八上一次函数难题

1.如图，正比例函数
的图象与反比例函数
在第一象限的图象交于点，过点作轴的垂线，垂足为，已知的面积为1.
（1）求反比例函数的解析式；
（2）如果为反比例函数在第一象限图象上的点（点与点不重合），且点的横坐标为1，在轴上求一点，使最小.
2．（12分）如图1，OA ＝2，OB ＝4，以A 点为顶点、AB 为腰在第三象限作等腰Rt △ABC ． (1)求C 点的坐标．（4分）
(2)如图２，P 为y 轴负半轴上一个动点，当P 点向y 轴负半轴向下运动时，以P 为顶点，PA 为腰作等腰Rt △APD ，过D 作DE ⊥x 轴于E 点，求OP －DE 的值．（4分）
1
2y x
=
k y x =(0)k ≠A A x M OAM ∆B B A B x P PA PB
+
（3）如图3，已知点F 坐标为（－2，－2），当G 在y 轴的负半轴上沿负方向运动时，作Rt △FGH ，始终保持∠GFH ＝900，FG 与y 轴负半轴交于点G （0，m ），FH 与x 轴正半轴交于点H （n ，0），当G 点在y 轴的负半轴上沿负方向运动时，以下两个结论：①m —n 为定值；②m ＋n 为定值，其中只有一个结论是正确的，请找出正确的结论，并求出其值．（4分）。

3.如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为(1,0)，点B 在y 轴正半轴上，且△AOB 是等腰直角三角形，点C 与点A 关于y 轴对称，过点C 的一条直线绕点C 旋转，交y 轴于点D ，交直线AB 于点P （x,y ）， 且点P 在第二象限内.
(1)求B 点坐标及直线AB 的解析式； (2)设△BPD 的面积为S ，试用x 表示△BPD 的面积S
图2
4．已知：如图，直角坐标系xOy 中，点A 、B 的坐标分别为A （4，0），B （0，－4），P 为y 轴上B 点下方一点，PB=m （m>0），以AP 为边作等腰直角三角形APM ，其中PM=PA ，点M 落在第四象限。

（1）求直线AB 的解析式；
（2）用m 的代数式表示点M 的坐标；
（3）若直线MB 与x 轴交于点Q ，判断点Q 的坐标是否随m 的变化而变化，写出你的结论并说明理由。

5已知A （，），B （，），点C 与点A 关于坐标原点对称，经过点C 的直线与y 轴交于点D ，与直线AB 交于点E ，且E 点在第二象限。

(1)求直线AB 的解析式；
(2)若点D （0，1），过点B 作于F ，连接BC ，求的度数及的面积；
(3)若点G （G 不与C 重合）是动直线CD 上一点，且，试探究与之间满足的等量关系，并加以证明。

1-003-CD BF ⊥DBF ∠BCE ∆BA BG =ABG ∠ACE ∠
2．（1）过C 作CM ⊥x 轴于M 点，∠MAC ＋∠OAB ＝900
，∠OAB ＋∠OBA ＝90，
，则∠MAC ＝∠OBA……1分 在△MAC 和△OBA 中
则△MAC ≌△OBA （AAS ）……3分
则CM ＝OA ＝2，MA ＝OB ＝4，则点C 的坐标为（－6，－2）……4分
（2）过D 作DQ ⊥OP 于Q 点，则OP －DE ＝PQ ，∠APO ＋∠QPD ＝900，，∠APO ＋
∠OAP ＝900
,则∠QPD ＝∠OAP ，……5分 在△AOP 和△PDQ 中
则△AOP ≌△PDQ （AAS ）……7分 PQ ＝OA ＝2……8分
（3）结论②是正确的，m ＋n ＝－4，过点F 分别作FS ⊥x 轴于S 点，FT ⊥y 轴于T 点，则FS ＝FT ＝2，∠FHS = HFT=∠FGT……9分 在△FSH 和△FTG 中
则△FSH ≌△FTG （AAS ）……10分
则GT ＝HS ，又因为GT ＝－2－m ，HS ＝n －（－2）……11分，则 －2－m ＝ n －（－2），则m ＋n ＝－4.……12分
0CMA AOB 90MAC OBA AC AB ⎧∠=∠=⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
0AOP PQD 90QPD OAP AP PD ⎧∠=∠=⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
090FSH FTG FHS FGT FS FT ⎧∠=∠=⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
3.(1)解：∵△AOB 是等腰直角三角形且A(1,0),∴B(0,1). ………………………………………………1分
∴过点A(1,0)、 B(0,1)的直线的解析式为y=-x+1.……………………………………………2分
(2)解：∵点C 与点A 关于y 轴对称，∴C(-1,0).
又点P 在直线AB 上，则P(x ，-x+1).
设过P 、C 两点的直线的解析式为y=kx+b.
∵C(-1,0)在直线y=kx+b 上， ∴-k+b=0.∴k=b, y=bx+b.
∵点P(x ，-x+1)在直线y=bx+b 上，
∴bx+b=-x+1,解得b=.
∴点D 的坐标为（0，）.……………………3分
∵点P 在第二象限内，∴x ＜0. ①当-1＜x ＜0时，如图.
S==
…………………5分
②当x ＜-1时，如图.
S==
…………………6分
综上所述，S=
4．解：（1）设直线AB 的解析式为y=kx+b （k≠0）．
则，解得
∴直线AB 的解析式为y=x －4
2分
（2）作MN ⊥y 轴于点N ．（见图5）
1
1x x -++1
1x x -++12P BD x ⋅⋅1(1)()2b x -⋅-11(1)()21x x x -+=-⋅-+12()21x x x -=⋅⋅-+21x x =
+12P BD x ⋅⋅1(1)()2b x -⋅-11(1)()21x x x -+=-⋅-+21x x =-
+2
2(10),1
(1).1x
x x x x x ⎧-<<⎪⎪+⎨⎪-<-⎪+⎩⎩⎨⎧-==+4b 0b k 4⎩⎨⎧-==4b 1k
①
②
图5
∵△APM 为等腰直角三角形，PM=PA ， ∴∠APM=90° ∴∠OPA+∠NPM=90° ∵∠NMP+NPM=90° ∴∠OPA=∠NMP
又∵∠AOP=∠PNM=90°，
∴△AOP ≌△PNM 。

