分12分）已知函数)1ln(2
1)(2
x ax x x f +--
=，其中a ∈R ． （Ⅰ）若2x =是)(x f 的极值点，求a 的值； （Ⅱ）求)(x f 的单调区间；
（Ⅲ）若)(x f 在[0,)+∞上的最大值是0，求a 的取值范围．
22．（本题满分12分）设函数2
()ln 2f x x x x =-+，
（Ⅰ）求()f x 的单调区间；
（Ⅱ）若存在区间1
[,][,)2
a b ⊆+∞，使()f x 在[,]a b 上的值域是[(2),(2)]k a k b ++，
求k 的取值范围。