（AAS ） 3分
∴OP=NM ，OA=NP ∵PB=m （m>0），
∴NM=m+4，ON=OP+NP=m+8． ∵点M 在第四象限，
∴点M 的坐标为（m+4，－m －8） 4分
（3）答：点Q 的坐标不变．
解法一：由（2）得NM=m+4，NB=NP+PB=m+4．
∴NB=NM ∵∠BNM=90°
∴∠MBN=45° 5分
∴∠QBO=45°，∠OQB=90°－∠QBO=45° ∴OQ=OB=4
∵点M 在第四象限，点B 在y 轴的负半轴上， ∴点Q 在x 轴的负半轴上
∴无论m 的值如何变化，点Q 的坐标都为（－4，0） 6分
解法二：设直线MB 的解析式为y=nx －4（n≠0） ∵点M （m+4，－m －8）在直线MB 上， ∴ 整理，得 ∵m>0 ∴ 解得
∴直线MB 的解析式为
4)4m (n 8m -+=--4m n )4m (--=+04m ≠+1n -=4x y --=
5分
∴无论m 的值如何变化，点Q 的坐标都为（－4，0）
6分
5. 解：（1）依题意，设直线AB 的解析式为.
∵ A （-1，0）在直线上， ∴ 0= -k -3. ∴ k=-3.
∴直线AB 的解析式为. …………………………………………1分 （2）如图1，依题意，C （1，0），OC ＝1. 由D （0，1）,得OD ＝1.
在△DOC 中，∠DOC ＝90°，OD ＝OC ＝1. 可得 ∠CDO ＝45°. ∵ BF ⊥CD 于F , ∴ ∠BFD ＝90°.
∴ ∠DBF ＝90°-∠CDO =45°. …………………2分
可求得直线CD 的解析式为 图1
由 解得 ∴ 直线AB 与CD 的交点为E (-2，3). …………………………………………3分 过E 作EH ⊥y 轴于H , 则EH ＝2. ∵ B (0，- 3), D (0，1), ∴ BD ＝4. ∴
………………………………4分
（3）连接BC , 作BM ⊥CD 于M . ∵ AO =OC ,BO ⊥AC , ∴ BA =BC . ∴ ∠ABO =∠CBO .
设 ∠CBO =α，则∠ABO =α，∠ACB =90︒-α. ∵ BG =BA ， ∴ BG =BC . ∵ BM ⊥CD , ∴ ∠CBM =∠GBM .
设∠CBM =β，则∠GBM =β，∠BCG ＝90︒-β.
(i) 如图2，当点G 在射线CD 的反向延长线上时， ∵ ∠ABG = ∠ECA =
∴ ∠ABG =2∠ECA . ……………………6分 (ii) 如图3，当点G 在射线CD 的延长线上时，
3-=kx y 33y x =-- 1.y x =-+331y x y x =--⎧⎨=-+⎩，，23.x y =-⎧⎨=⎩
，11
4241 6.22BCE BDE BDC S S S ∆∆∆=+=
⨯⨯+⨯⨯=222(),αβαβ+=+180(90)(90).
αβαβ----=
+
∵ ∠ABG = ∠ECA =
∴ ∠ABG =2∠ECA . ……………………7分 综上，∠ABG =2∠ECA .
222(),αβαβ-=-(90)(90).
βααβ---=-。